BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Üslü Nicelikler
✓ Negatif Sayıların Kuvvetleri
✓ 10’un Kuvvetleri
✓ 0 ve −1’in Kuvvetleri
✓ Sıfırıncı Kuvvet

TAM SAYILARIN KUVVETLERİ

n tane a sayısının çarpımı a.a.a….a.a.a = aⁿ şeklinde gösterilir.
aⁿ sayısı a’nın n. kuvveti veya a üssü n olarak okunur. Burada a’ya taban, n’ye üs veya kuvvet denir.

Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımına o sayının kuvveti denir. Bir sayıyı tekrarlı çarparak bu işlemin sonucunu bulmaya ise kuvvet alma denir.

ÖRNEK:

► 5.5.5=5³

(3 tane 5’in yan yana çarpılması, 5 üssü 3 veya 5’in 3. kuvveti diye okunur.)

► (−7).(−7).(−7).(−7)=(−7)⁴

(4 tane −7’nin tekrarlı çarpımı, −7 üssü 4 veya −7’nin 4. kuvveti diye okunur.)

NOT: Bir sayının 2. kuvvetine o sayının karesi, 3. kuvvetine ise o sayının küpü denir.

ÖRNEK: 2³ sayısını “2’nin küpü” olarak okuyabiliriz. 3² sayısını da “3’ün karesi” olarak okuyabiliriz.

Pozitif Sayıların Kuvvetleri

Pozitif bir sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.

ÖRNEK: Aşağıdaki üslü ifadeleri inceleyelim.

7² = 49
3⁴ = 81

Sıfırın Pozitif Kuvvetleri

Sıfırın pozitif kuvvetleri 0’a eşittir.

ÖRNEK: Aşağıdaki üslü ifadeleri inceleyelim.

0¹ = 0
0² = 0.0 = 0
0²⁵ = 0

1’in Kuvvetleri

1’in bütün kuvvetleri 1’dir.

ÖRNEK: Aşağıdaki üslü ifadeleri inceleyelim.

1¹ = 1
1³² = 1

Negatif Sayıların Kuvvetleri

Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.

(−2)² = (−2).(−2) = + 4 (üssü çift sayı olduğu için cevap pozitiftir)

(−2)³ = (−2).(−2).(−2) = −8 (üssü tek sayı olduğu için cevap negatiftir)

PARANTEZİN ÖNEMİ: Üslü sayılarda “−” sembolü parantezin içindeyse tabana dahildir. Eğer “−” sembolü parantezin dışındaysa veya parantez yoksa taban negatif değildir.

ÖRNEK: −2⁴ ve (−2)⁴ arasındaki farkı inceleyelim.

► −2⁴ işleminde taban 2’dir. Bu yüzden 2 sayısını 4 kere çarparız ve sonucun başına “−” koyarız.
−2⁴ = − 2.2.2.2 = −16

► (−2)⁴ işleminde taban −2’dir. Bu yüzden −2 sayısını 4 kere çarparız.
(−2)⁴ = (−2).(−2).(−2).(−2) = +16

Bu örnekte görüldüğü gibi iki durumun işlemi de sonucu da farklıdır.

ÖRNEK: −3³ ve (−3)³ arasındaki farkı inceleyelim.

► −3³ işleminde taban 3’tür. Bu yüzden 3 sayısını 3 kere çarparız ve sonucun başına “−” koyarız.
−3³ = − 3.3.3 = −27

► (−3)³ işleminde taban −3’tür. Bu yüzden −3 sayısını 3 kere çarparız.
(−3)³ = (−3).(−3).(−3) = −27

Bu örnekte cevaplar aynı çıksa da işlemler farklıdır.

−1’in Kuvvetleri

−1’in tek kuvvetleri −1, çift kuvvetleri +1’dir.

ÖRNEK: Aşağıdaki üslü ifadeleri inceleyelim.

(−1)¹⁴⁵³ = −1
(−1)²⁰²⁴ = +1

Bir Sayının Sıfırıncı Kuvveti

Sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.

ÖRNEK: Aşağıdaki üslü ifadeleri inceleyelim.

82⁰ = 1
(−5)⁰ = 1

10’un Kuvvetleri

10’un doğal sayı kuvvetlerini bulurken üsteki sayı kadar 0 rakamı 1’in yanına yazılır.

ÖRNEK: Aşağıdaki 10’un kuvvetlerini inceleyelim.

10⁰ = 1
10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1000
10⁴ = 10000

Yukarıda da görüldüğü gibi 10’un üzerindeki doğal sayı kaç ise 1’in yanına o kadar 0 koyarız.

10²⁵ = 1000….000 (1’in yanına 25 tane 0 yazılır.)

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ İşlem Önceliği
✓ Rasyonel Sayılarda Merdivenli İşlemler
✓ Rasyonel Sayılarda Çok Adımlı İşlemler

RASYONEL SAYILARDA ADIM ADIM İŞLEMLER

Birden fazla işlem içeren ifadelere çok adımlı işlemler denir. Rasyonel sayılarda çok adımlı işlemlerde işlemlerin hangi sırayla yapılacağı ( ) , [ ] gibi ayraçlarla yani parantezlerle belirtilir. İşlem önceliğine her zaman olduğu gibi bu konuda da dikkat ediyoruz.

İşlem Önceliği

Rasyonel sayılarda adım adım işlemler nasıl çözülür bir örnekle görelim.

ÖRNEK: \(\frac3{10}-\left[\frac72+\frac52\cdot\frac15\right]\cdot\frac25\) işleminin sonucunu bulalım.

Bu işlemi yaparken önce parantez içi işlemi yapacağız. Parantez içinde hem toplama hep çarpma olduğu için önce çarpmayı yapacağız. Çarpmayı yaparken 5’leri sadeleştirebiliriz.

\(\frac3{10}-\left[\frac72+\frac52\cdot\frac15\right]\cdot\frac25=\frac3{10}-\left[\frac72+\frac12\right]\cdot\frac25\) elde edilir.

Daha sonra parantez içindeki toplama işlemini yaparız. Çarpma ve çıkarmadan da önce çarpmayı yaparız. Çarpma işleminde sadeleştirme yapabiliriz.

\(\frac3{10}-\frac82\cdot\frac25=\frac3{10}-\frac85\) elde edilir.

Sadece çıkarma işlemi kaldı. Çıkarmada paydalar eşitlenir ve sonuç bulunur.

\(\frac3{10}-\underset{(2)}{\frac85}=\frac3{10}-\frac{16}{10}=-\frac{13}{10}\) bulunur.

Merdivenli İşlemler Nasıl Çözülür?

Kesir çizgisinin belirttiği bölme işlemi (eşittir hizasında olan veya en uzun çizgi olarak da düşünebilirsiniz) yapılmadan önce bunun payındaki ve paydasındaki işlemler yapılır. Şimdi bir örnek yapalım.

ÖRNEK: Aşağıdaki işlemin sonucunu bulalım.

İşlemde en uzun kesir çizgisinin yani eşittir hizasındaki kesir çizgisinin üstünde 1 var altında ise bir toplama işlemi var. Önce alttaki işlemi yapacağız.

Alttaki işlemin sonucunu bulduktan sonra uzun kesir çizgisinin belirttiği bölme işlemi yapılır. Bölme işlemini daha önceden öğrenmiştik. 1. kesir (paydaki) aynen yazılır 2. kesir (paydadaki) ters çevrilip çarpılır. Sonuç bulunur.

Örnekleri çoğaltabiliriz. Bizim burada mantığı kavramamız gerekiyor. Önce pay ve paydadaki işlemler yapıyoruz. Sonra en son en uzun kesir çizgisinde bölme işlemi yapıyoruz.

Bir de içinde bilinmeyen bulunan merdivenli rasyonel denklemlerden örnek yapalım. Bu sorularda geriye doğru düşüneceğiz.

Örnekle görelim:

Sorunun tamamına bakıyoruz.

2’ye kırmızı kutuyu ekleyince 5 olmuş.

O zaman kırmızı kutu 3 olacak.

Şimdi kırmızı kutuyu inceliyoruz.

12 mavi kutuya bölününce 3 olmuş.

O zaman mavi kutu 4 olacak.

Şimdi mavi kutuyu inceliyoruz.

3’e yeşil kutuyu ekleyince 4 olmuş.

O zaman yeşil kutu 1 olacak.

Şimdi yeşil kutuyu inceliyoruz.

7’yi turuncu kutuya bölünce 1 olmuş.

O zaman turuncu kutu 7 olacak.

Şimdi turuncu kutuyu inceliyoruz.

Son olarak 8’den x’i çıkarınca 7 olacak.

O zaman x = 1 olarak cevabı buluruz.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Rasyonel Sayılarla Bölme İşlemi
✓ Ters Çevir Çarp Yöntemi
✓ Ortak Payda Algoritması
✓ 0, 1 ve −1’in Etkisi

Rasyonel sayılarda bölme işlemi yaparken iki yöntem öğreneceğiz. Bunlardan biri ters çevir çarp yöntemi, diğer ise ortak payda algoritması.

TERS ÇEVİRİP ÇARPMA YÖNTEMİ

Bu yöntemde birbirine bölünen iki kesirden ilk (yani bölünen) kesir aynen yazılır, ikinci kesir (yani bölen) kesir ters çevrilerek ilk kesirle çarpılır. (çarpma işlemine göre ters çevirme). Bu aşamadan sonra Rasyonel sayılarda çarpma işleminde öğrendiğimiz şekilde çarpmayı yaparız.

Bölme işleminde şunlara da dikkat etmeliyiz:

∇ Bölünen sayılarda tam sayılı kesir varsa bileşik kesre çevrilir.

∇ Bölünen sayılarda tam sayı varsa paydasına 1 yazılır.

∇ Çarpmaya dönüştürdükten sonra varsa sadeleştirme yapılır. Sadeleştirme yaparken çarpılan sayılarda paydaki herhangi bir sayı ile paydadaki herhangi bir sayı sadeleştirilebilir.

ÖRNEK: \(-\frac34:\frac15\) işleminin sonucunu bulalım.

Öncelikle birinci kesri aynen yazarız daha sonra ikinci kesri ters çevirip çarpma işlemini yaparız.

\(-\frac34:\frac15=-\frac34\cdot\frac51=-\frac{15}4\) bulunur.

ÖRNEK: \(-2\frac13:\left(-1\frac34\right)\) işleminin sonucunu bulalım.

İlk işimiz tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirmek. Daha sonra ters çevirip çarpma yöntemini uygularız. Çarpma işleminde pay ve paydadaki 7’leri sadeleştiririz.

\(-2\frac13:\left(-1\frac34\right)=\left(-\frac73\right):\left(-\frac74\right)=\left(-\frac{7}3\right)\cdot\left(-\frac4{7}\right)=+\frac43\) bulunur.

ORTAK PAYDA ALGORİTMASI

Ortak payda yönteminde bölünen iki kesrin paydası eşitlenir daha sonra paylarının oranı sonuç olarak yazılır.

ÖRNEK: Yukarıda yaptığımız \(-\frac34:\frac15\) işleminin sonucunu ortak payda yöntemiyle bulalım.

\(-\underset{(5)}{\frac34}:\underset{(4)}{\frac15}=-\frac{15}{20}:\frac4{20}=-\frac{15}4\) bulunur.

Önce paydaları eşitledik, daha sonra payların oranını sonuç olarak yazdık.

BÖLME İŞLEMİNDE 0, 1 ve −1’İN ETKİSİ

Bölme İşleminde 0’ın Etkisi

0 sayısının bir sayıya (sıfır hariç) bölümü 0’dır.

► \(0:\frac35=0\)

Bir sayının 0’a bölümü tanımsızdır. (Bölen sayı ve payda sıfır olamaz.)

► \(-\frac25:0\) ifadesi tanımsızdır.

Bölme İşleminde 1’in Etkisi

1 sayısının bir sayıya bölümü o sayının çarpma işlemine göre tersidir.

► \(1:\frac53=1\cdot\frac35=\frac35\)

Bir sayının 1’e bölümü o sayının kendisidir.

► \(-2\frac79:1=-2\frac79\)

Bölme İşleminde −1’in Etkisi

−1 sayısının bir sayıya bölümü çarpma işlemine göre tersinin toplama işlemine göre tersidir. Yani sayı hem ters döner hem işaret değiştirir.

► \(-1:\frac29=-1\cdot\frac92=-\frac92\)

Bir sayının −1’e bölümü o sayının toplama işlemine göre tersidir. (Ters işaretlisidir)

► \(\frac27:\left(-1\right)=\frac27\cdot\left(-\frac11\right)=-\frac27\)

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi
✓ Çarpma İşleminin Özellikleri
✓ Değişme, Birleşme ve Dağılma Özelliği
✓ Etkisiz, Yutan ve Ters Eleman
✓ Çarpmada 0, 1 ve −1’in Etkisi

RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ

Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yaparken tam sayılarda çarpmada öğrendiklerimizi ve kesirlerde çarpmada öğrendiklerimizi kullanacağız. Kesirlerde öğrendiğimizin üzerine negatif sayılarla işlem yapmayı da öğreneceğiz.

ÖRNEK: \(\frac54\cdot\frac{-3}2\) işleminin sonucunu bulalım.

\(\frac54\cdot\frac{-3}2=\frac{5.(-3)}{4.2}=\frac{-15}8\) bulunur.

ÖRNEK: \(-2\frac13\cdot\frac{-2}7\) işleminin sonucunu bulalım.

Önce tam sayılı kesri bileşik kesre çeviriyoruz, sonra çarpma işlemini yapıyoruz.

\(-2\frac13\cdot\frac{-2}7=-\frac73\cdot\frac{-2}7=\frac{-14}{21}=\frac23\) olarak bulunur.

Ondalık gösterimi verilen sayıları rasyonel olarak yazdıktan sonra çarpma işlemi yapabiliriz.

ÖRNEK: \(-2.3,2\) işleminin sonucunu bulalım.

\(-2.3,2=\frac{-2}1\cdot\frac{32}{10}=\frac{-64}{10}=-\frac{32}5\) olur.

Rasyonel Sayılarda Çarpma İşleminin Modellemesi

Modelleme yapılırken çarpılan iki kesirden biri yatay biri dikey olarak ayrı ayrı modellenir ve üst üste konulur. İki renge de boyanmış küçük dikdörtgenlerin sayısının bütün dikdörtgenlere oranı da cevap olur.

ÖRNEK: \(\frac34\cdot\frac23=\frac6{12}\) işlemini modelleyelim.

Bir dikdörtgeni 4 satıra böler 3 tanesini boyarız, aynı boyutta başka bir dikdörtgeni 3 sütuna böler 2 tanesini boyarız.

Bu iki dikdörtgeni üst üste koyduğumuzda her iki renge boyanmış dikdörtgen sayısı pay, toplam dikdörtgen sayısı payda olur.

RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Değişme Özelliği

Çarpılan sayıların yeri değişse de işlemin sonucu değişmediği için rasyonel sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

ÖRNEK: Değişme özelliğini şu şekilde gösterebiliriz

► \(\frac{-1}4\cdot\frac{-7}4=\frac{-7}4\cdot\frac{-1}4\)

Birleşme Özelliği

İkiden fazla sayı çarpılırken parantez koyup önce iki tanesini çarpıp sonuçla diğerini çarpmak sonucu değiştirmez. Buna birleşme özelliği denir.

ÖRNEK: Birleşme özelliğini şu şekilde gösterebilir

► \(\left(\frac17\cdot\frac27\right)\cdot\frac{-5}7=\frac17\cdot\left(\frac27\cdot\frac{-5}7\right)\)

► \(\left(\frac2{49}\right)\cdot\frac{-5}7=\frac17\cdot\left(\frac{-10}{49}\right)\)

► \(\frac{-10}{343}=\frac{-10}{343}\)

Dağılma Özelliği

Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

Aşağıdaki örnekte çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliğini göstereceksiniz. Aynı şekilde aradaki işlem çıkarma olursa çarpmayı çıkrama üzerine dağıtırız.

► \(\frac1{22}\cdot\left(\frac{44}5+\frac{66}{10}\right)\)

► \(\left(\frac1{22}\cdot\frac{44}5\right)+\left(\frac1{22}\cdot\frac{66}{10}\right)\)

► \(\left(\frac1{22}\cdot\frac{\displaystyle22}5\right)+\left(\frac1{22}\cdot\frac{\displaystyle66}{10}\right)\)

► \(\frac25+\frac3{10}=\frac4{10}+\frac3{10}=\frac7{10}\)

Etkisiz Eleman

Bir sayıyı 1 ile çarparsak sonuç sayının kendisi olur. Bu yüzden “1” çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.

ÖRNEK: Etkisiz elemanı şu şekilde gösterebiliriz

► \(-\frac9{16}\cdot1=-\frac9{16}\)

Yutan Eleman

Bir sayıyı sıfır ile çarparsak sonuç “0” olur. Bu yüzden “0” çarpma işleminin yutan elemanıdır.

ÖRNEK: Yutan elemanı şu şekilde gösterebiliriz

► \(-\frac37\cdot0=0\)

Çarpma İşleminde −1’in Etkisi

Bir sayıyı −1 ile çarparsak sonuç o sayının toplama işlemine göre tersi olur.

ÖRNEK: Çarpma işleminde −1’in etkisini şu şekilde gösterebiliriz

► \(-\frac23\cdot\left(-1\right)=\frac23\)

Ters Eleman

Çarpımları 1 olan iki rasyonel sayı çarpma işlemine göre birbirinin tersidir. Bir sayının çarpma işlemine göre tersini bulmak için pay ve paydasının yeri değiştirilir.

ÖRNEK: Bir sayının çarpma işlemine göre tersini şu şekilde gösterebiliriz

► \(-\frac56\) sayısının çarpma işlemine göre tersi \(-\frac65\) ‘tir.

Tam sayılı kesirlerin çarpma işlemine göre tersi bulunurken önce bileşik kesre çevrilir.

ÖRNEK: \(2\frac13\) ‘ün çarpma işlemine göre tersi \(\frac37\)‘dir.

Tam sayıların çarpma işlemine göre tersi bulunurken paydasına 1 yazılarak ters çevrilir.

\(-7\) ‘nin çarpma işlemine göre tersi \(-\frac17\) ‘dir.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Rasyonel Sayılarla Toplama İşlemi
✓ Toplama İşleminin Özellikleri
✓ Rasyonel Sayılarla Çıkarma İşlemi

RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ

Rasyonel sayılarda toplama işlemini yaparken tam sayılarda toplama çıkarma işlemi, tam sayılarla çarpma bölme işlemi ve kesirlerle işlem yapma becerilerimizi kullanacağız. Zaten bu konuları iyi kavradıysanız bu konuda sıkıntı çekmezsiniz. Bu konunun kesirlerden farkı negatif sayılarla da işlem yapacak olmamız.

Kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yaparken payda eşitleniyordu. Aynı durum rasyonel sayılarda işlem yaparken de geçerli.

ÖRNEK: \(\frac32+\frac{-1}4\) işlemini yapalım.

Önce paydalar eşitlenir: \(\underset{(2)}{\frac32}+\underset{(1)}{\frac{-1}4}=\frac64+\frac{-1}4\)

paydalar eşitlendikten sonra paydaki sayılar toplanır ve paya yazılır.Ortak payda sonucun paydasına yazılarak sonuç bulunur.

\(\frac64+\frac{-1}4=\frac{6+(-1)}4=\frac54\) elde edilir.

Tam sayılı kesirlerde toplama işlemini bileşik kesre çevirerek yapabiliriz. Aynı şekilde ondalık gösterimle verilen sayıları da rasyonel sayıya çevirerek işlem yapabiliriz.

ÖRNEK: \(1\frac34+\frac72+0,9\) işleminin sonucunu bulalım.

\(\underset{(5)}{\frac74}+\underset{(10)}{\frac72}+\underset{(2)}{\frac9{10}}=\frac{35}{20}+\frac{70}{20}+\frac{18}{20}=\frac{123}{20}\) bulunur.

Rasyonel Sayılarda Toplama İşleminin Özellikleri

Rasyonel sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır.Yani toplanan sayıların yeri değişse de işlemin sonucu değişmez.

ÖRNEK: Değişme özelliğini şu şekilde gösterebiliriz.

► \(\frac{-1}4+\frac{-7}4=\frac{-7}4+\frac{-1}4\)

Rasyonel sayılarda toplama işleminin birleşme özelliği vardır. Yani üç veya daha fazla rasyonel sayı ile toplama işlemi yaparken, toplama işlemini önce istediğimiz iki sayı arasında yapabiliriz.

ÖRNEK: Birleşme özelliğini şu şekilde gösterebiliriz.

► \(\left(\frac17+\frac27\right)+\frac{-5}7=\frac17+\left(\frac27+\frac{-5}7\right)\)

Rasyonel sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı 0‘dır. Bir rasyonel sayıyı sıfır ile toplarsak sonuç yine aynı rasyonel sayı olur.

ÖRNEK: Etkisiz elemanı şu şekilde gösterebiliriz

► \(-\frac9{16}+0=-\frac9{16}\)

Toplamları 0 olan iki rasyonel sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir. Diğer bir ifade ile ters işaretli iki rasyonel sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir.

ÖRNEK: \(\frac5{21}\) sayısı ile \(-\frac5{21}\) sayısı birbirlerinin toplama işlemine göre tersidir.

RASYONEL SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ

Çıkarma işleminde de tam sayılarda olduğu gibi toplamaya dönüştürerek yapabiliriz.

Önce paydalar eşit değilse paydalar eşitlenir. Sonra çıkarma işlemi toplamaya dönüştürülür ve çıkan sayının işareti değiştirilir. En son olarak da toplama işlemi yapılır.

ÖRNEK: \(\frac{-3}5-\frac{-1}5\) işleminin sonucunu bulalım.

Paydalar eşit olduğu için payda eşitleme işlemi yapmıyoruz. Çıkarma işlemini toplamaya dönüştürürüz ve çıkan sayının işaretini değiştiririz.

\(\frac{-3}5-\frac{-1}5=\frac{-3}5+\frac{+1}5\) elde edilir.

Daha sonra toplama işleminde yaptığımız gibi ortak paydayı sonucun paydasına yazarız. Payları toplayıp sonucun payına yazarız.

\(\frac{-3}5+\frac15=\frac{-3+1}5=\frac{-2}5\) bulunur.

Tam sayılı kesirlerde çıkarma işlemini bileşik kesre çevirerek yapabiliriz. Aynı şekilde ondalık gösterimleri verilen sayıları da rasyonel sayıya çevirerek işlem yapabiliriz.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN: