Olay Çeşitleri (Bağımlı Olay ve Bağımsız Olay)

Bu konuya başlamadan önce Olasılık Konu Anlatımına göz atmanızda fayda var.

OLAY ÇEŞİTLERİ

1) BAĞIMSIZ OLAY

# Bir olayın gerçekleşip gerçekleşmediği diğer bir olayın gerçekleşmesine bağlı değil ise yani bir olayın sonucu diğer olayın sonucunu etkilemiyorsa böyle olaylara bağımsız olaylar denir.

ÖRNEK: Bir madeni para ile bir zar birlikte havaya atılıyor. Zarın üst yüzüne çift sayı gelmesi ve paranın da tura gelmesi olayını inceleyelim.

Zarın üst yüzünde çift sayı gelmesi paranın tura gelmesini etkilemez.

Benzer şekilde paranın tura gelmesi de zarın çift gelmesini etkilemez.

Bu yüzden bu iki olay bağımsız olaylardır.

ÖRNEK: Bir torbada 1’den 10’a kadar numaralandırılmış 10 tane eş kart vardır. Çekilen kart geriye atılmak şartıyla rastgele seçilen iki karttan ilkinin 5, ikincisinin 6 olması olayını inceleyelim.

Torbadan çekilen kart geri atıldığı için ilk çekilen kart ikinci çekilecek kartı etkilemeyecektir. Torba içinde herhangi bir değişiklik olmayacaktır. Bu yüzden bu iki olay bağımsız olaylardır.

2) BAĞIMLI OLAY

# Bir olayın gerçekleşip gerçekleşmediği diğer bir olayın gerçekleşmesine bağlı ise yani bir olayın sonucu diğer olayın sonucunu etkiliyorsa böyle olaylara bağımlı olaylar denir.

ÖRNEK: Bir sınıftaki öğrencilerin isimleri kartlara yazılıp torbaya atılıyor. Çekilen kartı torbaya geri atmamak şartıyla art arda çekilen iki karttan ilki sınıf başkanı, ikincisi sınıf yardımcısı olacaktır.

Başkan seçilen kişi yardımcı olamayacağı için, yani seçilen kartı tekrar seçemeyeceğimiz için (torbaya geri atılmıyor) bu iki olay bağımlı olaylardır.

BAĞIMLI MI BAĞIMSIZ MI?

# İki veya daha fazla olayın bağımlı olaylar mı bağımsız olaylar mı olduklarını anlamak için aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

# Arka arkaya iki defa atılan bir madeni paranın üst yüzüne her iki atışta da tura gelmesi. (BAĞIMSIZ)

# İki zarın aynı anda havaya atılması deneyinde zarların üst yüzeyine gelen sayıların 3’ten küçük olması. (BAĞIMSIZ)

# Bir torbada 1 mavi, 5 yeşil , 4 kırmızı bilye vardır. Çekilen bilye geri atılmamak koşuluyla art arda çekilen iki bilyenin farklı renkte olması. (BAĞIMLI)

# Bir torbada 1 mavi, 5 yeşil , 4 kırmızı bilye vardır. Çekilen bilye geri atılmak koşuluyla art arda çekilen iki bilyenin farklı renkte olması. (BAĞIMSIZ)

BAĞIMLI VE BAĞIMSIZ OLAYLARIN OLASILIK HESABI

1) BAĞIMSIZ OLAYLARIN OLASILIĞI NASIL HESAPLANIR?

# Bağımsız olan birden fazla olayın birlikte gerçekleşmesi olasılığını hesaplamak için bu olayları olma olasılıklarını ayrı ayrı hesaplayıp çarparız.

# P(A ve B) = P(A∩B) = P(A) . P(B)

ÖRNEK: Bir madeni para ile bir zar birlikte havaya atılıyor. Zarın üst yüzüne çift sayı gelmesi ve paranın tura gelmesi olasılığını hesaplayalım.

Zarda çift sayı gelme olayı “A” olayı olsun. Zarda 6 tane yüzey vardır ve bu yüzeylerden 3 tanesi çift sayıdır.

$P\left(A\right)=\frac{s\left(A\right)}{s\left(Ö\right)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Paranın tura gelme olayı “B” olayı olsun. Parada 2 ihtimal vardır ve bunlardan biri turadır.

$P\left(B\right)=\frac{s\left(B\right)}{s\left(Ö\right)}=\frac{1}{2}$

Bu iki bağımsız olayın birlikte gerçekleşme olasılığını bulmak için bu iki olasılığı çarparız.

$P(A\cap B)=P\left(A\right).P\left(B\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

ÖRNEK: Bir torbada 1’den 10’a kadar numaralandırılmış 10 tane eş kart vardır. Çekilen kart geriye atılmak şartıyla art arda rastgele seçilen iki karttan ilkinin asal sayı, ikincisinin 5 olması olayını inceleyelim.

Torbada 10 kart var ve üzerinde asal sayı yazan (2,3,5,7) 4 kart var.

$P\left(A\right)=\frac{s\left(A\right)}{s\left(Ö\right)}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

Torbada 10 kart var ve üzerinde 5 yazan sadece 1 kart var.

$P\left(B\right)=\frac{s\left(B\right)}{s\left(Ö\right)}=\frac{1}{10}$

Şimdi bu iki bağımsız olayın gerçekleşme olasılığını bulalım.

$P(A\cap B)=P\left(A\right).P\left(B\right)=\frac{2}{5}.\frac{1}{10}=\frac{2}{50}=\frac{1}{25}$

2) BAĞIMLI OLAYLARIN OLASILIĞI NASIL HESAPLANIR?

# Bağımlı olan birden fazla olayın birlikte gerçekleşmesi olasılığını hesaplamak için bu olayları olma olasılıklarını birbirlerine etkilerini düşünerek hesaplayıp çarparız. B olayı A olayına bağlı ise bu olayların olma olasılıkları aşağıdaki şekilde hesaplanır.

# P(A ve B) = P(A∩B) = P(A) . P(A’ya bağlı B)

ÖRNEK: İçinde 30 kalem bulunan bir kutudaki kalemlerin 12’si kurşun kalem, 18’i tükenmez kalemdir. Kutudan rastgele bir kalem seçiliyor ve kutuya geri atılmıyor. Kutudan bir kalem daha seçiliyor. 

a) Seçilen birinci kalemin kurşun kalem, ikinci kalemin tükenmez kalem olma olasılığını hesaplayalım.

Burada bir kalem seçilince geri atılmadığı için bu olaylar bağımlı olaylardır. Bu yüzden ikinci seçimimizde kutudaki kalem sayısındaki azalmaya dikkat etmeliyiz.

Birinci kalemin kurşun kalem olma olasılığı;

$P\left(K\right)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$

İkinci kalemin tükenmez kalem olma olasılığı;

(İlk seçtiğimiz kurşun kalemden dolayı toplam kalem sayısı 1 azalıyor.)

$P\left(T\right)=\frac{18}{29}$

Bu iki bağımlı olayın birlikte gerçekleşme olasılığını bulmak için bu iki olasılığı çarparız.

$P(K ve T)=\frac{2}{5}.\frac{18}{29}=\frac{36}{145}$

b) Seçilen iki kaleminde kurşun kalem olma olasılığını bulalım.

Birinci kalemin kurşun kalem olma olasılığı;

$P\left(K\right)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$

İkinci kalemin de kurşun kalem olma olasılığı;

(İlk seçtiğimiz kalem kurşun kalem olduğu için hem kurşun kalem sayısı hem toplam kalem sayısı 1 azalıyor.)

$P\left(L\right)=\frac{11}{29}$

Bu iki bağımlı olayın birlikte gerçekleşme olasılığını bulmak için bu iki olasılığı çarparız.

$P(K ve L)=\frac{2}{5}.\frac{11}{29}=\frac{22}{145}$

Yazar: www.matematikciler.com

OLASILIK VE OLAY ÇEŞİTLERİ TESTİ ÇÖZ

OLASILIK İLE İLGİLİ TEOG’DA ÇIKMIŞ SORULAR