Fransız matematikçi Pierre de Fermat (piyer dö ferma)’nın 17. yüzyılda (1637) öne sürdüğü fakat kanıtı ancak 1994 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından verilen teoremdir.
Fermat, hayatı boyunca kitap yazmaz. Matematikçilerle fazla görüşmez. Kurduğu teoremlerin hiçbirinin ispatını yapmaz, başkalarının bulması için bıraktığını söyler. Gerçekten de teoremleri, sonradan farklı bilim adamları tarafından ispatlanırlar.
Aşağıdaki cümledeki boşluklara yazıyla öyle sayılar yazın ki cümlenin bütünü doğru olsun.
Örnek: otuziki
Bu ilginç cümlede …………… tanesi sesli, …………… tanesi de sessiz olmak üzere toplam ……………… tane harf var.
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Oran Nedir? Orantı Nedir? Orantı Çeşitleri
✓ Doğru Orantı, Ters Orantı
✓ Doğru Orantı Problemleri
✓ Ters Orantı Problemleri
İki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir.
ÖRNEK: Aşağıdaki oranları yazalım.
3 sayısının 5 sayısına oranı: \(\frac35\)
12 elmanın 2 elmaya oranı: \(\frac{12}2\)
9 kız bulunan 15 kişilik sınıfta kızların erkeklere oranı: \(\frac96\)
Birbirine oranı verilen iki çokluktan biri verildiğinde diğerini bulurken oran uygun bir sayıyla genişletilerek verilmeyen çokluk bulunur. Bunu örneklerle açıklayalım.
ÖRNEK: Bir sınıfta kızların sayısının erkeklerin sayısına oranı \(\frac35\)‘tir. Bu sınıfta 12 kız varsa kaç erkek vardır?
Burada oranı uygun bir sayıyla genişleterek kızların sayısını verilen sayıya eşitleriz ve erkeklerin sayısını 20 buluruz.
\(\frac{Kızların\;sayısı}{Erkeklerin\;sayısı}=\frac35=\frac{3.4}{5.4}=\frac{12}{20}\) bulunur.
ÖRNEK: Bir torbada sadece mavi ve kırmızı renk bilyeler vardır. Torbadaki kırmızı renkli bilyelerin sayısının mavi renkli bilyelere oranı\(\frac23\)‘tür. Bu torbada toplam 25 bilye olduğuna göre bunlardan kaç tanesi mavidir?
Kırmızılarla mavileri toplarsak toplam bilye sayısını bulacağımız için oranda da aynı işlemi yaparız.
\(\frac{Kırmızı\;bilyeler}{Mavi\;bilyeler}=\frac23\) olduğu için \(\frac{Mavi\;bilyeler}{Tüm\;bilyeler}=\frac35\) olur.
Daha sonra bu oranı genişleterek toplam bilye sayısını 25 yapıp mavi bilye sayısını 15 buluruz.
\(\frac{Mavi\;bilyeler}{Tüm\;bilyeler}=\frac35=\frac{3.5}{5.5}=\frac{15}{25}\) bulunur.
İki oranın eşitliğine orantı denir.
\(\frac12=\frac36\) olduğu için \(\frac12\) oranı ile \(\frac36\) oranı orantılıdır.
Yukarıdaki orantı şu şekilde de yazılabilir: 1:2 = 3:6
Bu yazımda içte kalan sayılara içler, dışarda kalan sayılara dışlar denir. Yani 2 ve 3 içler, 1 ve 6 dışlar olarak adlandırılır. Orantıda içlerin çarpımı ile dışların çarpımı birbirine eşittir.
\(\frac12=\frac36\) orantısında \(1.6=2.3\) olduğu görülür.
ÖRNEK: Aşağıda bir araba yıkama servisine ait veriler grafikle verilmiştir. İnceleyelim.
Kazanılan paranın yıkanan araba sayısına oranları
\(\frac{30}2,\frac{60}4,\frac{90}6,\frac{120}8,\frac{150}{10}\) olur.
Bu oranlar birbirine eşit olduğu için orantı oluştururlar.
\(\frac{30}2=\frac{60}4=\frac{90}6=\frac{120}8=\frac{150}{10}\) gibi.
Orantılı çokluklara ait grafikler orijinden geçer.
Şimdi doğru orantı ve ters orantı nedir örneklerle görelim.
İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu çokluklar doğru orantılıdır. Eğer iki çokluk orantılıdır deniliyorsa burada doğru orantıyı anlamalıyız.
Doğru orantıya örnek verecek olursak:
► 1 kg portakal 3 TL ise 2 kg portakal 6 TL’dir. Burada ağırlık ile fiyat doğru orantılıdır.
► Benzer şekilde dakikada 1 soru çözen bir kişi aynı hızla 10 dakikada 10 soru çözer.
Burada şu göz ardı edilmemelidir:
Çoklukların ikisi de aynı oranda artmalı veya azalmalıdır. Yani biri 2 katına çıktığında diğerinin de 2 katına çıkması gerek.
Örneğin çocukken yaşımız arttıkça boyumuz uzar ama yaşımız 2 katına çıktığında boyumuz 2 katına çıkmaz. Burada doğru orantı yoktur.
Doğru orantılı çoklukların bölümü sabit bir sayıdır. Bu sayıya orantı sabiti denir.
Örneğin aşağıdaki örnekte gidilen yolun zamana oranı sabittir. (85)
İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda artıyorsa bu çokluklar ters orantılıdır.
Ters orantıya örnek verecek olursak:
► Bir duvarı 5 işçi 4 günde örüyorsa, 10 işçi 2 günde örer. İşçi sayısı arttığında (2 kat) işin bitme süresi de (yarıya) düşer. İşçi sayısıyla süre ters orantılıdır.
► Benzer şekilde 100 km/sa hızla 3 saatte gidilen bir yol 50 km/sa hızla 6 saatte gidilir. Hız düşünce yol daha uzun sürede biter.
Ters orantılı çoklukların çarpımı sabit bir sayıdır.
Örneğin aşağıdaki örnekte işçi sayısıyla gün sayısının çarpımı sabittir. (28)/p>
► Orantı problemlerini çözmeye başlamadan önce nicelikler arasında doğru orantı mı yoksa ters orantı mı olduğu tespit edilmelidir. Bu tespiti mantığımızı kullanarak yapacağız.
► Orantı çeşidini tespit ettikten sonra doğru orantıda çapraz çarpım (içler-dışlar çarpımı), ters orantıda karşılıklı çarpım yaparak sonuca ulaşacağız.
► Şimdi örnek orantı soruları çözerek konuyu pekiştirelim.
1-) Aşağıdaki ifadelerdeki nicelikler arasındaki orantı türünü belirleyelim.
► 1 numaralı soruda arabanın 5 saatte gideceği yolu 4 saate indirmek istiyoruz. Sürenin inmesi için arabanın daha fazla hız yapması gerekir. Saatin azalması için hızın artması gerektiğinden : Ters orantı
► 2 numaralı soruda 5 kg yoğurt yerine 10 kg yoğurt kullanarak ayran yapacağız. Doğal olarak elde edeceğimiz ayran da artacak. Yoğurt artınca ayran da artacağı için: Doğru orantı
► 3 numaralı soruda işçi sayısı 1’den 3’e çıkıyor. Daha çok işçi daha az sürede bitirir. İşçi sayısı artınca süre azalacağı için: Ters orantı
2-) Yukarıda verilen soruların çözümlerini yapalım.
1. Sorunun çözümü
2. Sorunun çözümü
3. Sorunun çözümü
BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:
✓ Oranda çokluklardan birinin 1 olması durumunda diğerinin alacağı değeri belirler.
✓ Birbirine oranı verilen iki çokluktan biri verildiğinde diğerini bulur.
✓ Gerçek hayat durumlarını inceleyerek iki çokluğun orantılı olup olmadığına karar verir.
✓ Doğru orantılı iki çokluk arasındaki ilişkiyi ifade eder.
✓ Doğru orantılı iki çokluğa ait orantı sabitini belirler ve yorumlar.
✓ Gerçek hayat durumlarını inceleyerek iki çokluğun ters orantılı olup olmadığına karar verir.
✓ Doğru ve ters orantıyla ilgili problemleri çözer.
| ÖNCEKİ KONU | SONRAKİ KONU |
| Denklemler | Yüzdeler |
Benimle (Ahmet) aynı caddede yaşayan iki kişi var: Bekir ve Cevdet. İkisi de evimi bilmiyor ancak benimle görüşmek istiyor. Caddedeki evler 1′den 99′a kadar numaralanmış.
Bekir bir gün bana sordu: “Evinin numarası bir tam kare mi?” Ona cevap verdim. Bekir yine sordu: “Numara 50′den büyük mü?” Yine cevap verdim.
1 < X < Y < X+Y < 100 ve X ile Y tam sayılardır.
Bu bilgilere sahip olan iki zeki matematikçiden birine toplamları, diğerine ise çarpımları söyleniyor.
Ve aralarında şu muhabbet geçiyor.
Elimdeki çiçeklerin ikisi hariç hepsi papatya, ikisi hariç hepsi gül ve ikisi hariç hepsi karanfil olduğuna göre elimde hangi çiçekten kaç tane bulunmaktadır?
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ İç Açılar, Dış Açılar, Ters Açılar
✓ Yöndeş Açılar, İç Ters Açılar, Dış Ters Açılar
✓ Bütünler Açılar, Karşı Durumlu Açılar
Aynı düzlemdeki üç doğru birbirine göre durumlarını görmüştük. Şimdi ise iki doğrunun bir kesenle yaptığı açıları göreceğiz.
İki doğrunun kesişmesiyle oluşan açılardan komşu olmayan açılara ters açılar denir. Ters açıların ölçüleri birbirlerine eşittir.
a – c, b – d, e – g, f – h açıları ters açılardır ve ölçüleri birbirlerine eşittir.
İki doğrunun bir kesenle oluşturduğu açılarda iki doğru arasında kalan açılara iç açılar denir.
k ve l doğruları arasında kalan d, c, e, f açıları iç açılardır.
Komşu olmayan iç açılara, diğer bir deyişle ters yöne bakan iç açılara iç ters açılar denir.
d – f ve e – c açı çiftleri iç ters açılardır.
İki doğrunun bir kesenle oluşturduğu açılarda iki doğru arasında olmaya açılara dış açılar denir.
k ve l doğruları arasında olmayan a, b, h, g açıları dış açılardır.
Komşu olmayan dış açılara, diğer bir deyişle ters yöne bakan dış açılara dış ters açılar denir.
a – g ve b – h açı çiftleri dış ters açılardır.
İki doğrunun bir kesenle yaptığı açılardan aynı yöne bakan açılara yöndeş açılar denir.
Aynı yöne bakan a – e , b – f , c – g ve d – h açı çiftleri yöndeş açılardır.
Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılardan yöndeş, iç ters ve dış ters açı çiftlerinin ölçüleri birbirlerine eşittir.
Yandaki şekilde k ve l doğruları birbirine paraleldir.
Buradaki yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
s(a) = s(e)
s(b) = s(f)
s(c) = s(g)
s(d) = s(h)
İç ters açıların ölçüleri birbirine eşitir.
s(d) = s(f)
s(c) = s(e)
Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
s(a) = s(g)
s(b) = s(h)
Paralel iki doğru arasında kalan ve birbirine bakan açılara karşı durumlu açılar denir.Karşı durumlu açılar bütünlerdir yani açılarının ölçüleri toplamı 180 derecedir.
s(c) + s(f) = 180°
s(d) + s(e) = 180°
BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:
✓ İki paralel doğruyla bir keseninin oluşturduğu yöndeş, ters, iç ters, dış ters açıları belirleyerek özelliklerini inceler; oluşan açıların eş veya bütünler olanlarını belirler; ilgili problemleri çözer.
| ÖNCEKİ KONU | SONRAKİ KONU |
| Üç Doğrunun Birbirine Göre Durumları | Çokgenler |
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Aynı düzlemdeki üç doğrunun birbirine göre durumu
✓ Üç doğrunun birbirine göre durumlarına örnekler
✓ Kesen, ortak dikme, noktadaş doğrular
Aynı düzlem olan üç doğru birbirine göre şu durumlarda olabilir:
1) Üç doğru birbirine paralel olur.
2) Üç doğru bir noktada kesişir. Aynı noktadan geçen bu üç doğruya “Noktadaş Doğrular” denir.
3) Doğrular ikişer ikişer birbirini keser. Bu durumda üçgen oluşur.
4) İki doğru birbirine paralel olur ve üçüncü doğru bunları keser. Paralel doğruları bir noktada kesen bu doğruya “Kesen” adı verilir.
4) İki doğru birbirine paralel olur ve üçüncü doğru bunları dik keser. Buradaki kesen doğru diğer iki doğrunun dikmesi olduğu için bu doğruya “Ortak Dikme” adı verilir.
Örneklerle gösterecek olursak:
BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:
✓ İki paralel doğruyla bir keseninin oluşturduğu yöndeş, ters, iç ters, dış ters açıları belirleyerek özelliklerini inceler; oluşan açıların eş veya bütünler olanlarını belirler; ilgili problemleri çözer.
| ÖNCEKİ KONU | SONRAKİ KONU |
| Bir Açıya Eş Açı ve Açıortay Çizme | Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar |
Öğrencilerin dört gözle beklediği zamanlardan biri tabi ki yarıyıl tatili. Daha gelmeden tatil hayalleri kurmaya başlanır. Gece geç saate kadar oturup ertesi gün de geç kalkarak, gündüzleri de TV (Playstation bağlı) ve Bilgisayar (İnternet bağlı) başında oturarak vakit geçireceğiz değil mi? Hislerinize yeterince tercüman oldum mu bilmiyorum.