Eğim ve Doğrunun Eğimi

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Eğim
✓ Doğrunun Eğimi
✓ Doğrunun Eğimi ile Denklemi Arasındaki İlişki

EĞİM NEDİR?

Dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranı eğim olarak adlandırılır. “m” harfi ile gösterilir.\(m=\frac{Dikey\;Uzunluk}{Yatay\;Uzunluk}\)

ÖRNEK: Aşağıdaki yollardan hangisinin eğimi fazladır? Her bir yolun eğimini bulalım. Yüzde olarak gösterelim.

En dik yol 4. yol olduğu için eğimi en fazla olan yol 4. yoldur. Bir yolun eğimini bulmak için hipotenüsü yol olan bir dik üçgende dikey uzunluğu yatay uzunluğa böleriz.

Yolların eğimlerini m₁, m₂, m₃, m₄ olarak gösterelim.

► \(m_1=\frac25=\frac{40}{100}=\%40\)

► \(m_2=\frac45=\frac{80}{100}=\%80\)

► \(m_3=\frac75=\frac{140}{100}=\%140\)

► \(m_4=\frac95=\frac{180}{100}=\%180\)

 DOĞRUNUN EĞİMİ

Bir doğrunun eğimi, doğru üzerinde bulunan iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranıdır. y eksenine göre sağa yatık doğruların eğimi pozitif, sola yatık doğruların eğimi negatiftir.

ÖRNEK: Aşağıdaki d doğrusunun ve a doğrusunun eğimini bulalım.

Doğrunun herhangi bir yerinde dik üçgen çizeriz. Bu üçgende 90 derecenin karşısındaki kenarın doğrunun üzerinde olmasına ve kenar uzunluklarının da tam sayı olmasına dikkat ederiz.

a doğrusu y eksenine göre sağa yatık olduğu için eğimi pozitiftir.

► \(m_a=\frac32\)

d doğrusu y eksenine göre sola yatık olduğu için eğimi negatiftir.

► \(m_d=-\frac24\)

 Eğim Açısı

Bir doğrunun x ekseni ile eksenin üzerinde yaptığı açılardan sağda olanına eğim açısı denir.

Eğim açısı 0 derece olan (x eksenine paralel) doğruların eğimi sıfırdır.

Eğim açısı dar açı olan (sağa yatık) doğruların eğimi pozitiftir.

Eğim açısı 90 derece olan (y eksenine paralel) doğruların eğimi tanımsızdır, hesaplanamaz.

Eğim açısı geniş açı olan (sola yatık) doğruların eğimi negatiftir.

ÖRNEK: Aşağıdaki doğruların eğim açıların yeşil renk ile gösterilmiştir. Bu doğrulardan:

d₁ doğrusu x eksenin paralel olduğu için eğimi sıfırdır,

d₂ doğrusu x eksenine dik olduğu için eğimi hesaplanamaz,

d₃ doğrusunun eğim açısı geniş açı olduğu için eğimi negatiftir,

d₄ doğrusunun eğim açısı dar açı olduğu için eğimi pozitiftir.

Doğrunun Eğimi ile Denklemi Arasındaki İlişki

Denklemi y=mx+n şeklindeki doğrularda x’in katsayısı doğrunun eğimidir. Bir doğrunun eğimini grafiğini çizmeden bulabilmek için doğru denkleminde y yalnız bırakılır, x’in katsayısı eğimi verir.

ÖRNEK: Aşağıdaki doğruların eğimlerini bulalım.

1) \(y=\mathbf3x+4\) doğrusunun eğimi x’in katsayısı olan 3’tür.

2) \(4x+2y+3=0\) doğrusunun eğimini bulmak için y yalnız bırakılır.

\(\begin{array}{l}2y=-3-4x\\y=\frac{-3-4x}2\\y=\frac{-3}2\boldsymbol-\mathbf2x\end{array}\) doğrunun eğimi −2’dir.

NOT: Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.

ÖRNEK: \(y=2x+5\;ve\;ax-2y-4=0\) doğruları birbirine paralel ise a kaçtır?

Bu doğrular birbirine paralel ise eğimleri birbirine eşittir.

Birinci doğrunun eğimi 2’dir. İkinci doğrunun eğimi de \(\frac a2\)‘dir.

Eğimleri birbirine eşitlersek: \(\frac a2=2\;\rightarrow a=4\) bulunur.

NOT: Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı −1’dir.

ÖRNEK: \(2x+3y=5\;ve\;x-by=4\) doğruları birbirine dik ise b kaçtır?

Bu doğrular birbirine dik olduğu için eğimleri çarpımı −1’dir.

Birinci doğrunun eğimi

\(\begin{array}{l}3y=5-2x\\y=\frac{5\boldsymbol-\mathbf2x}{\mathbf3}\\m=\frac{-2}3\end{array}\) olur.

İkinci doğrunun eğimi

\(\begin{array}{l}-by=4-x\\y=\frac{4\boldsymbol-x}{\boldsymbol-\boldsymbol b}\\m=\frac{-1}{-b}=\frac1b\end{array}\) olur.

Eğimlerinin çarpımını −1’e eşitlersek

\(\begin{array}{l}\frac{-2}3.\frac1b=-1\\\frac{-2}{3b}=-1\\-2=-3b\\\frac{-2}{-3}=b\\b=\frac23\end{array}\) olur.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN: