Tam Kare Olmayan Sayıların Karekökleri

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Tam Kare Olmayan Sayılar
✓ Yaklaşık Değer Bulma
✓ Karekökünü Tahmin Etme

Bu konuya başlamadan önce Kareköklü Sayılar ve Tam Kare Sayılar Konu Anlatımı sayfamıza bir göz atıp tekrar etmeniz faydalı olacaktır.

TAM KARE OLMAYAN SAYILAR

1, 4, 9, 16, 25, … gibi sayılara tam kare sayılar denildiğini öğrenmiştik. Bu sayılar dışındaki sayılara tam kare olmayan sayılar diyoruz. Bu konumuzda tam kare olmayan sayıların kareköklerinin hangi sayılar arasında olduğunu bulmayı ve tam kare olmayan sayıların yaklaşık değerini en yakın onda birliğe kadar tahmin etme yöntemini öğreneceğiz.

Hangi İki Sayı Arasında?

Tam kare sayıların karekökleri doğal sayıdır. Ancak tam kare olmayan sayıların karekökleri ne bir doğal sayıdır, ne bir tam sayıdır, ne de bir rasyonel sayıdır. Bu sayılara irrasyonel sayılar denildiğini daha sonra öğreneceğiz. Şimdi tam kare olmayan sayıların karekökleri hangi sayılar arasında yer alır bulalım.

Tam kare olmayan sayıların kareköklerinin hangi sayılar arasında olduğunu bulmak için sayının hangi tam kare sayılar arasında olduğunu buluruz. Sayının karekökü bu tam kare sayıların karekökleri olan sayılar arasındadır.

ÖRNEK: \(\sqrt8\) sayısının hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulalım.

8’ye en yakın 8’den büyük ve 8’den küçük tam kare sayıları buluruz.

8’den küçük 8’e en yakın tam kare sayı = 4

8’den büyük 8’e en yakın tam kare sayı = 9’dur.

\(\sqrt8\)‘nin değeri bu tam kare sayıların karekökleri arasındadır.

\(\begin{array}{l}\;\;\;4\;<\;\;\;8\;\;<\;\;9\\\sqrt4\;<\;\sqrt8\;<\;\sqrt9\\\;\;\;2\;<\;\sqrt8\;<\;\;\;3\end{array}\) yazılır.

\(\sqrt8\)‘nin değeri 2 ile 3 arasındadır.

ÖRNEK: Alanı 77 cm² olan karenin bir kenar uzunluğu hangi tam sayılar arasındadır?

Alanı verilen bir karenin kenar uzunluğunu bulmak için alanının karekökünü bulmalıyız.

\(\begin{array}{l}\;\;\;64\;<\;\;\;77\;\;<\;\;81\\\sqrt{64}\;<\;\sqrt{77}\;<\;\sqrt{81}\\\;\;\;\;8\;\;<\;\sqrt{77}\;<\;\;\;9\end{array}\) olur.

Bu karenin bir kenarının uzunluğu 8 ile 9 arasında bir sayıdır.

Kareköklü Bir Sayının Yaklaşık Değerini Tahmin Etme

Tam kare olmayan bir sayının karekökünün hangi sayılar arasında olduğunu bulduk. Şimdi ise biraz daha yakın bir tahmin yapmayı bir örnekle öğrenelim.

ÖRNEK: \(\sqrt{77}\) sayısının yaklaşık değerini tahmin edelim.

\(\sqrt{77}\)’nin 8 ile 9 arasında olduğunu bulmuştuk.

\(\sqrt{77}\)’nin 8’e mi 9’a mı daha yakın olduğunu bulalım:

77 sayısı 81’e 64’ten daha yakın olduğu için

\(\sqrt{77}\)’nin 9’a daha yakın olduğunu da söyleyebiliriz.

Şimdi ise tahminimizi onda birler basamağına kadar geliştirelim. Bu işlemi sayı doğrusunda temsil ederek anlatalım.

Kesirler konusunda öğrendiğimiz bilgilere dayanarak \(\sqrt{77}\)‘nin 8 ile 9 arasındaki yerini yaklaşık olarak \(8\frac{13}{17}\) tahmin ederiz.

Bu kesirde paya 77-64=13 yazdık, paydaya ise 81-64=17 yazdık.

Şimdi ise bu kesri ondalık kesre çevirmek için 13’ü 17’ye böleriz.

Tahminimizi onda birler basamağına kadar yapacağımız için virgülden sonra bir basamak bulmamız yeterli.

Bu yöntem ile \(\sqrt{77}\)‘nin yaklaşık değerini 8,7 olarak tahmin ettik.

\(\sqrt{77}\) ‘nin gerçek değeri ise = 8,774964387392122060406388307416…

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN: