Kendisinden ve birden başka hiçbir tam sayıya bölünemeyen sayılara asal sayı deriz. Örneğin 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 asal sayılardır. Asal sayıların listesini çıkarmaya başladığınız zaman listedeki sayıların arasının genellikle açılmaya başladığını görürsünüz. Örneğin 1 ile 100 arasında yirmibeş asal sayı varken 100 ile 200 arasında yirmibir asal vardır. Daha büyük aralıklara bakarsak örneğin 1 ile 1 milyon arasında 78498 asal sayı varken 10 milyon ile 11 milyon arasında 61938 asal vardır. Buna bakarak asalların azaldığını ve giderek yok olacağını dü_şünebilirsiniz. Bu durumda doğal olarak en büyük asal sayı hangisidir, diye bir soru sorabilirsiniz. İşte 2000 yıl önce Öklid bu soruya çok şık bir cevap vermiştir. Öklid en büyük asal diye bir sayının olmadığını, asal sayılar listesinin sonsuz olduğunu iddia etmiştir. Bir an için Öklid asal sayılar listesinin sonlu olduğunu kabul eder.
Buna göre p1 < p2 < … < pn elimizdeki bütün asallar olsun. Şimdi K = p1.p2 … pn + 1 sayısını düşünelim. Bu sayı elimizdeki asal sayılar listesindeki her asaldan farklıdır. Var olan tüm asallar bu listede olduğuna ve K sayısı bu listede olmadığına göre K sayısı asal değildir. Öyleyse elimizdeki listedeki asallardan en az biri tarafından bölünmeli. Oysa K sayısı bu asallardan hiç birine bölünmez. Örneğin K= 1 + p1 . (p2 … pn) şeklinde yazıldığı için p1 asalına böldüğümüz zaman 1 artar. Aynı nedenle diğer asallara da bölünmez. Bir çelişkiye vardık. Asal sayıların sonlu sayıda bulunduğunu varsayınca açık bir çeliş_ki elde ediyoruz. Demek ki asal sayılardan sonsuz tane var. Bu kadar basit.
Şimdi bu duruma itiraz edebilirsiniz. Bu elde ettiimiz K sayısını da listeye ekleseydik çelişkiden kurtulur muyduk? Dikkat ederseniz çelişkiyi elde etmemizin nedeni K sayısının listede olup olmamasından çok listede yalnızca sonlu sayıda asal olmasıydı. Eer listede sonlu sayıda asal olmasaydı onları birbiriyle çarpıp 1 ekleyerek bir K sayısı elde edemez ve çelişki bulamazdık. Çelişki K sayısından değil, asalların listesinin sonlu varsayılmasından doğdu. Asal sayılarla oynamak büyük bir zevk kaynağıdır. Örneğin her n sayısıyla 2n sayısı arasında mutlaka bir asal olduğunu gösterebilir misiniz? Bu bilinen bir sonuçtur ama ispatı biraz çetrefillidir. Ya da üçten büyük her çift sayının iki asalın toplamı olarak yazılabileceğini gösterebilir misiniz? Bu Goldbach önermesi olarak tanınır ve hala doğru olup olmadığı bilinmemektedir. Ölümlü insanların bugüne kadar deneyebildikleri her çift sayı için önermenin doğru çıktıını söylemeye gerek yok… Ama ya henüz deneyemediğimiz büyüklükteki bir çift sayı için yanlışsa…