Ürettikleri çıktılara göre, değer kümesi ve görüntü kümesinin birbiriyle ilişkisine göre çeşitli fonksiyon türleri vardır. Bu konuda fonksiyon çeşitleri olarak birim fonksiyon, sabit fonksiyon, doğrusal fonksiyon, eşit fonksiyon, tek fonksiyon, çift fonksiyon, parçalı fonksiyon, bire bir fonksiyon, örten fonksiyon ve içine fonksiyon yer almaktadır.
BİRİM FONKSİYON
A boş kümeden farklı bir küme olmak üzere A’dan A’ya tanımlı, her elemanı kendine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon (özdeşlik fonksiyon) denir ve I ile gösterilir.
Matematiksel olarak:
A \(\neq \varnothing\)
I: A → A, I(x) = x
ÖRNEK: Gerçek sayılarda tanımlı g fonksiyonu birim fonksiyondur. g(5), g(10) ve g(1,2) değerlerini bulalım.
Bir elemanın birim fonksiyon altındaki görüntüsü kendisine eşittir.
g(5) = 5
g(10) = 10
g(1,2) = 1,2
ÖRNEK: f: R → R, f(x) = (m + 2).x + n + 3 fonksiyonu birim fonksiyon ise m ve n değerlerini bulalım.
f fonksiyonu birim fonksiyon olduğu için f(x) = x olmalıdır. Bu yüzden x’in katsayısı 1 olmalı ve sabit terim 0’a eşit olmalıdır.
m + 2 = 1
m = −1
n + 3 = 0
n = −3
SABİT FONKSİYON
f : A → B fonksiyonunda, A kümesinin bütün elemanları B kümesinin yalnız bir elemanı ile eşleniyorsa f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.
Matematiksel olarak:
A, B \(\neq \varnothing\) ve k \(\in\) B
f: A → B, ∀x \(\in\) A için f(x) = k
ÖRNEK: f fonksiyonu sabit bir fonksiyondur. f(3) = 3k ve f(6) = k + 24 olduğuna göre k kaçtır bulalım.
f fonksiyonu sabit fonksiyon olduğu için f(3) değeri ile f(6) değeri eşit olmalıdır.
f(3) = f(6)
3k = k + 24
2k = 24
k = 12
ÖRNEK: f: R → R, f(x) = (a + 2).x + a fonksiyonu sabit fonksiyon ise f(10) değerini bulalım.
f fonksiyonu sabit fonksiyon olduğu için fonsiyon x’e bağlı olmamalıdır. Bu yüzden x’in katsayısı 0 olmalıdır.
a + 2 = 0
a = −2
f(x) = (a + 2).x + a
f(x) = (−2 + 2).x + (−2)
f(x) = −2
f(10) = −2
İÇİNE FONKSİYON
Bir fonksiyonun değer kümesinde en az bir eleman açıkta kalıyorsa, diğer bir ifadeyle görüntü kümesi ile değer kümesi eşit değilse bu fonksiyona içine fonksiyon denir.
Matematiksel olarak:
A, B \(\neq \varnothing\) ve f: A → B olmak üzere,
f(A) \(\neq\) B ise f fonksiyonu içinedir.
ÖRNEK: A = {0, 1, 2, 3} ve B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} kümeleriyle A’dan B’ye tanımlı f(x) = 3x + 1 fonksiyonu içine fonksiyon mudur bulalım.
Fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki görüntülerini bulalım.
f(0) = 3.0 + 1 = 1
f(1) = 3.1 + 1 = 4
f(2) = 3.2 + 1 = 7
f(3) = 3.3 + 1 = 10
Görüntü kümesini f(A) = {1, 4, 7, 10} olarak elde ederiz. Değer kümesinde bu elemanlar dışında elemanlar da vardır. Görüntü kümesi f(A), değer kümesi B’ye eşit olmadığından f fonksiyonu içine fonksiyondur.
ÖRTEN FONKSİYON
Bir fonksiyonun değer kümesindeki her bir elemana karşılık tanım kümesinde en az bir eleman varsa, diğer bir ifadeyle görüntü kümesi ile değer kümesi eşit ise bu fonksiyona örten fonksiyon denir.
Matematiksel olarak:
A, B \(\neq \varnothing\) ve f: A → B olmak üzere,
f(A) = B ise f fonksiyonu örtendir.
ÖRNEK: A = {−2, −1, 0, 1, 2} ve B = {0, 1, 2} kümeleriyle A’dan B’ye tanımlı f(x) = |x| fonksiyonu örten fonksiyon mudur bulalım.
Fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki görüntülerini bulalım.
f(−2) = |−2| = 2
f(−1) = |−1| = 1
f(0) = |0| = 0
f(1) = |1| = 1
f(2) = |2| = 2
Görüntü kümesini f(A) = {0, 1, 2} olarak elde ederiz. Görüntü kümesi f(A), değer kümesi B’ye eşittir. Bu yüzden f fonksiyonu örten fonksiyondur.
Bir fonksiyon ya içinedir ya da örtendir.
BİRE BİR FONKSİYON
Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsü tanım kümesindeki diğer elemanların görüntülerinden farklı ise bu fonksiyona bire bir fonksiyon denir.
Matematiksel olarak:
A, B \(\neq \varnothing\) ve f: A → B olmak üzere,
∀x1, x2 \(\in\) A ve x1 \(\neq\) x2 için
f(x1) \(\neq\) f(x2) oluyorsa f fonksiyonu bir bir fonksiyondur.
ÖRNEK: A = {−2, −1, 0, 1, 2} ve B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümeleriyle A’dan B’ye tanımlı f(x) = |x| ve g(x) = x + 3 fonksiyonlarının bire bir fonksiyon olup olmadığını bulalım.
Fonksiyonların tanım kümesindeki elemanların fonksiyonlar altındaki görüntülerini bulalım.
f(−2) = |−2| = 2
f(−1) = |−1| = 1
f(0) = |0| = 0
f(1) = |1| = 1
f(2) = |2| = 2
f(x) fonksiyonunda −2’nin ve 2’nin f altındaki görüntüleri aynıdır. Benzer şekilde −1’in ve 1’in de f altındaki görüntüleri aynıdır. Bu yüzden f fonksiyonu bire bir fonksiyon değildir.
g(−2) = −2 + 3 = 1
g(−1) = −1+ 3 = 2
g(0) = 0 + 3 = 3
g(1) = 1 + 3 = 4
g(2) = 2 + 3 = 5
g(x) fonksiyonunun tanım kümesindeki her bir elemanın g altındaki görüntüsü diğer elemanların görüntülerinden farklıdır. Bu yüzden g fonksiyonu bire bir fonksiyondur.
DOĞRUSAL FONKSİYON
a, b \(\in\) R olmak üzere; f: R → R, f(x) = ax + b fonksiyonuna doğrusal fonksiyon denir. Doğrusal fonksiyonların grafikleri doğru belirtir.
ÖRNEK: f: R → R, f(x) = (k + 3).x3 + (m − 5).x2 + kx + m fonksiyonu doğrusal bir fonksiyon olduğuna göre f fonksiyonunu ve f(7) değerini bulalım.
f doğrusal bir fonksiyon olduğundan x3 ve x2 içeren terim barındırmamalıdır. Bu yüzden x3 ve x2 li terimlerin katsayıları 0 olmalıdır.
k + 3 = 0
k = −3
m − 5 = 0
m = 5
Bu değerleri fonksiyonda yerine yazarsak f(x) = −3x + 5 elde ederiz. Şimdi f(7)’yi bulalım.
f(x) = −3x + 5
f(7) = −3.7 + 5
f(7) = −16
ÖRNEK: f fonksiyonu gerçek sayılarda tanımlı doğrusal bir denklemdir. f(1) = 12, f(2) = 15 ise f fonksiyonunu ve f(5)’i bulalım.
f doğrusal bir fonksiyon olduğundan f(x) = ax + b şeklinde olmalıdır. x yerine 1 ve 2 yazarak f(1) ve f(2)’ye eşitleriz. İki adet denklem elde ederiz.
f(1) = 12
a.1 + b = 12
a + b = 12
f(2) = 15
a.2 + b = 15
2a + b = 15
Elde edilen a + b = 12 ve 2a + b = 15 denklemlerinin ortak çözümünden a = 3 ve b = 9 buluruz.
f(x) = ax + b
f(x) = 3x + 9
f(5) = 3.5 + 9
f(5) = 24
EŞİT FONKSİYONLAR
Tanım ve görüntü kümeleri birbiriyle aynı olan, tanım kümesindeki her bir elemanı için bu elemanların görüntüleri de aynı olan fonksiyonlara eşit fonksiyonlar denir.
Matematiksel olarak:
A \(\neq \varnothing\) ve B \(\neq \varnothing\)
f: A → B ve g: A → B olmak üzere,
∀x \(\in\) A için f(x) = g(x) ise f = g’dir.
ÖRNEK: A = {−1, 0, 1} ve B = {−2, −1, 0, 1, 2} kümeleriyle A’dan B’ye tanımlı f(x) = 2x3 ve g(x) = 2x fonksiyonları verilsin. f ve g fonksiyonları eşit fonksiyon mudur bulalım.
f(−1) = 2.(−1)3 = −2
f(0) = 2.03 = 0
f(1) = 2.13 = 2
f = {(−1, −2), (0, 0), (1, 2)}
g(−1) = 2.(−1) = −2
g(0) = 2.0 = 0
g(1) = 2.1 = 2
g = {(−1, −2), (0, 0), (1, 2)}
Görüldüğü gibi f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri ile görüntü kümeleri aynıdır. Ayrıca tanım kümesindeki her bir eleman için iki fonksiyon da aynı değerleri üretmektedir. Bu yüzden f ve g fonksiyonları eşit fonksiyonlardır. ( f = g )
PARÇALI FONKSİYON
Tanım kümesinin ayrık alt kümelerinde farklı kurallarla belirlenen fonksiyonlara parçalı fonksiyon ya da parçalı tanımlı fonksiyon denir. Kritik noktası a olan parçalı bir f fonksiyonu şu şekilde tanımlanabilir;
\(f(x)=\left\{\begin{array}{lc}g(x)&,\;x<a\\h(x)&,\;x\geq a\end{array}\right.\)
ÖRNEK: Gerçek sayılarda tanımlı aşağıdaki f fonksiyonu için f(−3) + f(0) + f(10) işleminin sonucunu bulalım.
\(f(x)=\left\{\begin{array}{lc}x+2&,\;x<0\\x^3&,0\leq x<5\\4x&,5\leq x\end{array}\right.\)−3 sayısı fonksiyonun üstteki aralığına girdiği için −3’ü üstteki kurala yazarız.
f(−3) = −3 + 2 = −1
0 sayısı fonksiyonun ortadaki aralığına girdiği için 0’ı ortadaki kurala yazarız.
f(0) = 03 = 0
10 sayısı fonksiyonun alttaki aralığına girdiği için 10’u alttaki kurala yazarız.
f(10) = 4.10 = 40
f(−3) + f(0) + f(10) = −1 + 0 + 40 = 39
TEK VE ÇİFT FONKSİYONLAR
f: R → R olmak üzere ∀x \(\in\) R için
f(−x) = f(x) olan f fonksiyonuna çift fonksiyon,
f(−x) = −f(x) olan f fonksiyonuna tek fonksiyon denir.
ÖRNEK: Aşağıda verilen gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların tek fonksiyon ya da çift fonksiyon olup olmadıklarını bulalım.
Fonksiyonların tek ya da çift fonksiyon olup olmadıklarını tespit etmek için f(−x) bulunur.
► f(x) = x2
f(−x) = (−x)2 = x2 (x2 yerine f(x) yazarız ve aşağıdaki sonucu elde ederiz.)
f(−x) = f(x) olduğu için f fonksiyonu çift fonksiyondur.
► g(x) = x3
g(−x) = (−x)3 = −x3 (x3 yerine g(x) yazarız ve aşağıdaki sonucu elde ederiz.)
g(−x) = −g(x) olduğu için g fonksiyonu tek fonksiyondur.
► h(x) = x4 + 10
h(−x) = (−x)4 + 10 = x4 + 10 (x4 + 10 yerine h(x) yazarız ve aşağıdaki sonucu elde ederiz.)
h(−x) = h(x) olduğu için h fonksiyonu çift fonksiyondur.
► p(x) = 2x3 + 5x
p(−x) = 2.(−x)3 + 5.(−x) = −2x3 − 5x
p(−x) = −(2x3 + 5x) (2x3 + 5x yerine p(x) yazarız ve aşağıdaki sonucu elde ederiz.)
p(−x) = −p(x) olduğu için p fonksiyonu tek fonksiyondur.
► t(x) = 3x + 6
t(−x) = 3.(−x) + 6 = −3x + 6
t(−x) fonksiyonu t(x)’e veya −t(x) ‘e eşit olmadığı için bu fonksiyon tek ya da çift fonksiyon değildir.
Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.
Tek fonksiyonların grafikleri ise orijine göre simetriktir.
| ÖNCEKİ KONU | SONRAKİ KONU |
| Fonksiyon Kavramı | Fonksiyonlarda Dört İşlem |
matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!