Mükemmel Sayılar

MÜKEMMEL SAYI NEDİR?

Kendisi hariç bütün pozitif bölenlerinin toplamı kendisine eşit olan sayılara mükemmel sayı denir.

6 bir mükemmel sayıdır. Çünkü 6’nın pozitif bölenleri 1,2,3 ve 6’dır. Kendisi hariç diğer bölenlerini toplarsak 1+2+3=6 eder.

Bunun gibi 28 de mükemmel sayıdır. 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

MÜKEMMEL SAYILAR ÜZERİNE BİR ALGORİTMA

Nikomakus’un bahsettiği ancak Öklid’in ispat ettiği bir algoritma bazı çift mükemmel sayıları bulmamıza yardımcı oluyor.

Bu algoritma şu şekildedir. 2’nin bir asal kuvvetinin 1 eksiği asal ise (bunlara Mersenne Asalları diyoruz) bu sayı ile 2’nin bir önceki kuvvetinin çarpımı mükemmel sayıdır.

Mükemmel sayı bulma formülü = 2^p−1(2^p−1) 

Formüldeki p ve (2^p−1) sayıları asal sayı olmalıdır.

Buna göre ilk dört mükemmel sayı şunlardır:

p = 2 için:   2¹(2²−1) = 6

p = 3 için:   2²(2³−1) = 28

p = 5 için:   2⁴(2⁵−1) = 496

p = 7 için:   2⁶(2⁷−1) = 8128.

Mükemmel sayı bulmak için genel bir formül yoktur ancak yukarıda verilen formülle elde edilen sayılar birer mükemmel sayıdır. Formülden de anlaşılacağı üzere buradan bulunan mükemmel sayılar hep çifttir. Bu formülle hesaplanan mükemmel sayılar arasında başka mükemmel sayılar var mıdır şu an için bilinmiyor. Ayrıca tek mükemmel sayıların varlığı veya yokluğu kanıtlanamamıştır.

BİR ÖZELLİK DAHA

Mükemmel sayıların pozitif bölenlerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı 2’dir.

Örnek olarak 6 mükemmel sayısını verelim.

Pozitif çarpanları olan 1, 2, 3, 6’nın çarpmaya göre terslerini toplarsak:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2

MÜKEMMEL SAYI ÖRNEKLERİ

Yukarıdaki yöntemi kullanan modern çağın bilgisayarları 34 milyondan fazla basamağı olan mükemmel sayılar keşfettiler. İşte size ilk 15 mükemmel sayı

* 6,

* 28,

* 496,

* 8128,

* 33550336,

* 8589869056,

* 137438691328,

* 2305843008139952128,

* 2658455991569831744654692615953842176,

* 191561942608236107294793378084303638130997321548169216,

* 131640364585696483372397534604587229102234723183869431

17783728128,

* 144740111546645244279463731260859884815736774914748358

89066354349131199152128,

* 235627234572673470657895489967099049884775478583926007

1014302759750633728317862223973036553960260056136025556

6462503270175052892578043215543382498428777152427010394

4969186640286445341280338314397902368386240331714359223

5664321970310172071316352748729874740064780193958716593

6401087419375649057918549492160555646976,

* 14105378370671206906320795808606318988148674351471566

7838838675999954867742652380114104193329037690251561950

5687098293271640877243663700871167312681593136524874506

5243980587729620729744672329516665822884692680778665287

0188920867879451478364569313922060370695064736073572378

6951764730552668262532848863837150729743244638353000531

38429460296575143368065570759537328128,

* 54162526284365847412654465374391316140856490539031695

7846039208183872069941585348591989999210567199219190573

9008026364615928001382760543974626278890305730344550582

7028395139475207769044924431494861729435113126280837904

9304627406817179604658673487209925721905694655452996299

1982343103109262424446354778963544148139171981644160558

6788092147886677321398756661624714551726964302217554281

7842548173196119516598555535739377889234051462223245067

1597919375737282086087821432205222758453755289747625617

9395176624426314480313446935085203657584798247536021172

8804037830486028736212593137899949003366739415037472249

6698402824080604210869007767039525923189466627361521277

5603535764707952250173858305171028603021234896647851363

949928904973292145107505979911456221519899345764984291328,