BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Doğrusal Denklemler ve Grafikler
✓ Doğrusal Denklemin Grafiği Nasıl Çizilir?
✓ Orjinden Geçmeyen, Orjinden Geçen ve Eksenlere Paralel Doğruların Grafikleri

Doğrusal denklemler ve koordinat sistemi konularını daha önce öğrenmiştik. Şimdi ise doğrusal denklemlerin grafikleri nasıl çizilir öğreneceğiz.

Doğrusal denklemlerin grafiği bir doğru modelidir. Bu doğruyu oluşturan sıralı ikililer doğrudaştır.

Bizim grafiği çizebilmemiz için bu doğrunun geçtiği iki tane noktayı bulmamız yeterlidir. (Çünkü iki noktadan yalnız bir doğru geçer.)

Şimdi bu iki noktayı nasıl bulacağımızı görelim:

► Doğru denkleminde x yerine bir değer o noktanın vererek y değerini veya y yerine değer vererek x değerini bulabiliriz.

► Böylece bir tane (x,y) sıralı ikilisi yani bir nokta buluruz.

► Aynı şekilde başka değerler vererek istediğimiz kadar nokta bulabiliriz. Ama bize 2 tane nokta yeterli.

► Bulduğumuz noktaları koordinat sisteminde işaretleyerek bu noktalardan geçecek şekilde bir doğru çizeriz.

Bununla ilgili bir örnek yaparak bizim daha çok başvuracağımız yönteme geçelim.

ÖRNEK: y = x + 1 doğrusal denkleminin grafiğini çizelim.

Denklemde x yerine değerler vererek y değerleri bulalım.

x yerine 0 yazarsak y = x + 1 olduğundan y = 1 bulunur. İlk noktamız (0,1) oldu.

x yerine 2 yazarsak y = x + 1 olduğundan y = 3 bulunur. İkinci noktamız da (2,3) oldu.

İki nokta bulmamız yeterli. Bu iki noktayı kartezyen koordinat sisteminde bularak bu noktalardan geçen doğruyu çiziyoruz.

Grafikleri yukarıdaki gibi çizebildiğimiz gibi daha çok şu yöntemi kullanırız:

x’e sıfır (0) değeri verilerek y değeri  bulunur. (Bulduğumuz nokta doğrunun y eksenini kestiği noktadır.)
y’ye sıfır (0) değeri verilerek x değeri bulunur. (Bulduğumuz nokta doğrunun x eksenini kestiği noktadır.)

ÖRNEK: 2x + y = 4 doğrusunun grafiğini çizelim.

x yerine 0 yazarsak 2.0 + y = 4’den y = 4 bulunur. İlk noktamız (0,4) oldu.

Bu nokta aynı zamanda doğrunun y eksenini kestiği noktadır.

y yerine 0 yazarsak 2x + 0 = 4’den x = 2 bulunur. İkinci noktamız (2,0) oldu.

Bu nokta aynı zamanda doğrunun x eksenini kestiği noktadır.

Şimdi bu noktaları koordinat düzleminde bularak grafiğimizi çizelim.

Orijinden Geçen Doğrunun Grafiği

Doğrusal denklemde x yerine sıfır (0) yazdığımızda y de sıfır (0) çıkıyorsa bu doğru orijinden geçer. İkinci bir nokta bulmak için x veya y yerine sıfırdan farklı bir değer veririz.

(Orijinden geçen doğruların denkleminde sabit terim olmaz. Eğer sabit terim yoksa orijinden geçtiğini anlayabiliriz)

ÖRNEK: y = −2x doğrusunu ele alalım.

x yerine 0 yazarsak y de 0 çıkar. (0,0) orijinden geçer.

x yerine 2 yazarsak y = −4 çıkar. (2,−4) noktasından da geçer. Bu iki noktayı koordinat sisteminde buluruz ve grafiği çizeriz.

Eksenlere Paralel Doğruların Grafiği

Doğrusal denklemde eğer bir tane değişken varsa bu denklemin grafiği x veya y eksenine paraleldir.

Eğer denklemimizde sadece x değişkeni varsa bu denklemin grafiği y eksenine paraleldir.

Örneğin x = 2 denkleminin grafiğini çizecek olursak bu doğru x eksenindeki 2 noktasından dik geçer ve y eksenine paraleldir.

Eğer denklemimizde sadece y değişkeni varsa bu denklemin grafiği x eksenine paraleldir.

Örneğin y = −3 denkleminin grafiğini çizecek olursak bu doğru y eksenindeki −3 noktasından dik geçer ve x eksenine paraleldir.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓  Kartezyen Koordinat Sistemi
✓ Apsis, Ordinat, Orijin, Sıralı İkili
✓ Koordinat Sisteminde Noktaların Konumları
✓ Koordinat Sistemindeki Bölgeler

KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ NEDİR?

Öncelikle kartezyen nedir ve koordinat nedir bunları öğrenelim.

Kartezyen (İngilizce : Cartesian) Fransız matematikçi Descates’in adına Latince +ian (+cil / +çıl ) ekinin getirilmesiyle oluşmuş bir kelimedir. Koordinat ise (İngilizce : co-ordinate)  Latince com- (birlikte) takısı ile “to ordinate” (sıralamak, dizmek) eyleminin birleşimiyle oluşmuştur. Bu kısa bilgilerden sonra kartezyen koordinat sisteminin tanımını yapalım. Bakınız: Kartezyen Koordinat Sisteminin Tarihçesi

KOORDİNAT SİSTEMİ

İki sayı doğrusunun 0 (sıfır) noktasında birbiriyle dik kesişmesiyle oluşan sisteme kartezyen koordinat sistemi denir. Burada iki sayı doğrusu yani iki boyut olduğu için iki boyutlu kartezyen koordinat sistemi de denir.

Koordinat sisteminde yatay olan eksene x ekseni (apsisler ekseni), dikey eksene ise y ekseni (ordinatlar ekseni) denir. Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin veya başlangıç noktası denir.

Koordinat sisteminde noktaların yerleri sıralı ikililerle ( Örneğin (-5 , +7) gibi ) belirlidir. Koordinat sistemindeki her noktaya karşılık gelen bir sıralı ikili bulunur.

Bir noktayı gösteren sıralı ikililere o noktanın koordinatı denir. Sıralı ikilideki ilk sayı x eksenine, ikinci sayı y eksenin karşılık gelen sayıyı gösterir.

Örneğin bir A noktası olsun. Bu noktanın koordinatları 3’e 2 olsun. Bu A(3,2) şeklinde gösterilir. Burada 3’e apsis (x), 2’ye ordinat (y) denir.

KOORDİNAT SİSTEMİNDE BÖLGELER

Koordinat sistemi düzlemi 4 bölgeye ayırır.

Bu bölgelerin sıralanışı C harfi şeklinde aklınızda kalabilir.

Koordinat sistemindeki dört bölge ve bu bölgedeki noktaların koordinatlarının işaretleri aşağıdaki gibidir.

• 1. Bölgedeki noktaların; apsisleri (x) pozitif, ordinatları da (y) pozitif.
• 2. Bölgedeki noktaların; apsisleri (x) negatif, ordinatları (y) pozitif.
• 3. Bölgedeki noktaların; apsisleri (x) negatif, ordinatları (y) negatiftir.
• 4. Bölgedeki noktaların; apsisleri (x) pozitif, ordinatları (y) negatiftir.

KOORDİNAT SİSTEMİNDE NOKTALARIN KOORDİNATLARI

Şimdi bir kaç noktayı koordinat düzleminde gösterelim:

A(4,2) → A noktası 1. bölgededir.
B(0,0) → B noktası orijindedir.
C(- 2,3) → C noktası 2. bölgededir.
D(- 4,0) → D noktası x eksenindedir.
E (- 3,- 4) → E noktası 3. bölgededir.
F (0, -2) → F noktası y eksenindedir.
G(3,-3) → G noktası 4. bölgededir.

NOT: Apsisi 0 (sıfır) olan noktalar y ekseni üzerinde, ordinatı 0 (sıfır) olan noktalar x ekseni üzerinde yer alır.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Doğrusal İlişki Nedir?
✓ Bağımlı ve Bağımsız Değişken
✓ Doğrusal Denklemler

DOĞRUSAL İLİŞKİLER

“Doğrusal ilişki nedir?” sorusunun cevabına örneklerle ulaşalım. Aşağıdaki tabloyu ve grafiği inceleyelim. Tabloda günde 50 soru çözen bir kişinin 7 gün boyunca toplam çözdüğü soru sayıları görünüyor.

Tabloda da görüldüğü gibi gün sayısı arttıkça toplamda çözülen soru sayısı da artmaktadır. Tablodaki verilerin grafiğini çizersek grafiğin bir doğru şeklinde olduğunu görürüz.

Çözülen soru sayısı ile geçen gün sayısı arasındaki ilişkiyi cebirsel ifade ile gösterirsek: SORU SAYISI = GÜN x 50

Bu örnekte olduğu gibi iki değişken arasındaki ilişkinin grafiği doğru şeklinde ise bu iki değişken arasında doğrusal ilişki vardır deriz.

Değişkenlerden değeri başka bir değişkene bağlı olarak değişen değişkene bağımlı değişken, değerini kendi belirlediğimiz değişkene bağımsız değişken denir.

DOĞRUSAL DENKLEM

Doğrusal ilişkiyi ifade eden denklemlere doğrusal denklem denir. x ve y değişken, a ve b katsayı ve c sabit terim olmak üzere: ax + by + c = 0 biçiminde olan denklemlere doğrusal denklem denir. Doğrusal denklemde a ve b katsayılarının ikisi birden 0 olamaz. Yani denklemde en az bir tane bilinmeyen bulunmalıdır.

Az önce verdiğimiz örneği incelersek:

SORU SAYISI = GÜN x 50

s = 50 . g olarak yazabiliriz. Bu denklemde iki tane değişken vardır. Soru sayısı gün sayısına bağlı olarak değiştiği için soru sayısı bağımlı değişken, gün sayısı ise bağımsız değişkendir. Bu denklem sabit terimi olmayan bir doğrusal denklemdir.

ÖRNEK: Bir taksinin taksimetresi açılışta 3 TL ve gidilen her kilometrede 0,5 TL yazmaktadır. Şimdi bu ilişkiyi tablo ve grafikle gösterelim.

Tablo ve grafik incelenirse veriler arasında doğrusal bir ilişki olduğu görülür.

Bu ilişkiyi yazacak olursak:

ÜCRET = 3 TL + YOL x 0,5 TL

ü = 3 + y . 0,5

Bu denklemimiz doğrusal denklemdir. Burada ücret değişkeni gidilen yola bağlı olduğu için ücret bağımlı, yol bağımsız değişkendir.

Doğrusal denklemlerin grafikleri doğru şeklindedir. Doğrusal denklemlerin grafiklerini koordinat sisteminde çizeceğiz Kartezyen koordinat sisteminden sonra doğrusal denklem grafiği nasıl çizilir öğreneceğiz.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Çokgen ve Çokgenlerin İsimlendirilmesi
✓ Çokgenlerin Temel Elemanları

En az üç doğru parçasının, birer uçları ortak olacak şekilde ardışık olarak  birleştirilmesiyle elde edilen basit, kapalı ve kendisini kesmeyen düzlemsel şekillere çokgen denir.

ÇOKGENİN TEMEL ELEMANLARI

• Çokgeni oluşturan doğru parçalarına çokgenin kenarları denir.
• Kenarların birleştiği noktalara çokgenin köşeleri denir.
• Köşelerde oluşan ve çokgenin içinde kalan açılara çokgenin iç açısı denir.
• Çokgenin ardışık olmayan kenarlarını birleştiren doğru parçalarına çokgenin köşegeni denir.

Üçgenin köşegeni yoktur.

ÇOKGENLERİ İSİMLENDİRME

Çokgenler kenar sayılarına göre isimlendirilir.

3 kenarı olan çokgenlere üçgen,
4 kenarı olan çokgenlere dörtgen,
5 kenarı olan çokgenlere beşgen,
6 kenarı olan çokgenlere altıgen…

Kenar sayısına göre isimlendirmeyi devam ettirebiliriz. Yedigen,sekizgen,dokuzgen…

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Denklem Nedir?
✓ Denklem Nasıl Kurulur?
✓ Denklem Nasıl Çözülür?

DENKLEMLER

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

Denklemin derecesi denklemdeki bilinmeyenin kuvvetidir.

5x + 12 = 128 denkleminde x’in kuvveti (üssü) 1 olduğu için bu denklem birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.

3x² − 2 = 734 denkleminde x’in kuvveti (üssü) 2 olduğu için bu denklem ikinci dereceden bir denklemdir.

İçinde bir tane bilinmeyen bulunan birinci derece denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

Denklem Kurma

Daha önce cebirsel ifadeleri ve belirli durumlara uygun cebirsel ifade yazmayı öğrenmiştik. Bu konumuzda ise belirli durumlara uygun denklem nasıl kurulur öğreneceğiz.

ÖRNEK: Aşağıdaki durumlara uygun denklem kuralım.

∇ Bir miktar paranın 2 katının 10 TL fazlası 52 liradır.

Paranın miktarını bilmediğimiz için bilinmeyenimiz olan bu paraya p diyelim.

2.p + 10 = 52

∇ Bir sayının 10 katının 7 eksiği 13’e eşittir.

Burada sayıyı bilmediğimiz için bilinmeyenimiz olan bu sayıya x diyelim.

10.x − 7 = 13

∇ Bir miktar şekerin 10 fazlasının 3 katı 120’ye eşittir.

Burada şeker sayısını bilmediğimiz için bilinmeyenimiz olan şekerlere a diyelim.

(a + 10) . 3 = 120

Denklem Çözme

Denklem çözerken amacımız bilinmeyeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır. Bunun için bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, bilinen sayıları eşitliğin diğer tarafına toplarız. Daha sonra bilinmeyeni yalnız bırakırız.

Denklemleri çözerken terazi modeli düşünebiliriz. Eşitliğin bir tarafını terazinin bir kefesi, diğer tarafını terazinin diğer kefesi düşünelim. Eşitlik terazinin dengede olduğu anlamına gelir. Dengede olan bir terazinin her iki tarafına aynı şeyi koysak denge bozulmaz. Aynı şekilde dengedeki terazinin her iki kefesinden aynı ağırlığı çıkartırsak da denge bozulmaz. Bu şekilde bu işlemleri yaparak terazinin bir kefesinde ağırlığını bilmediğimiz cismi, diğer kefesinde ağırlığını bildiğimiz cismi bırakırız ve ağırlığını bilmediğimiz cismin ağırlığını bulmuş oluruz.

Bu işlemleri yaparken:

∇ Eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir.

∇ Eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkartılabilir.

∇ Eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılabilir.

∇ Eşitliğin her iki tarafı aynı sayıya bölünebilir.

Bu işlemleri daha pratik yapmak için şöyle de yapabiliriz:

Toplam durumundaki + işaretli sayılar eşitliğin diğer tarafına geçerken − olur.

Toplam durumundaki − işaretli sayılar eşitliğin diğer tarafına geçerken + olur.

Çarpım durumundaki sayılar eşittirin diğer tarafına bölüm olarak geçer

Bölüm durumundaki sayılar eşittirin diğer tarafına çarpım olarak geçer.

ÖRNEK: 3x + 10 = 25 işlemini yapalım.

Bilinmeyeni yalnız bırakmak için +10 karşıya −10 olarak gönderilir.

3x = 25 − 10

3x = 15

x’in başındaki çarpım durumundaki 3’ü karşıya bölüm olarak göndeririz.

x = 15/3

x = 5

Denklemin kökü 5 bulunur. Çözüm kümesi Ç = {5}

ÖRNEK: 7x − 4 = 5x + 8 işlemini yapalım.

Bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, diğer sayıları diğer tarafa toplarız.

(Bilinmeyenleri, bilinmeyen nerede büyükse orada toplamak kolaylık sağlar.)

Bilinmeyenleri eşitliğin soluna, bilinen sayıları eşitliğin sağına alalım.

−4 sağa +4 olarak geçer, 5x sola −5x olarak geçer

7x − 5x = 8 + 4

2x = 12

x’in başındaki 2 katsayısını karşıya bölü olarak göndeririz.

x = 12/2

x = 6

Denklemin kökü 6 bulunur. Çözüm kümesi Ç = {6}

DENKLEM FİLMİNİ İZLEYEREK KONUYU DAHA İYİ ANLAYABİLİRSİNİZ.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Cebirsel İfade
✓ Değişken, Katsayı, Terim, Sabit Terim, Benzer Terim

Bir sayının değerinin bilinmediği durumlarda bu sayının yerine bir değişken veya bilinmeyen yazarız. (x, y, a gibi…) En az bir bir bilinmeyen ve bir işlem içeren ifadelere cebirsel ifadeler denir.

ÖRNEK: Bir sayının 2 katının 3 fazlası ifadesini cebirsel ifade olarak yazalım.

Burada sayıyı bilmediğimiz için bu sayı yerine x kullanırız. Cebirsel ifademiz: 2x + 3 olur.

Bir cebirsel ifadede bir sayı ile bir veya birden fazla değişkenin çarpımına terim,değişkenle çarpım durumunda bulunan sayıya katsayı denir.

ÖRNEK: 3x ifadesinde x bilinmeyen, 3 ise katsayıdır.

Terimleri birbirinden ayırmak için toplama ve çıkarma işlemlerinin önünden ifadeyi böleriz. Her parça bir terimdir.

ÖRNEK: 5x + 2y − 7 ifadesini inceleyelim.

5x + 2y − 2 ifadesini “+” ve “−” işaretlerinin önünden bölersek terimleri elde ederiz.

5x / + 2y / − 7 ifadesi 3 terimlidir. Terimleri 5x, 2y ve −7’dir.

İçerisinde değişken bulunmayan terime sabit terim denir.

ÖRNEK: 6y + 12 ve −3x − 9 ifadelerinde sabit terimleri bulalım.

6y + 12 cebirsel ifadesinde sabit terim +12’dir.

−3x − 9 cebirsel ifadesinde sabit terim −9’dur.

Sabit terim de bir katsayıdır.

ÖRNEK: 5x² − 7 cebirsel ifadesinde kat sayılar 5 ve −7’dir.

Bir cebirsel ifadede bir değişkenin aynı kuvvetine sahip terimlerine benzer terim denir.

ÖRNEK: 3x / 5x / – 9x / 0,5x / x terimleri benzer terimdir.

5a / a² / 5b / 2 / 3y terimlerinden hiç biri benzer terim değildir.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Üçgen Çeşitleri
✓ Dar Açılı, Dik Açılı, Geniş Açılı Üçgen
✓ Çeşitkenar, İkizkenar, Eşkenar Üçgen

Aynı doğru üzerinde olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarından meydana gelen geometrik şekle üçgendenir.

Yukarıdaki üçgenleri gruplandırmak istersek açılarına göre veya kenarlarına göre olmak üzere iki farklı şekilde sınıflandırabiliriz.

AÇILARINA GÖRE ÜÇGENLER

1) Dar Açılı Üçgen

Üç açısı da 90 dereceden küçük olan üçgenlere dar açılı üçgen denir.

2) Dik Açılı Üçgen

Bir açısı 90 derece olan üçgenlere dik açılı üçgen veya kısaca dik üçgen denir.

3) Geniş Açılı Üçgen

Bir açısı 90 dereceden büyük olan üçgenlere geniş açılı üçgen denir.

KENARLARINA GÖRE ÜÇGENLER

1) Eşkenar Üçgen

Bütün kenar uzunlukları eşit olan üçgenlere eşkenar üçgen denir.

2) İkizkenar Üçgen

İki kenar uzunluğu eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir.

3) Çeşitkenar Üçgen

Bütün kenar uzunlukları farklı olan üçgenlere çeşitkenar üçgen denir.

Aşağıdaki örnekleri inceleyim.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Şekil Örüntüleri
✓ Sayı Örüntüleri
✓ Örüntünün Kuralı Bulma
✓ Sayı Örüntülerinin Genel Terimini Bulma

“n” harfi, örüntüdeki sayıların sırasını veya yerini belirten işaret, sembol veya notasyondur. Bu yüzden n’ye örüntünün n. sayısı, temsilci sayısı veya genel sayısı denir.
Bir sayı örüntüsünde n. sıradaki sayının n değişkeni cinsinden ifadesine örüntünün kuralı denir.

ÖRNEK: 2, 4, 6, 8, 10, diye devam eden örüntünün kuralı 2.n’dir.

Örüntünün kuralında istenilen adımdaki sayıyı bulmak için adım numarası n yerine yazılarak sayı bulunur.

Yukarıdaki örnekte 25. terimi bulmak için örüntünün kuralındaki n yerine 25 yazarak:

2.n = 2.25 = 50 buluruz. Örüntünün 25. terimi 50’dir.

8n+3 örüntüsünün 7. terimini bulmak için n yerine 7 yazarız:

8.7 + 3 = 56 + 3 = 59

Örüntünün Kuralını Bulma

Sayı örüntüsünün kuralını bulmak için örüntüyü incelememiz gerekir. Sayılar arasındaki ilişkiyi yakalarsak kuralını bulmamız kolaylaşır.

Her bir adım aynı sayı kadar artıyorsa ( veya azalıyorsa ) bu örüntülerin kuralını şu şekilde buluruz:

1. Terim ► 5

2. Terim ► 8

3. Terim ► 11

…

n. Terim ► 3n+2

Bu kuralı şöyle bulduk:

Örüntüyü incelersek her adımda 3’er 3’er artıyor. O yüzden n’i 3 ile çarparız. (3n)

Daha sonra örüntünün ilk terimi 5’miş. Yani kuralda n yerine 1 yazınca sonuç 5 çıkacak. 3n kuralında 3 çıkıyor. O yüzden 2 ekliyoruz. (3n+2)

Kontrol edebiliriz. 3n+2 kuralında 3.terimin 11 çıkması lazım. 3.3+2=11

Unutmayalım bu yöntem terimler ritmik bir şekilde artıyorsa kullanılır.

Örüntü her zaman ritmik artmayabilir. Mesela:

1. Terim ► 1

2. Terim ► 4

3. Terim ► 9

4. Terim ► 16

…

n. Terim ► n²

Burada da örüntüyü incelediğimizde sayı bulunduğu adımın kendisi ile çarpımına eşit. Yani n. adımda da n’in kendisi ile çarpımı n² olacak.

Örüntü Modelleri

Modellenen sayı örüntülerinin kurallarını bulmak için sayı örüntülerini yazarız.

Yukarıdaki şekil örüntüsünde her adımdaki kare sayısını yazarız. Daha sonra bu sayılar arasındaki ilişkiyi buluruz.

Her adımda 4’er 4’er artıyor ve ilk adımdaki sayımız 1 olduğu için kuralımız 4n-3 olur.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN: