Permütasyon

PERMÜTASYON

n ve r birer doğal sayı ve r ≤ n olmak üzere n elemanlı bir kümenin birbirinden farklı r tane elemanından oluşan dizilişlerin her birine n’nin r’li permütasyonu (dizilişi) denir.

ÖRNEK: A = {1, 2, 3} kümesinin ikili permütasyonlarını yazalım.

A kümesinin elemanlarını ikişerli seçerek sıralı ikili şeklinde yazarsak:
(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1) ve (3, 2) elde ederiz.

3 elemanlı bir kümenin ikili permütasyonlarının sayısı 6’dır.

PERMÜTASYON SAYISI

n elemanlı bir kümenin r’li permütasyonlarının sayısı P (n, r) ile gösterilir.

P (n,r) = \(\frac{n!}{(n-r)!}\) şeklinde hesaplanır.

ÖRNEK: 7’nin 3’lü permütasyonlarının sayısını yani P (7, 3) değerini bulalım.

P (7, 3) = \(\frac{7!}{(7-3)!}\) = \(\frac{7!}{4!}\) = \(\frac{7.6.5.4!}{4!}\) = 7.6.5 = 210

ÖRNEK: 5 arkadaş bir sıraya ikişerli oturup fotoğraf çektirecektir. Fotoğraf çekimi kaç farklı şekilde yapılabilir bulalım.

5 kişinin ikişerli dizilişlerinin (permütasyonlarının) sayısı P (5, 2) ile bulunur.

P (5, 2) = \(\frac{5!}{(5-2)!}\) = \(\frac{5!}{3!}\) = \(\frac{120}{6}\) = 20

ÖRNEK: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarıyla 3 basamaklı rakamları farklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir.

5 elemandan 3’ünü seçip sıralayacağımız için sonuç P (5, 3) ile bulunur.

P (5, 3) = \(\frac{5!}{(5-3)!}\) = \(\frac{5!}{2!}\) = \(\frac{120}{2}\) = 60

PERMÜTASYONUN ÖZELLİKLERİ

n’nin sıfırlı permütasyonlarının sayısı

P (n, 0) = \(\frac{n!}{(n-0)!}\) = \(\frac{n!}{n!}\) = 1

ÖRNEK: P (8, 0) = 1

n’nin birli permütasyonlarının sayısı

P (n, 1) = \(\frac{n!}{(n-1)!}\) = \(\frac{n.(n-1)!}{(n-1)!}\) = n

ÖRNEK: P (8, 1) = 8

n’nin n’li permütasyonlarının sayısı

P (n, n) = \(\frac{n!}{(n-n)!}\) = \(\frac{n!}{0!}\) = n!

ÖRNEK: P (8, 8) = 8!

TEKRARLI PERMÜTASYON

Bazı elemanları özdeş olan n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarına tekrarlı permütasyon denir.

ÖRNEK: ATA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek anlamlı ya da anlamsız 3 harfli kelimeleri yazalım.

ATA kelimesinde özdeş 2 tane A harfi olduğu için bu harfler ile sadece ATA, AAT ve TAA kelimeleri yazılabilir.

n elemanlı bir kümenin elemanlarının n₁ tanesi birbiriyle özdeş, n₂ tanesi birbiriyle özdeş, …, n_r tanesi birbiriyle özdeş ise bu kümenin n’li permütasyonlarının sayısı \(\frac{n!}{n_{1}!.n_{2}!…..n_{r}!}\) ile bulunur.

ÖRNEK: HALİL kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kelime sayısını bulalım.

HALİL kelimesinde:
H → 1 tane
A → 1 tane
L → 2 tane
İ → 1 tane bulunmaktadır.

Bu yüzden harflerin yer değiştirilmesi ile elde edilebilecek 5 harfli kelime sayısı:

\(\frac{5!}{1!.1!.2!.1!}\) = \(\frac{120}{2}\) = 60 olarak bulunur.

ÖRNEK: 3 322 111 sayısının rakamları yer değiştirilerek kaç tane 7 basamaklı sayı yazılabilir bulalım.

3 322 111 sayısında:
1 → 3 tane
2 → 2 tane
3 → 2 tane bulunmaktadır.

Bu yüzden rakamların yer değiştirilmesi ile elde edilebilecek 7 basamaklı sayı adedi:

\(\frac{7!}{3!.2!.2!}\) = \(\frac{7.6.5.4.3.2}{3.2.2.2}\) = 210 olarak bulunur.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

ÖRNEK 1: TARİH kelimesinin harflerini en çok bir kez kullanarak yazılabilecek anlamlı ya da anlamsız 3 harfli kaç kelime vardır bulalım.

TARİH kelimesi 5 farklı harften oluşuyor ve bu harflerden 3’ü ile kelime yazacağız. Oluşturulabilecek kelime sayısı P (5, 3) ile bulunur.

P (5, 3) = \(\frac{5!}{(5-3)!}\) = \(\frac{5!}{2!}\) = \(\frac{120}{2}\) = 60

ÖRNEK 2: DAKİKA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek anlamlı ya da anlamsız 6 harfli kelime sayısını bulalım.

DAKİKA kelimesinde:
D → 1 tane
A → 2 tane
K → 2 tane
İ → 1 tane bulunmaktadır.

\(\frac{6!}{1!.2!.2!.1!}\) = \(\frac{720}{4}\) = 180

ÖRNEK 3: HAFTA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kelimelerin kaç tanesi F harfi ile başlar bulalım.

Oluşturacağımız kelimelerin F ile başlaması için F harfini başa sabitleriz. Diğer harflerin diziliş sayısını buluruz.

[F harfi sabit] – H,A,T,A harflerinin yeri değişecek

H,A,T,A harfleri arasında:
H → 1 tane
A → 2 tane
T → 1 tane bulunmaktadır.

\(\frac{4!}{1!.2!.1!}\) = \(\frac{24}{2}\) = 12

ÖRNEK 4: SAAT kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek anlamlı ya da anlamsız 3 harfli kaç kelime vardır bulalım.

4 harften biri kullanılmayacağı için her bir harfin kullanılmadığı durumları ayrı ayrı inceleriz.

S harfi kullanılmazsa → A, A, T harfleriyle 3 tane,
T harfi kullanılmazsa → S, A, A harfleriyle 3 tane,
A harflerinden biri kullanılmazsa → S, A, T harfleriyle 6 tane kelime yazılır.

Toplam kelime sayısı 3 + 3 + 6 = 12 tanedir.

ÖRNEK 5: Aşağıdaki 6 kutudan herhangi 4’ü kırmızıya boyanacaktır. Bu boyama işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir bulalım.

Örnek bir boyama yaparsak şu şekilde bir görüntü elde ederiz.

Buradaki oluşabilecek farklı görüntü sayısı, KBBKKK kelimesinin harflerinin yerlerinin değiştirilmesiyle elde edilebilecek kelime sayısına eşittir.

KBBKKK kelimesinde:
K → 4 tane
B → 2 tane bulunmaktadır.

\(\frac{6!}{4!.2!}\) = \(\frac{720}{48}\) = 15

ÖRNEK 6: Aşağıdaki şekilde A noktasından başlayarak çizgiler üzerinden ve en kısa yoldan B’ye, daha sonra ise C’ye gidilecektir. Kaç farklı şekilde bu işlem gerçekleştirilebilir bulalım.

A’dan B’ye en kısa yoldan gitmek için 2 yukarı (Y) ve 4 sağa (S) gitmek gerekir. Bu hareketlerin sırası önemli değildir. Örneğin YYSSSS ya da SSSYSY şeklinde bir hareketle B’ye varılabilir.

A’dan B’ye \(\frac{6!}{2!.4!}\) = \(\frac{720}{48}\) = 15 farklı yolla gidilebilir.

Benzer şekilde B’den C’ye en kısa yoldan gitmek için 2 yukarı (Y) ve 2 sağa (S) gitmek gerekir. Bunu da YYSS ya da SSYY gibi hareketlerle yapabilir.

B’den C’ye \(\frac{4!}{2!.2!}\) = \(\frac{24}{4}\) = 6 farklı yolla gidilebilir.

A’dan C’ye, B’den geçerek 15.6 = 90 farklı yolla gidilebilir.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!