- BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
- √ Standart Sapma
- √ Merkezi Yayılım Ölçüleri
- √ Merkezi Eğilim Ölçüleri
MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ
1) ARİTMETİK ORTALAMA
Verilerin toplamının veri sayısına bölümüyle elde edilir.
ÖRNEK: 2, 5, 11 sayılarının aritmetik ortalamasını bulalım.
2) MOD (TEPE DEĞER)
Bir dizideki en çok tekrar eden sayı o dizinin tepe değeridir.
# Veri grubunda her veri sadece bir kez verilmişse tepe değeri hesaplanamaz.
# Tepe değeri birden fazla olabilir.
ÖRNEK: 3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 10 veri grubunun tepe değerini bulalım.
En çok tekrar eden veri 7 olduğu için tepe değer 7’dir.
3) MEDYAN (ORTANCA DEĞER)
Bir dizideki sayılar, küçükten büyüğe doğru sıralanır. Ortadaki sayı bu dizinin medyanıdır.
# Eğer veri sayısı çift ise medyanı bulmak için ortadaki iki verinin aritmetik ortalaması alınır.
ÖRNEK: 3, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 18 veri grubunun ortanca değerini bulalım.
Veriler sıralanmış bir şekilde verilmiş. Veri grubunun tam ortasında iki tane sayı olduğu için bu sayıların ortalaması medyandır.
\(\frac{8+9}2=\frac{17}2=8,5\)MERKEZİ YAYILMA ÖLÇÜLERİ
1) AÇIKLIK
Dizideki en büyük sayıdan en küçük sayı çıkarılarak bulunan sayı dizinin açıklığıdır.
ÖRNEK: 3, 6, 1, 12, 7 veri grubunun açıklığını bulalım.
En büyük veri 12, en küçük veri 1 olduğu için açıklık = 12 − 1 = 11’dir
2) ÇEYREKLER AÇIKLIĞI
Dizideki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanır ve bu dizi tam ortadan iki gruba ayrılır. (medyandan)
Büyük olan grubun ortanca değerine üst çeyrek, küçük olan grubun ortanca değerine alt çeyrek denir.
Üst çeyrekle alt çeyreğin farkına çeyrekler açıklığı denir.
ÖRNEK: 12, 15, 20, 22, 25, 29, 32 veri grubunun çeyrekler açıklığını bulalım.
Verileri ortadan iki gruba ayırırız. 22 tam ortadadır ve iki gruba da dahil değildir.
Üst Grup: 25, 29, 32’dir. Bu grubun ortanca değerine üst çeyrek diyoruz. Üst Çeyrek = 29
Alt Grup: 12, 15, 20’dir. Bu grubun ortanca değerine alt çeyrek diyoruz. Alt Çeyrek = 15
Çeyrekler Açıklığı = 29 − 15 = 14’tür.
3) STANDART SAPMA
Dizideki her bir sayının aritmetik ortalama ile farklarının karelerinin veri sayısının bir eksiğine bölümünün kareköküne standart sapma denir. (Evet biraz karışık bir tanım oldu, aşağıda açıklayalım =)
# Tablolar, histogram, çizgi ve sütun grafikleri istatistiksel temsil biçimleridir.
STANDART SAPMA NEDİR?
TANIM: Aritmetik ortalamaları birbirine yakın veya eşit olan iki veri grubundaki çok büyük veya çok küçük değerler verilerin dağılımını etkiler. Bu durumda veri gruplarının merkezi yayılma ölçülerinden olan açıklığına veya çeyrekler açıklığına bakılır. Bu değerler veri gruplarının üst ve alt bölgelerinde yer alan ve verilerin yayılımını etkileyen değerler hakkında tam olarak bilgi vermeyebilir. Bu durumda bir başka merkezî yayılma ölçüsü olan standart sapma kullanılır.
# Standart sapma verilerin aritmetik ortalamaya göre nasıl bir yayılım gösterdiğini anlatır.
# Aritmetik ortalamaları aynı olan farklı veri gruplarından; açıklığı küçük olanın standart sapması küçük, açıklığı büyük olanın standart sapması büyüktür.
# Standart sapmanın küçük olması bir veri grubundaki değerlerin birbirine yakın olduğunu gösterir. Standart sapmanın büyük olması ise veri grubundaki değerlerin birbirinden uzak olduğunu gösterir.
# Standart sapmanın küçük olması, ortalamadan sapmanın ve riskin azlığının; büyük olması ise ortalamadan sapmanın ve riskin çokluğunun bir göstergesidir.
STANDART SAPMA NASIL HESAPLANIR?
Standart sapma hesaplama aşağıdaki adımları takip edilerek yapılır.
1. ADIM) Verilerin aritmetik ortalaması bulunur.
2. ADIM) Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki farkın kareleri toplanır.
3. ADIM) Bulunan toplam veri sayısının bir eksiğine bölünerek karekökü alınır.
ÖRNEK: Aşağıdaki veri grubunun standart sapmasını hesaplayalım.
10, 11, 13, 16, 20
1. ADIM) Önce aritmetik ortalamayı hesaplarız. Bunun için verileri toplar, veri sayısına böleriz.
10+11+13+16+20 = 70
70÷5 = 14
2. ADIM) Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki farkı buluruz ve karelerini toplarız.
| Verilerle Ortalama Arasındaki Fark | Bu Farkların Kareleri |
| 14 − 10 = 4 | 42 = 16 |
| 14 − 11 = 3 | 32 = 9 |
| 14 − 13 = 1 | 12 = 1 |
| 16 − 14 = 2 | 22 = 4 |
| 20 − 14 = 6 | 62 = 36 |
| TOPLAM = 66 |
3. ADIM) Bulduğumuz sayıyı veri sayısının bir eksiğine bölerek karekökünü alırız.
\(\sqrt{\frac{66}{5-1 }}=\sqrt{\frac{66}{4 }}=\sqrt{16,5 }\cong4\) bulunur.
ÖRNEK: İki öğrencinin bir hafta içinde okudukları kitap sayfa sayıları aşağıda verilmiştir. Bu öğrencilerin kitap okuma performanslarını değerlendirelim.
| GÜN | 1. ÖĞRENCİ | 2. ÖĞRENCİ |
| PAZARTESİ | 10 | 15 |
| SALI | 25 | 10 |
| ÇARŞAMBA | 15 | 35 |
| PERŞEMBE | 20 | 5 |
| CUMA | 10 | 15 |
ÇÖZÜM: Hangi öğrencinin günlük kitap okuması fazla bulalım.
1. Öğrencinin Günlük Ortalaması: \(\begin{array}{l}\frac{10+25+15+20+10}5=\frac{80}5=16\\\end{array}\)
2. Öğrencinin Günlük Ortalaması: \(\begin{array}{l}\frac{15+10+35+5+15}5=\frac{80}5=16\\\end{array}\)
İki öğrenci de günlük ortalama 16 sayfa kitap okumuştur. Ortalamaları eşit olduğu için bu öğrenciler arasında daha iyi bir değerlendirme yapabilmek için standart sapmalarına bakarız. Standart sapması düşük çıkan öğrenci daha istikrarlıdır.
1. Öğrencinin Standart Sapması:
\(\begin{array}{l}\sqrt{\frac{\left(16-10\right)^2+\left(16-25\right)^2+\left(16-15\right)^2+\left(16-20\right)^2+\left(16-10\right)^2}{5-1}}\\=\sqrt{\frac{6^2+9^2+1^2+4^2+6^2}4}=\sqrt{\frac{36+81+1+16+36}4}\\=\sqrt{\frac{170}4}=\sqrt{42,5}\cong6,5\end{array}\) bulunur.
2. Öğrencinin Standart Sapması:
\(\begin{array}{l}\sqrt{\frac{\left(16-15\right)^2+\left(16-10\right)^2+\left(16-35\right)^2+\left(16-5\right)^2+\left(16-15\right)^2}{5-1}}\\=\sqrt{\frac{1^2+6^2+19^2+11^2+1^2}4}=\sqrt{\frac{1+36+361+121+1}4}\\=\sqrt{\frac{520}4}=\sqrt{130}\cong11,4\end{array}\) bulunur.
YORUM:
İki öğrencinin günlük ortalama okudukları sayfa sayıları aynıdır. Ancak ilk öğrencinin standart sapması, ikinci öğrenciden düşüktür.
(Birinci öğrencinin standart sapmasının düşük çıkacağını açıklıklara bakarak da anlayabilirdik.)
Standart sapmanın düşük olması bu öğrencinin kitap okuma konusunda daha istikrarlı olduğunu, günlük okuduğu sayfa sayısının daha düzenli olduğunu gösterir.