Pisagor Teoremi (Pisagor Bağıntısı)

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Pisagor Teoremi Nedir?
✓ Pisagor Teoremi Ne İşe Yarar?
✓ Kenar Uzunlukları Tam Sayı Olan Özel Dik Üçgenler

PİSAGOR KİMDİR?

Pisagor M.Ö. 500’lü yıllarda yaşamış Yunan filozof ve matematikçisidir. Matematik ve Müziği buluşturan Pisagor, kendi adıyla anılan Pisagor Teoremi ile meşhurdur. Pisagor’un hayatı hakkında daha fazla bilgi için: Pisagor’un hayatı 

PİSAGOR BAĞINTISI NEDİR?

Mısır’da Nil Nehri’nde bahar aylarında meydana gelen taşkınlar nedeniyle arazi sınırları sürekli değişiyor bu nedenle de arazilerin sınırlarının sıklıkla yeniden belirlenmesi gerekiyordu. Bu amaçla dik kenar uzunlukları bilinen dik üçgenlerin hipotenüs uzunluğunu veren bir bağıntı kullanılıyordu. Yunanlı matematikçi Pisagor’un (Pythagoras) adıyla anılan Pisagor bağıntısında bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir. Bu bağıntının ilk kez ne zaman ve kimin tarafından kullanıldığı tam olarak bilinmemekle beraber, bağıntının ilk kez Pisagor tarafından ispat edildiği düşünülmektedir.¹ 

PİSAGOR BAĞINTISI NE İŞE YARAR?

Pisagor bağıntısını kullanarak bir dik üçgende herhangi iki kenarın uzunluğunu biliyorsak üçüncü kenarın uzunluğunu bulabiliriz. Ayrıca kenar uzunlukları verilen bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını, hatta dar açılı üçgen mi geniş açılı üçgen mi olduğunu belirleyebiliriz.

DİK ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI

Bildiğiniz gibi bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90 derecelik açının karşısındaki kenarın özel bir adı vardır. 90 derecelik açının karşısındaki kenara hipotenüs adı verilir. Bu kenarın en uzun kenar olduğunu zaten Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları konusundan biliyorsunuz. Hipotenüs dışında geriye kalan birbirine dik olan kenarlara da dik kenarlar diyoruz.

Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. Dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki bu ilişkiye Pisagor bağıntısı denir.

Şimdi gelin pisagor bağıntısını bir örnekte kullanalım.

ÖRNEK: Dik kenarlarının uzunlukları 3 cm ve 4 cm olan bir dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğu kaç santimetredir?

ÇÖZÜM: Hipotenüsün uzunluğuna x diyerek pisagor bağıntısını yazarsak:

\(\begin{array}{l}x^2=3^2+4^2\\x^2=9\;+\;16\\x^2=25\end{array}\)

Burada bize x’in kaç olduğu lazım. x’in karesi 25’miş. “Hangi sayının karesi 25’tir?” sorusunu sorarak cevabı 5 buluruz. Tabi işler her zaman bu kadar kolay olmayabilir. Hipotenüsün karesi her zaman tam kare bir sayı olmayabilir. O yüzden şöyle bir yol izleyelim. “Bu sayı hangi sayının karesidir?” diye kendimize sormaktansa bu soruyla aynı anlamı taşıyan karekök alma işlemini kullanalım. Burada her iki tarafın karekökünü alabiliriz.

\(x^2=25\)\(\sqrt{x^2}=\sqrt{25}\)

\(x=5 \) bulunur.

x² karekök dışına x olarak çıkar, 25 de karekök dışına 5 olarak çıkar ve sonuca ulaşırız.

ÖRNEK: Hipotenüsünün uzunluğu 13 m olan ve dik kenarlarından birinin uzunluğu 5 m olan bir dik üçgenin diğer dik kenarının uzunluğunu bulalım.

ÇÖZÜM: Bu sefer verilmeyen dik kenarın uzunluğuna x diyeceğiz ve pisagor teoremini buna göre yazacağız:

\(\begin{array}{l}13^2=5^2+x^2\\169\;=\;25\;+\;x^2\\169\;-\;25\;=\;x^2\\144\;=\;x^2\\\sqrt{144}\;=\;\sqrt{x^2}\\12\;=\;x\\\end{array}\)

Bilinmeyeni yalnız bırakma adına +25’i eşitliğin karşı tarafına –25 olarak gönderdik. Bilinmeyeni bulmak için her iki tarafın karekökünü aldık ve cevabı 12 metre bulduk.

Hipotenüsün uzunluğunun ve bir dik kenarın uzunluğunun verildiği sorularda diğer dik kenarın uzunluğunun karesini bulmak için hipotenüsün uzunluğunun karesinden verilen dik kenarın uzunluğunun karesini çıkarırız.

ÖRNEKLER:

ÇÖZÜMLER: 

A Sorusu

\(\begin{array}{l}x^2=5^2+8^2\\x^2=25+64\\x^2=89\\x=\sqrt{89}\end{array}\)

B Sorusu

\(\begin{array}{l}x^2=\left(\sqrt7\right)^2+\left(\sqrt2\right)^2\\x^2=7+2\\x^2=9\\x=3\end{array}\)

C Sorusu

\(\begin{array}{l}x^2+6^2=\left(6\sqrt2\right)^2\\x^2+36\;=\;72\\x^2=72-36\\x^2=36\\x=6\end{array}\)

Ç Sorusu

\(\begin{array}{l}x^2+15^2=17^2\\x^2+225\;=\;289\\x^2=289-225\\x^2=64\\x=8\end{array}\)

KENAR UZUNLUKLARI TAM SAYI OLAN ÖZEL DİK ÜÇGENLER

Örneklerde de gördüğümüz gibi bazı üçgenler var ki kenar uzunluklarının hepsi tam sayı. Bu üçgenler sorularda sıkça sorulmaktadır. Elbette bunları ezberlemek zorunda değiliz. Pisagor bağıntısı kullanarak verilmeyen kenar uzunluğunu bulabiliriz. Ancak bunları bilmek soru çözümünde size zaman kazandırır ki zaten sorularda karşınıza çıka çıka bunlardan bazılarını istemeden de olsa ezberleyeceksiniz 🙂

Burada yazan üçgenlerde en uzun kenarın hipotenüs olduğunu unutmayın. Sonra soruda 3’ü ve 4’ü görüp dik kenarlardan birine 5 yazmayın. (Bildiğiniz gibi dik kenarlar, hipotenüsten kısa olmak zorundadır.)

3 – 4 – 5 üçgeni

5 – 12 – 13 üçgeni

6 – 8 – 10 üçgeni (3-4-5’in 2 katı)

7 – 24 – 25 üçgeni

8 – 15 – 17 üçgeni

9 – 12 – 15 üçgeni (3-4-5’in 3 katı)

…. şeklinde bu liste sonsuza kadar uzatılabilir. Burada yazanlar sıkça karşınıza çıkabilecek olanlardır. Bunların katları da alınabilir.

(1) MEB Yayınları 8. Sınıf Matematik Ders Kitabı 2014 Baskı

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

ÖNCEKİ KONU	SONRAKİ KONU
Üçgen Çizimleri	Pisagor Bağıntısı Problemleri