Genel Konu Anlatımları

Sayı örüntüleri konusuna daha önceki yıllardan aşinayız. Belirli bir kurala göre devam eden sayıların oluşturduğu örüntüye sayı örüntüleri diyorduk. Burada ise sayı dizinin ne olduğunu, aritmetik ve geometrik dizileri ve özel sayı örüntülerini öğreneceğiz.

SAYI DİZİSİ NEDİR?

# Sayıların virgülle ayrılarak birbiri ardına dizilmesine sayı dizisi denir. Dizideki her bir sayıya dizinin terimi denir.

ÖRNEK-1: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … dizisi tek sayılardan oluşan ve 1’den başlayarak ikişer ikişer artan bir sayı dizisidir.

ÖRNEK-2: 1, 3, 9, 27, 81, 243, … dizisi 1’den başlayıp üçer üçer katlanarak devam eden bir sayı dizisidir.

ARİTMETİK SAYI DİZİSİ NEDİR?

# Bir sayı dizisindeki ardışık iki terim arasındaki fark sabit bir sayı ise bu diziye aritmetik dizi denir. Örneğin yukarıda verdiğimiz Örnek-1’deki tek sayılar dizisi aritmetik bir dizidir çünkü ardışık terimler arasındaki fark sabittir.

# Aritmetik dizide ardışık iki terim arasındaki farka dizinin ortak farkı denir. Tek sayılar dizisinde dizinin ortak farkı 2’dir. Dizinin ortak farkı bulunurken herhangi bir terimden bir önceki terim çıkartılır.

ARİTMETİK DİZİNİN GENEL TERİMİ NASIL BULUNUR?

Aritmetik dizinin genel terimi şu mantıkla bulunabilir. Örneğin 1’den başlayan ve ortak farkı 4 olan (yani dörder dörder artan) bir dizi oluşturalım. Bu dizinin terimleri şu şekilde olur:

1. terim:   1

2. terim:   5 = 1 + 4

3. terim:   9 = 1 + 4 + 4

4. terim: 13 = 1 + 4 + 4 + 4

görüldüğü gibi her bir terimi oluştururken aslında ilk terimden yola çıkıyoruz ve dizinin ortak farkını ekleyerek devam ediyoruz. Dizinin ortak farkını terim sayısının bir eksiği kadar ekliyoruz. Bu mantıkla mesela 10. terimi bulalım.

10. terim: 1 + 9 tane 4 = 1 + 9 . 4  = 1 + 36 = 37

ARİTMETİK DİZİ GENEL TERİM FORMÜLÜ:

İlk terimi a₁ olan ve ortak farkı r olan bir aritmetik dizinin genel terimi:

a_n = a₁ + (n-1) . r

GEOMETRİK SAYI DİZİSİ NEDİR?

# Bir sayı dizisindeki ardışık iki terim arasındaki oran sabit bir sayı ise bu diziye geometrik dizi denir. Örneğin yukarıda verdiğimiz Örnek-2’deki dizi geometrik bir dizidir çünkü ardışık terimler arasındaki oran sabittir.

# Geometrik dizide ardışık iki terim arasındaki orana dizinin ortak çarpanı denir. Örnek-2’deki dizinin ortak çarpanı 3’tür. Ortak çarpan bulunurken herhangi bir terim bir önceki terime bölünür.

GEOMETRİK DİZİNİN GENEL TERİMİ NASIL BULUNUR?

Geometrik dizinin genel terimi şu mantıkla bulunabilir. Örneğin 1’den başlayan ve ortak çarpanı 2 olan (yani ikiye katlanarak devam eden) bir dizi oluşturalım. Bu dizinin terimleri şu şekilde olur:

1. terim:   1

2. terim:   2 = 1 x 2

3. terim:   4 = 1 x 2 x 2

4. terim:   8 = 1 x 2 x 2 x 2

görüldüğü gibi her bir terimi oluştururken aslında ilk terimden yola çıkıyoruz ve dizinin ortak çarpanıyla çarparak devam ediyoruz. Dizinin ortak çarpanını terim sayısının bir eksiği kadar çarpıyoruz. Bu mantıkla mesela 10. terimi bulalım.

10. terim: 1 x 9 tane 2’nin çarpımı = 1 x 2⁹  = 1 x 512 = 512

GEOMETRİK DİZİ GENEL TERİM FORMÜLÜ:

İlk terimi a₁ olan ve ortak çarpanı r olan bir geometrik dizinin genel terimi:

a_n = a¹ . r^(n-1)

ÖZEL SAYI ÖRÜNTÜLERİ

ÜÇGENSEL SAYILAR

# 1’den n’ye kadar olan n doğal sayının toplamı şeklinde yazılabilen sayılara üçgensel sayılar denir. Bu sayılarla oluşturulmuş örüntüye ise üçgensel sayı dizisi denir.

Yukarıdaki tanımı örneklendirecek olursak:

1 üçgensel sayıdır.

3 üçgensel sayıdır çünkü 3 = 1+2

6 üçgensel sayıdır çünkü 6 = 1+2+3

bu listeyi bu şekilde uzatabiliriz.

# Üçgensel sayıları bir örüntü şeklinde yazacak olursak: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, …

KARESEL SAYILAR

#  Bir tam sayının karesi şeklinde yazılabilen sayılara tam kare sayılar veya karesel sayılar denir. Bu sayılarla oluşturulmuş örüntüye ise karesel sayı dizisi denir.

Yukarıdaki tanımı örneklendirecek olursak:

1 karesel sayıdır çünkü 1 = 1²

4 karesel sayıdır çünkü 4 = 2²

9 karesel sayıdır çünkü 9 = 3²

bu listeyi bu şekilde uzatabiliriz.

# Karesel sayıları bir örüntü şeklinde yazacak olursak: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …

 FİBONACCİ SAYI DİZİSİ

Fibonacci sayıları İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci’nin ortaya koyduğu bir sayı dizisidir. Fibonacci sayı dizisi ilk iki terim hariç her terimin kendisinden önceki iki terimin toplanmasıyla oluşturulan bir dizidir.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … şeklinde devam eder.

Fibonacci bu sayı dizisini bir probleme çözüm ararken bulmuştur ve bu dizinin bir çok özelliği vardır. Daha fazla bilgi için sitemizde özel kategori açtığımız bölüme bakabilirsiniz:

FİBONACCİ SAYI DİZİSİ

PASCAL ÜÇGENİ

Fransız matematikçi Blaise PASCAL’ın sayı üçgeni üzerinde çok çalışması vardır. Bu sebeple sayıların toplanarak aşağıya doğru genişleşletilmesine dayanan piramit şeklindeki sayı üçgenine Paskal Üçgeni denilmektedir. Pascal üçgendeki sayılar arasındaki örüntüleri 1653 sayfalık bir çalışmada anlatmıştır. Farklı kaynaklarda bu sayı üçgenini Ömer HAYYAM’ın da incelediği belirtilmektedir. Bu sayı üçgenine Hayyam Üçgeni de denmektedir.

Pascal üçgeni binom açınımında, olasılıkta, kümelerde kullanılan bir sayı üçgenidir.

Yazar: www.matematikciler.com

Dik üçgendeki dar açıların trigonometrik oranlarını öğrendik. Hatta 30, 45 ve 60 derecelik açıların trigonometrik oranlarının değerlerini biliyoruz. Şimdi bu bilgilerimizi problem çözmede kullanmaya geldi sıra. Trigonometri ile ilgili problemlere geçmeden önce Trigonometri konu anlatımına göz atmanızda fayda var: Trigonometri

 PROBLEM-1

Bir kayaya dayalı duran dal parçasının üst ucunda bulunan karınca, bulduğu buğday tanesini yuvasına götürmek istiyor. Buna göre buğday tanesini yuvasına kadar kaç metre taşımalıdır?

ÇÖZÜM:  Şekilde oluşan üçgeni çizersek 30° – 60° – 90° üçgeni oluşur. ABC üçgeninde 30°’nin karşısındaki kenarın uzunluğu 1,5 metredir. Sin30° = 0,5 olduğu için hipotenüsün uzunluğu 30°’nin karşısındaki kenarın uzunluğunun 2 katıdır. Bu yüzden dal parçasının uzunluğunu 3 metre buluruz.

Yuvasına varmak için dal uzunluğu ile 5 metreyi toplamalıyız.

5 + 3 = 8 metre cevabını buluruz.

 PROBLEM-2

3,6 metre boyundaki bir direğin gölgesi ile Güneş ışınlarının yaptığı açı 66°’dir. Verilenlere göre gölgenin bitim noktasının direğin tepesine olan uzaklığı kaç metredir? (sin 66° ∼ 0,9)

ÇÖZÜM:  Soruda verilenleri geometrik olarak çizersek bir dik üçgen oluşur. Bu dik üçgende 66 derecelik bir açı, bu açının karşısındaki kenarın uzunluğu verilmiştir ve hipotenüsün uzunluğu sorulmaktadır.

Bu üçgende 66 derecelik açının sinüsünü yazacak olursak: \(\sin\;66^\circ\;=\;\frac{3,6}x\)

Sorunun sonunda 66 derecenin sinüsünün yaklaşık olarak 0,9 olduğu verilmiştir. O zaman az önce yazdığımız oranı bu sayıya eşitler ve bir orantı oluştururuz.

\(\frac{3,6}x=\frac9{10}\)

Son olarak içler-dışlar çarpımı yaparak sonucu buluruz.

9 . x = 10 . 3,6
9x = 36
x = 4 metre

PROBLEM-3

Bir arazi aracı zeminle 30°’lik açı yapan bir yolda 100 m ilerliyor ve daha sonraki \(80\sqrt2\) m’lik yolda yolun zeminle yaptığı açı 15° daha artıyor. Araç A noktasına ulaştığında yerden yüksekliği kaç metre olur?

ÇÖZÜM:  Şekli geometrik olarak çizersek iki tane dik üçgen oluşur. Bunlardan biri 30-60-90 üçgeni, diğeri ise 45-45-90 üçgeni. Bu üçgenlerdeki dar açıların trigonometrik oranlarını biliyoruz. Bu bilgilerimize dayanarak soruyu şu şekilde çözeriz:

CDE üçgeninde hipotenüsün uzunluğu 100 m olduğu için 30°’un karşısındaki kenarın yani CD kenarının uzunluğu hipotenüsün yarısıdır. (50 metre)

ABC üçgeninde hipotenüsün uzunluğu \(80\sqrt2\) olduğu için 45°’nin karşısındaki kenarın yani AB kenarının uzunluğu hipotenüsün \(\sqrt2\)‘ye bölümüdür. (80 metre)

Araç A noktasına geldiğinde yerden yüksekliği: 50 + 80 = 130 metre olur.

TRİGONOMETRİ NEDİR? NE İŞE YARAR?

Trigonometri kelimesi Yunanca trigōnon (üçgen) ve metron (ölçmek) kelimelerinin birleşmesiyle oluşmuştur. Trigonometri, üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinen bir matematik dalıdır. Trigonometri günümüzde ekonomi, fizik ve mühendislik alanlarında sıkça kullanılmaktadır.

DİK ÜÇGENDEKİ ORANLAR

Dik üçgende 90 derece dışındaki diğer açılardan birini seçelim. Örneğin resimde A açısı seçilmiştir.
Trigonometrik oranları yazarken resimdeki gibi bir isimlendirme kullanacağız. 90 derecenin karşısındaki kenara hipotenüs, seçtiğimiz açının karşısındaki kenara karşı kenar, geriye kalan ve açının bir kolu olan kenara ise komşu kenar diyeceğiz. İsimlendirme işinde de anlaştığımıza göre gelelim bu kenarları oranlamaya.

SİNÜS

Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına o dar açının sinüsü denir. Bir A açısının sinüsü “sin A” şeklinde gösterilir.

KOSİNÜS

Bir dik üçgende, bir dar açının komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına o dar açının kosinüsü denir. Bir A açısının kosinüsü “cos A” şeklinde gösterilir.

TANJANT

Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranına o dar açının tanjantı denir. Bir A açısının tanjantı “tan A” şeklinde gösterilir.

KOTANJANT

Bir dik üçgende, bir dar açının komşu dik kenar uzunluğunun karşısındaki dik kenar uzunluğuna oranına o dar açının kotanjantı denir. Bir A açısının kontanjantı “cot A” şeklinde gösterilir.

 ÇIKARILACAK DERSLER

Yukarıdaki trigonometrik oranları incelediğinizde aşağıdaki yazılanların bazılarını (belki hepsini) keşfetmiş olabilirsiniz. Ama biz yine de yazalım.
# Birbirini 90 dereceye tamamlayan (birbirinin tümleri olan) iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir.
# Birbirini 90 dereceye tamamlayan (birbirinin tümleri olan) iki açıdan birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına eşittir.
# Bir dar açının tanjantı ile kotanjantı birbirinin çarpmaya göre tersidir. (Çarpmaya göre tersi?)
“Komşu/Hipotenüs Sinüs müydü, Kosinüs müydü?” veya “Komşu / Karşı Tanjant mıydı, Kotanjant mıydı?” gibi sorulara çözüm olarak şöyle bir yöntem izleyebilirsiniz. “Ko” ile başlayanların (yani kosinüs ve kotanjant) payında komşu var.

ÖZEL DİK ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ORANLAR

30 – 60 – 90 ÜÇGENİ

Eşkenar üçgende bir kenara ait yükseklik çizilirse oluşan iki dik üçgenin de açıları 30° – 60° – 90° olur. Bu eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğunu 2a kabul edersek, oluşan dik üçgenlerde 30 derecelik açının karşısı a olur çünkü yükseklik aynı zamanda kenarortaydır. Yüksekliğin uzunluğunu da Pisagor Bağıntısından bulabiliriz. Bu kenarları oranlarsak aşağıdaki trigonometrik oranları elde ederiz.

Buradan şu sonuçlara da varabiliriz. 30-60-90 üçgeninde:
# Hipotenüsün uzunluğu 30 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun 2 katıdır.
# 60 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğu, 30 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun \(\sqrt3\) katıdır.

45- 45 – 90 ÜÇGENİ

İkizkenar bir dik üçgenin açıları 45° – 45° – 90° ‘dir. Bu ikizkenar dik üçgenin dik kenarlarının uzunluğunu a kabul edersek hipotenüsün uzunluğunu Pisagor Bağıntısından \(a\sqrt2\) buluruz. Bu kenarları oranlarsak aşağıdaki trigonometrik oranları elde ederiz.

Buradan şu sonuca da varabiliriz. 45-45-90 üçgeninde:
# Hipotenüsün uzunluğu diğer kenarların uzunluğunun \(\sqrt2\) katıdır.

30° – 45° – 60° AÇILARININ TRİGONOMETRİK ORAN TABLOSU

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

1) ARİTMETİK ORTALAMA

Verilerin toplamının veri sayısına bölümüyle elde edilir.

ÖRNEK: 2, 5, 11 sayılarının aritmetik ortalamasını bulalım.

$\frac{2+5+11}{3}=\frac{18}{3}=6$

2) MOD (TEPE DEĞER)

Bir dizideki en çok tekrar eden sayı o dizinin tepe değeridir.

# Veri grubunda her veri sadece bir kez verilmişse tepe değeri hesaplanamaz.

# Tepe değeri birden fazla olabilir.

ÖRNEK: 3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 10 veri grubunun tepe değerini bulalım.

En çok tekrar eden veri 7 olduğu için tepe değer 7’dir.

3) MEDYAN (ORTANCA DEĞER)

Bir dizideki sayılar, küçükten büyüğe doğru sıralanır. Ortadaki sayı bu dizinin medyanıdır.

# Eğer veri sayısı çift ise medyanı bulmak için ortadaki iki verinin aritmetik ortalaması alınır.

ÖRNEK: 3, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 18 veri grubunun ortanca değerini bulalım.

Veriler sıralanmış bir şekilde verilmiş. Veri grubunun tam ortasında iki tane sayı olduğu için bu sayıların ortalaması medyandır.

\(\frac{8+9}2=\frac{17}2=8,5\)

MERKEZİ YAYILMA ÖLÇÜLERİ

1) AÇIKLIK

Dizideki en büyük sayıdan en küçük sayı çıkarılarak bulunan sayı dizinin açıklığıdır.

ÖRNEK: 3, 6, 1, 12, 7 veri grubunun açıklığını bulalım.

En büyük veri 12, en küçük veri 1 olduğu için açıklık = 12 − 1 = 11’dir

2) ÇEYREKLER AÇIKLIĞI

Dizideki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanır ve bu dizi tam ortadan iki gruba ayrılır. (medyandan)

Büyük olan grubun ortanca değerine üst çeyrek, küçük olan grubun ortanca değerine alt çeyrek denir.

Üst çeyrekle alt çeyreğin farkına çeyrekler açıklığı denir.

ÖRNEK: 12, 15, 20, 22, 25, 29, 32 veri grubunun çeyrekler açıklığını bulalım.

Verileri ortadan iki gruba ayırırız. 22 tam ortadadır ve iki gruba da dahil değildir.

Üst Grup: 25, 29, 32’dir. Bu grubun ortanca değerine üst çeyrek diyoruz. Üst Çeyrek = 29

Alt Grup: 12, 15, 20’dir. Bu grubun ortanca değerine alt çeyrek diyoruz. Alt Çeyrek = 15

Çeyrekler Açıklığı = 29 − 15 = 14’tür.

3) STANDART SAPMA

Dizideki her bir sayının aritmetik ortalama ile farklarının karelerinin veri sayısının bir eksiğine bölümünün kareköküne standart sapma denir. (Evet biraz karışık bir tanım oldu, aşağıda açıklayalım =)

# Tablolar, histogram, çizgi ve sütun grafikleri istatistiksel temsil biçimleridir.

STANDART SAPMA NEDİR?

TANIM: Aritmetik ortalamaları birbirine yakın veya eşit olan iki veri grubundaki çok büyük veya çok küçük değerler verilerin dağılımını etkiler. Bu durumda veri gruplarının merkezi yayılma ölçülerinden olan açıklığına veya çeyrekler açıklığına bakılır. Bu değerler veri gruplarının üst ve alt bölgelerinde yer alan ve verilerin yayılımını etkileyen değerler hakkında tam olarak bilgi vermeyebilir. Bu durumda bir başka merkezî yayılma ölçüsü olan standart sapma kullanılır.

# Standart sapma verilerin aritmetik ortalamaya göre nasıl bir yayılım gösterdiğini anlatır.

# Aritmetik ortalamaları aynı olan farklı veri gruplarından; açıklığı küçük olanın standart sapması küçük, açıklığı büyük olanın standart sapması büyüktür.

# Standart sapmanın küçük olması bir veri grubundaki değerlerin birbirine yakın olduğunu gösterir. Standart sapmanın büyük olması ise veri grubundaki değerlerin birbirinden uzak olduğunu gösterir.

# Standart sapmanın küçük olması, ortalamadan sapmanın ve riskin azlığının; büyük olması ise ortalamadan sapmanın ve riskin çokluğunun bir göstergesidir.

STANDART SAPMA NASIL HESAPLANIR?

Standart sapma hesaplama aşağıdaki adımları takip edilerek yapılır.

1. ADIM) Verilerin aritmetik ortalaması bulunur.

2. ADIM)  Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki farkın kareleri toplanır.

3. ADIM) Bulunan toplam veri sayısının bir eksiğine bölünerek karekökü alınır.

ÖRNEK:  Aşağıdaki veri grubunun standart sapmasını hesaplayalım.

10, 11, 13, 16, 20

1. ADIM) Önce aritmetik ortalamayı hesaplarız. Bunun için verileri toplar, veri sayısına böleriz.

10+11+13+16+20 = 70

70÷5 = 14

2. ADIM) Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki farkı buluruz ve karelerini toplarız.

3. ADIM) Bulduğumuz sayıyı veri sayısının bir eksiğine bölerek karekökünü alırız.

\(\sqrt{\frac{66}{5-1 }}=\sqrt{\frac{66}{4 }}=\sqrt{16,5 }\cong4\) bulunur.

ÖRNEK: İki öğrencinin bir hafta içinde okudukları kitap sayfa sayıları aşağıda verilmiştir. Bu öğrencilerin kitap okuma performanslarını değerlendirelim.

ÇÖZÜM:  Hangi öğrencinin günlük kitap okuması fazla bulalım.

1. Öğrencinin Günlük Ortalaması: \(\begin{array}{l}\frac{10+25+15+20+10}5=\frac{80}5=16\\\end{array}\)

2. Öğrencinin Günlük Ortalaması: \(\begin{array}{l}\frac{15+10+35+5+15}5=\frac{80}5=16\\\end{array}\)

İki öğrenci de günlük ortalama 16 sayfa kitap okumuştur. Ortalamaları eşit olduğu için bu öğrenciler arasında daha iyi bir değerlendirme yapabilmek için standart sapmalarına bakarız. Standart sapması düşük çıkan öğrenci daha istikrarlıdır.

1. Öğrencinin Standart Sapması:

\(\begin{array}{l}\sqrt{\frac{\left(16-10\right)^2+\left(16-25\right)^2+\left(16-15\right)^2+\left(16-20\right)^2+\left(16-10\right)^2}{5-1}}\\=\sqrt{\frac{6^2+9^2+1^2+4^2+6^2}4}=\sqrt{\frac{36+81+1+16+36}4}\\=\sqrt{\frac{170}4}=\sqrt{42,5}\cong6,5\end{array}\) bulunur.

 2. Öğrencinin Standart Sapması:

\(\begin{array}{l}\sqrt{\frac{\left(16-15\right)^2+\left(16-10\right)^2+\left(16-35\right)^2+\left(16-5\right)^2+\left(16-15\right)^2}{5-1}}\\=\sqrt{\frac{1^2+6^2+19^2+11^2+1^2}4}=\sqrt{\frac{1+36+361+121+1}4}\\=\sqrt{\frac{520}4}=\sqrt{130}\cong11,4\end{array}\) bulunur.

YORUM:

İki öğrencinin günlük ortalama okudukları sayfa sayıları aynıdır. Ancak ilk öğrencinin standart sapması, ikinci öğrenciden düşüktür.

(Birinci öğrencinin standart sapmasının düşük çıkacağını açıklıklara bakarak da anlayabilirdik.)

Standart sapmanın düşük olması bu öğrencinin kitap okuma konusunda daha istikrarlı olduğunu, günlük okuduğu sayfa sayısının daha düzenli olduğunu gösterir.

Bu konuya başlamadan önce Olasılık Konu Anlatımına göz atmanızda fayda var.

OLAY ÇEŞİTLERİ

1) BAĞIMSIZ OLAY

# Bir olayın gerçekleşip gerçekleşmediği diğer bir olayın gerçekleşmesine bağlı değil ise yani bir olayın sonucu diğer olayın sonucunu etkilemiyorsa böyle olaylara bağımsız olaylar denir.

ÖRNEK: Bir madeni para ile bir zar birlikte havaya atılıyor. Zarın üst yüzüne çift sayı gelmesi ve paranın da tura gelmesi olayını inceleyelim.

Zarın üst yüzünde çift sayı gelmesi paranın tura gelmesini etkilemez.

Benzer şekilde paranın tura gelmesi de zarın çift gelmesini etkilemez.

Bu yüzden bu iki olay bağımsız olaylardır.

ÖRNEK: Bir torbada 1’den 10’a kadar numaralandırılmış 10 tane eş kart vardır. Çekilen kart geriye atılmak şartıyla rastgele seçilen iki karttan ilkinin 5, ikincisinin 6 olması olayını inceleyelim.

Torbadan çekilen kart geri atıldığı için ilk çekilen kart ikinci çekilecek kartı etkilemeyecektir. Torba içinde herhangi bir değişiklik olmayacaktır. Bu yüzden bu iki olay bağımsız olaylardır.

2) BAĞIMLI OLAY

# Bir olayın gerçekleşip gerçekleşmediği diğer bir olayın gerçekleşmesine bağlı ise yani bir olayın sonucu diğer olayın sonucunu etkiliyorsa böyle olaylara bağımlı olaylar denir.

ÖRNEK: Bir sınıftaki öğrencilerin isimleri kartlara yazılıp torbaya atılıyor. Çekilen kartı torbaya geri atmamak şartıyla art arda çekilen iki karttan ilki sınıf başkanı, ikincisi sınıf yardımcısı olacaktır.

Başkan seçilen kişi yardımcı olamayacağı için, yani seçilen kartı tekrar seçemeyeceğimiz için (torbaya geri atılmıyor) bu iki olay bağımlı olaylardır.

BAĞIMLI MI BAĞIMSIZ MI?

# İki veya daha fazla olayın bağımlı olaylar mı bağımsız olaylar mı olduklarını anlamak için aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

# Arka arkaya iki defa atılan bir madeni paranın üst yüzüne her iki atışta da tura gelmesi. (BAĞIMSIZ)

# İki zarın aynı anda havaya atılması deneyinde zarların üst yüzeyine gelen sayıların 3’ten küçük olması. (BAĞIMSIZ)

# Bir torbada 1 mavi, 5 yeşil , 4 kırmızı bilye vardır. Çekilen bilye geri atılmamak koşuluyla art arda çekilen iki bilyenin farklı renkte olması. (BAĞIMLI)

# Bir torbada 1 mavi, 5 yeşil , 4 kırmızı bilye vardır. Çekilen bilye geri atılmak koşuluyla art arda çekilen iki bilyenin farklı renkte olması. (BAĞIMSIZ)

BAĞIMLI VE BAĞIMSIZ OLAYLARIN OLASILIK HESABI

1) BAĞIMSIZ OLAYLARIN OLASILIĞI NASIL HESAPLANIR?

# Bağımsız olan birden fazla olayın birlikte gerçekleşmesi olasılığını hesaplamak için bu olayları olma olasılıklarını ayrı ayrı hesaplayıp çarparız.

# P(A ve B) = P(A∩B) = P(A) . P(B)

ÖRNEK: Bir madeni para ile bir zar birlikte havaya atılıyor. Zarın üst yüzüne çift sayı gelmesi ve paranın tura gelmesi olasılığını hesaplayalım.

Zarda çift sayı gelme olayı “A” olayı olsun. Zarda 6 tane yüzey vardır ve bu yüzeylerden 3 tanesi çift sayıdır.

$P\left(A\right)=\frac{s\left(A\right)}{s\left(Ö\right)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Paranın tura gelme olayı “B” olayı olsun. Parada 2 ihtimal vardır ve bunlardan biri turadır.

$P\left(B\right)=\frac{s\left(B\right)}{s\left(Ö\right)}=\frac{1}{2}$

Bu iki bağımsız olayın birlikte gerçekleşme olasılığını bulmak için bu iki olasılığı çarparız.

$P(A\cap B)=P\left(A\right).P\left(B\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

ÖRNEK: Bir torbada 1’den 10’a kadar numaralandırılmış 10 tane eş kart vardır. Çekilen kart geriye atılmak şartıyla art arda rastgele seçilen iki karttan ilkinin asal sayı, ikincisinin 5 olması olayını inceleyelim.

Torbada 10 kart var ve üzerinde asal sayı yazan (2,3,5,7) 4 kart var.

$P\left(A\right)=\frac{s\left(A\right)}{s\left(Ö\right)}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

Torbada 10 kart var ve üzerinde 5 yazan sadece 1 kart var.

$P\left(B\right)=\frac{s\left(B\right)}{s\left(Ö\right)}=\frac{1}{10}$

Şimdi bu iki bağımsız olayın gerçekleşme olasılığını bulalım.

$P(A\cap B)=P\left(A\right).P\left(B\right)=\frac{2}{5}.\frac{1}{10}=\frac{2}{50}=\frac{1}{25}$

2) BAĞIMLI OLAYLARIN OLASILIĞI NASIL HESAPLANIR?

# Bağımlı olan birden fazla olayın birlikte gerçekleşmesi olasılığını hesaplamak için bu olayları olma olasılıklarını birbirlerine etkilerini düşünerek hesaplayıp çarparız. B olayı A olayına bağlı ise bu olayların olma olasılıkları aşağıdaki şekilde hesaplanır.

# P(A ve B) = P(A∩B) = P(A) . P(A’ya bağlı B)

ÖRNEK: İçinde 30 kalem bulunan bir kutudaki kalemlerin 12’si kurşun kalem, 18’i tükenmez kalemdir. Kutudan rastgele bir kalem seçiliyor ve kutuya geri atılmıyor. Kutudan bir kalem daha seçiliyor. 

a) Seçilen birinci kalemin kurşun kalem, ikinci kalemin tükenmez kalem olma olasılığını hesaplayalım.

Burada bir kalem seçilince geri atılmadığı için bu olaylar bağımlı olaylardır. Bu yüzden ikinci seçimimizde kutudaki kalem sayısındaki azalmaya dikkat etmeliyiz.

Birinci kalemin kurşun kalem olma olasılığı;

$P\left(K\right)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$

İkinci kalemin tükenmez kalem olma olasılığı;

(İlk seçtiğimiz kurşun kalemden dolayı toplam kalem sayısı 1 azalıyor.)

$P\left(T\right)=\frac{18}{29}$

Bu iki bağımlı olayın birlikte gerçekleşme olasılığını bulmak için bu iki olasılığı çarparız.

$P(K ve T)=\frac{2}{5}.\frac{18}{29}=\frac{36}{145}$

b) Seçilen iki kaleminde kurşun kalem olma olasılığını bulalım.

Birinci kalemin kurşun kalem olma olasılığı;

$P\left(K\right)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$

İkinci kalemin de kurşun kalem olma olasılığı;

(İlk seçtiğimiz kalem kurşun kalem olduğu için hem kurşun kalem sayısı hem toplam kalem sayısı 1 azalıyor.)

$P\left(L\right)=\frac{11}{29}$

Bu iki bağımlı olayın birlikte gerçekleşme olasılığını bulmak için bu iki olasılığı çarparız.

$P(K ve L)=\frac{2}{5}.\frac{11}{29}=\frac{22}{145}$

Yazar: www.matematikciler.com

OLASILIK VE OLAY ÇEŞİTLERİ TESTİ ÇÖZ

OLASILIK İLE İLGİLİ TEOG’DA ÇIKMIŞ SORULAR