Matematiksel

Asal Sayılar Hakkında Hipotezler

Öklid (Euklides)’ten beri asal sayılar sonsuz olduğu bilinmektedir, fakat asal sayılar hakkında pek çok başka soru hala daha cevapsızdır. Bunlardan en ünlü ikisi aralarındaki fark iki olan asal sayılar (örneğin 11 ve 13, veya 29 ve 31) hakkındaki ikiz asallar konjektürü ve asal sayıların doğal sayılar içersindeki dağılımı hakkındaki Riemann Hipotezidir. Sayılar teorisi’nin en önemli uğraşı asal sayılar hakkındaki bu tür sorulardır.

Asal sayılarla ilgili Goldbach hipotezi halen kanıtlanamamıştır: Her çift sayı iki asal sayının toplamı mıdır? Örneğin:

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5 …

Asal Sayılar

Aşkın Sayılar

AŞKIN SAYI NEDİR: Matematikte cebirsel olmayan herhangi bir reel sayıya aşkın sayı denir. Diğer bir deyişle, katsayıları tamsayı (ya da rasyonel) olan bir polinomun kökü olamayan reel sayılara aşkın sayı denir.

Buradan, tüm aşkın sayıların irrasyonel olduğu sonucuna varılabilir. Ancak tüm irrasyonel sayılar aşkın sayı değildir. Örneğin irrasyoneldir ancak aşkın değildir. Çünkü  polinomunun bir köküdür. Pi sayısı ve e sayısı aşkın sayılardır.

Pi Sayısı

e Sayısının Uygulama Alanları

Birleşik faiz problemi

Jakob Bernoulli,e sabitini birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiştir. Bu problem, basit bir örnekle anlatılabilir. Elinde 1 lirası olan bir yatırımcı, parasını yılda %100 faiz veren bir bankaya yatırırsa,bir sene sonra 2 lirası olacaktır. Diğer yandan bu yıllık faiz %50 – %50 şeklinde yılda iki kez işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + ½)² = 2,25 lira olacaktır. Benzer şekilde eğer faiz yılda dört kez %25 oranında işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + 1/4)4 = 2,4414… lira olacak, faiz her ay %8,333… oranında işlerse yıl sonundaki para (1 + 1/12)12 = 2,6130… lira olacaktır.

Faizin işleme süresini daha da kısaltırsak, her hafta işleyen faiz yıl sonunda 2,6925… lira, her gün işleyen faiz yıl sonunda 2,71453… lira verecektir. Faizin işleme süresi kısaldıkça, yıl sonundaki para 2 ve 3 arasında belli bir değere yakınsamaktadır. Yukarıdaki 3 numaralı tanımdan da görüldüğü üzere yakınsanan değer e sayısıdır.

Bernoulli denemeleri

e sayısı olasılık kuramında da çeşitli şekillerde karşımıza çıkar. Örneğin bir kumarcı, kazanma şansı 1/n olan bir oyunu n kere oynarsa, yaklaşık 1/e (%36,787…) ihtimalle hiçbir seferde kazanamayacaktır. n ne kadar büyükse, hiç kazanmama ihtimali 1/e,ye o kadar yakın olur.

Kumarcının n seferde k kere kazanma olasılığı, binom dağılımına göre aşağıdaki değere eşittir:

Buna göre, n seferde k = 0 kere kazanma olasılığı, (1 – 1/n)n dir, ve bu ifade, n büyüdükçe 1/e,ye yaklaşır.

Şapka problemi

Bir restorana giren ve girişte şapkalarını vestiyere bırakan n tane müşteri düşünelim. Vestiyer, şapkalara etiket takmayı unutunca hangi şapkanın hangi müşteriye ait olduğunu unutuyor, ve çıkışta şapkasını isteyen her müşteriye rastgele bir şapka seçip veriyor. Bu durumda, n müşteriden hiçbirinin kendi şapkasını almaması olasılığı, aşağıdaki toplama eşittir:

Müşteri sayısı n büyüdükçe, bu toplam 1/e değerine yaklaşacaktır.

e Sayısı

e Sayısının Eşdeğer Tanımları

1. e sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:

2. e sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:

Buradaki logex ifadesi, e tabanlı logaritmayı temsil etmektedir.

3. e sayısı, aşağıdaki limite eşittir:

4. e sayısı, aşağıdaki sonsuz toplama eşittir:

Buradaki n! ifadesi, n faktöriyeli temsil etmektedir: n! = 1 × 2 × 3 × … × n.

5. e sayısı, aşağıdaki integral denklemini sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:

e Sayısı

e Sayısının Tarihi

e sabitine dolaylı olarak ilk değinen İskoç matematikçi John Napier olmuştur. Napier, 1618’de logaritmalar üzerine yayımladığı bir kitabın ekinde, e sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmıştır;fakat sabitin kendisiyle fazla ilgilenmemiştir. e sayısını gerçek anlamda ilk keşfeden Jakob Bernoulli olmuştur. Bernoulli, e sayısını 1683’te birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiş ve bu sayının yaklaşık değerini hesaplamıştır. Sabite e ismini veren ise İsviçreli matematikçi Leonhard Euler’dir. Euler ilk olarak 1731’de Christian Goldbach’a yazdığı bir mektupta bu sabitten “e sayısı” diye bahsetmiştir. Euler öncesi ve sonrasında bu sabit için b ve c harfleri de kullanılmışsa da sonuçta kabul edilen isim e olmuştur.

Euler e sayısını, virgülden sonra 23. basamağına kadar hesaplayabilmiştir. Günümüzde ise e sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir. e,nin irrasyonel bir sayı olduğu Euler tarafından,aşkın bir sayı olduğu ise Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır.

e Sayısı

e Sayısı

E SAYISI NEDİR: e sayısı veya Euler sayısı, matematik, doğal bilimler ve mühendislikte önemli yeri olan sabit bir reel sayıdır. e sayısı aynı zamanda doğal logaritmanın tabanıdır.

e sayısı irrasyonel ve aşkın sayıdır. Tam değeri sonlu sayıda rakam kullanılarak yazılamaz. e sayısının yaklaşık değeri şöyledir:

2,718281828459…

e Sayısının Uygulama Alanları

e Sayısının Eşdeğer Tanımları

e Sayısının Tarihi

Matematiksel

Pi Sayısının İrrasyonelliği

Nasıl bir π sayısı? Örneğin : m ve n birer tam sayı olmak üzere, π’ nin değeri m/n şeklinde yazılabilir mi? yani π’ nin değeri rasyonel bir sayı mıdır?

Başlangıcta, matematikçiler bu yönde ümitliydiler.π‘ nin bu kadar çok ondalık kısmının hesaplanmasının nedenlerinden biri de, buydu herhalde. Matematikçiler bekliyorlardı ki, bir yerden sonra, basamaklar önceki değerlerini tekrar etsin, yani devirli bir ondalık sayı halinde yazılabilsin. Ama bu olmadı, Sonunda, 1761 yılında, İsviçre’li matematikçi Lambert, π‘ nin irrasyonel olduğunu, yani dairenin çevresi ile çapının bir ortak ölçüsü olmadığını ispatladı.

Pi Sayısı

Pi Sayısının Üstelliği

π pi sayısına ait değerin, gittikçe daha fazla basamağını hesaplama tutkusunun yanısıra, matematikçilerin rüyalarına giren başka bir  problemi de, daireyi kare yapma problemiydi. Bu uğraşıya, kendilerini kaptıranların önderi Anaksagoras’tır (M.Ö. 500-428) Bir ara Atina’da, zındıklıkla suçlanıp hapse atılan Anaksagoras, burada can sıkıntısından, daireyi kare yapmanın yollarını aramaya başlar. Kendisinin çözdüğünü sandığı, bazı yaklaşık sonuçlar elde edler. Daha sonra, Kilyos’lu Hippokrates (M.Ö. 5. yüzyıllın ikinci yarısı) , aşağıdaki şekilde taranmış ACBA alanının, AOB üçgenin alanına eşit olduğunu gösterir Buna benzer başka örnekler gösterir ki, belli eğrilerle sınırlanmış, bazı bölgelerin alanlarına eşit alanda kareler çizilebilir.

18. yüzyılın sonlarından başlayarak, dairenin kare yapılmasının imkansız olduğu fikri, matematikçilere hakim oldu. Bu kuşku o kadar büyük ki, 1775 te, Paris Bilimler Akademisi, devr-i daim makinesi projeleri, açıyı pergel ve cetvel kullanarak üç eşit parçaya bölme yöntemlerinin yanısıra daireyi kare yapma yöntemlerini de, artık inceleme kararı aldı.

1775 te Euler, 1794 te Legendra, π’ nin belki de, cebirsel bir sayı olmadığına, üstel bir sayı olması gerektiğine ilişkin inançlarını belirtirler. Fakat π’ nin üstel olduğunun kanıtlanması için, 100 yıl beklendi. Sonunda, 1882 yılında, Alman matematikçi Lindermann, π’ nin üstel olduğunu ispatladı.

Pi Sayısı

Pi Sayısının İlk 1000 Basamağı

Aşağıda π sayısının ilk 1000 basamağı verilmiştir. Sonsuza uzanan bu yolculuktaki çok çok ufak sayılabilecek bu 1000 basamak bile pi sayısının muhteşem güzelliğini gözler önüne sermeye yetmiyor mu, ne dersiniz?

3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Devamı: Pi Sayısının İlk 10 000 Basamağı

Pi Sayısı

Pi Sayısının Kronolojik Gelişimi

M.Ö. 2000 : Eski Mısırlılar π = (16/9)2 = 3.1605 değerini kullanıyorlar.

M.Ö. 2000 : Mezopotamyalılar Babil devrinde π = değerini kullanıyorlar.

M.Ö. 1200 : Çinliler π = 3 değerini kullanıyorlar.

M.Ö. 550 : Kutsal Kitapta (I. Krallar 7 : 23) , π = 3 anlamına geliyor.

M.Ô. 434 : Anaksagoras daireyi kare yapmaya girişir.

M.Ô. 300 : Yılları, Archimides 3 + 1/7 < π < 3 + 10/71  olduğunu buluyor. Bundan başka yaklaşık olarak π = 211875/67441 kesrini de buluyor.

M.S. 200 : Yıllarında, Batlamyos π = (377/120) = 3.14166 değerini kullanıyor.

M.S. 300 : Yılları, Çüng Hing π = 3.166 değerini kullanıyor.

M.S. 300 : Yılları, Vang Fau π = (142/45) = 3.155 değerini kullanıyor.

M.S. 300 : Yılları, Liu Hui π = (471/150) = 3.14 değerini kullanıyor.

M.S. 500 : Yılları, Zu Çung-Çi 3.1415926< π < 3.1415927 olduğunu buluyor.

M.S. 600 : Yılları Hintli Aryabhatta π = (62832/2000) = 3.1416 değerini kullanıyor.

M.S. 620 : Hintli Brahmagupta π = (m/10) değerini kullanıyor. Bazı kaynaklarda da Brahmagupta’nın için  değerini kullandığı belirtilir.

M.S. 1200 : İtalyan Fibonacci π = 3.141818

M.S. 1436 : Semankant Türkü Giyasüddin Cemşid el Kaşi, π ‘yi 14 basamağa kadar elde ediyor. Bu değer bugünkü kabul edilen değere göre doğrudur.

M.S. 1573 : Valentinus Otho π = (355/113) = 3.1415929 olduğunu buluyor.

M.S. 1593 : Hollanda’lı Adriaen van Rooman π’yi 15 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1596 : Hollandalı Lodolph ve Cevlen π’yi 35 basamağa kadar hesaplıyor. (Bu nedenle Almanya’da sayısı, Lodolph sayısı diye de bilinir.)

M.S. 1705 : Abraham Sharp π’ yi 72 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1706 : John Machin π’ yi 100 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1719 : Fransız De Lagny  π’ yi 127 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1737 : Leonard Euler’in benimsemesiyle π sembolü evrensellik kazanıyor.

M.S. 1761 : lsviçreli Johaun Heinrich Lambert  π’ nin irrasyonelliğini kanıtlıyor.

M.S. 1775 : İsviçre’li matematikçi, L. Euler  π’ nin üstel olabileceğine işaret ediyor.

M.S. 1794 : Fransız Adrien-Marie Legendre  π’ nin ve 2 nin irrasyonelliğini kanıtlıyor.

M.S. 1794 : Vega π’ yi 140 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1844 : Avusturyalı Schulz von Strassnigtzky π’yi 200 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1855 : Richter π’ yi 500 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1874 : lngiliz W. Shanks  π’ yi 707 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1882 : Alman Ferdinan Lindemann π’ nin üstel bir sayı olduğunu kanıtlıyor.

M.S. 1947 : İlk bilgisayar ENİAC  π’ yi 2035 basamağa kadar hesaplıyor.

M.S. 1958 : F. Genuys tarafından, Chiffers I de yayınlanan makalede, π sayısının değeri 10.000 nci ondalık basamağa kadar hesaplanmıştır.

Pi Sayısı