BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Tam Sayılar, Yönlü Sayılar
✓ Mutlak Değer
✓ Tam Sayıları Karşılaştırma

YÖNLÜ SAYILAR

Günlük hayatımızda karşılaştığımız olayların sayısal ifadelerinde doğal sayılar bazı durumlarda yetersiz kalır. Örneğin borç alma-verme, deniz seviyesinin altına inme-üstüne çıkma, kar-zarar etme gibi durumları doğal sayılarla ifade etmemiz karışıklığa sebep olur. Bu yüzden tam sayılar kümesinde yararlanılır. Tam sayılar kümesine yönlü sayılar kümesi de denilebilir.

Olumlu durumlarda pozitif tam sayıları ( + ), olumsuz durumlarda ise negatif tam sayıları ( − ) kullanırız. Örnek verecek olursak,

Sıcaklık sıfırın altında 20 derece → −20

Deniz seviyesinin 150 metre üstü → +150

Zemin katın altındaki 3. kat → −3

25 TL borç → −25

500 TL kâr → +500

TAM SAYILAR

Sayıların önüne konulan işaretler sayının yönünü belirtir. Önünde “+” olan sayılara pozitif tam sayılar, önünde “−” olan sayılara ise negatif tam sayılar denir. Sıfır hariç önünde işaret bulunmayan sayıların işareti “+”dır yani pozitif sayılardır.

Sıfır sayısı ise ne pozitif ne de negatif bir tam sayıdır.

Sıfıra referans noktası denir. Çünkü sayıların pozitif mi negatif mi olduğunu sıfır ile karşılaştırarak belirleriz. Sayı doğrusunda sıfırın sağındaki sayılar pozitif, solundaki sayılar ise negatiftir.

Pozitif tam sayılar sayı doğrusunda 0’ın sağında yer alır: 1, 2, 3, 4, …

Negatif tam sayıalar sayı doğrusunda 0’ın solunda yer alır: −1, −2, −3, −4, …

Tam sayılar kümesi ise pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırdan oluşur.

MUTLAK DEĞER

Bir tam sayının referans noktasına yani sıfıra (0) olan uzaklığına o tam sayının mutlak değeri denir. Bir A sayısının mutlak değeri |A| şeklinde gösterilir.

Örneğin −5 sayısının 0’a olan uzaklığı 5 birimdir. Bu yüzden −5’in mutlak değeri 5’tir. Bu durum sembolle |−5| = 5 şeklinde gösterilir. Sayının yanındaki çizgiler mutlak değer sembolüdür.

Mutlak değer sıfıra olan uzaklık olduğu için uzaklık birimi negatif olamayacağından mutlak değer asla negatif bir sayı olamaz. 0 sayısının mutlak değeri 0’dır. Bunun dışındaki sayıların mutlak değeri pozitiftir.

ÖRNEK: 0’a 3 birim uzaklıkta olan sayıların mutlak değerleri 3’tür. |−3| = 3 ve |+3| = 3

ÖRNEKLER:

|−2| = 2

|+ 5| = 5

|0| = 0

|−123| = 123

TAM SAYILARI KAŞILAŞTIRMA

Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayılar büyür, sola doğru gidildikçe sayılar küçülür. Diğer bir ifade ile pozitif sayılar sıfırdan uzaklaştıkça büyür, negatif tam sayılar sıfırdan uzaklaştıkça küçülürler. Sayıları sıralamada “<” ve “>” sembolleri kullanılır.

ÖRNEKLER: 

+5 sayısı +3 sayısının sağında olduğu için +5 > +3

−2 sayısı −7 sayısının sağında olduğu için −2 > −7

Negatif tam sayıları karşılaştırırken borç olarak düşünmeniz karşılaştırmanızı kolaylaştıracaktır. Mesela −7 mi büyük −10 mu diye düşünelim. Sayılar negatif olduğu için −7’yi 7 TL borç, −10’u ise 10 TL borç olarak düşünebiliriz. 7 TL borç 10 TL borçtan daha iyi bir durum olduğu için −7 > −10 deriz.

Şu çıkarımlarda bulunabiliriz:

• Bütün pozitif tam sayılar 0’dan büyüktür.
• Bütün negatif tam sayılar 0’dan küçüktür.
• Herhangi bir pozitif tam sayı, bütün negatif tam sayılardan büyüktür.
• Herhangi bir negatif tam sayı, bütün pozitif tam sayılardan küçüktür.
• Sayı doğrusundaki bir sayı, sağındaki sayılardan küçük, solundakilerden büyüktür.
• En büyük negatif tam sayı −1’dir.
• En küçük pozitif tam sayı +1’dir.

ÖRNEKLER:

-15 > −29

+6 < 23

0 < 12

−23 < 0

−2 > −13

5 > −7

|−2| > −2

|−23| < 144

15 < |−18|

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Açıklık Nedir?
✓ Aritmetik Ortalama Nedir?
✓ Veri Analizi

ARİTMETİK ORTALAMA

Bir veri grubundaki tüm verilerin toplamının veri sayısına bölümüne aritmetik ortalama denir.

\(Aritmetik\;Ortalama\;=\;\frac{Tüm\;Verilerin\;Toplamı}{Veri\;Sayısı\;(Adedi)}\)

Aritmetik ortalamayı günlük hayatta sıklıkla kullanırız. Örneğin bir dersteki notlarımızı hesaplarken notları toplar not sayısına böleriz, yani notlarımızın aritmetik ortalamasını bulmuş oluruz.

ÖRNEK: Dursun, Matematik dersi sınavlarından 80, 70 ve 93 almıştır. Dursun’un Matematik dersi sınav ortalamasını bulalım.

Önce verileri toplarız: 80 + 70 + 93 = 243 buluruz.

Daha sonra 3 tane sınav notu olduğu için notların toplamını sınav sayısına böleriz ve aritmetik ortalamayı 243 : 3 = 81 buluruz.

ÖRNEK: Bir ildeki hava sıcaklığı bir hafta boyunca her gün ölçülmüştür ve 21, 20, 17, 22, 24, 25, 25 °C verileri elde edilmiştir. Bu ildeki bu haftanın sıcaklık ortalamasını bulalım.

Önce verileri toplarız: 21 + 20 + 17 + 22 + 24 + 25 + 25 = 154 buluruz.

Daha sonra bir haftada 7 gün olduğu için toplamı 7’ye böleriz ve aritmetik ortalamayı 154 : 7 = 22 buluruz.

ÖRNEK: Aslı Türkçe dersinden birinci sınavda 60, ikinci sınavda 80 almıştır. Buna göre:

A) Bu iki sınavın ortalamasını bulalım.

\(Ortalama\;=\;\frac{60+80}2=70\) bulunur.

B) Üçüncü sınavdan 70 alırsa üç sınavın ortalaması değişir mi?

\(Ortalama\;=\;\frac{60+80+70}3=70\) bulunur.

Üçüncü sınavdan 70 aldığında ortalama değişmedi. Çünkü ilk iki sınavın ortalaması da 70’ti.

C) Üçüncü sınavdan 85 alırsa üç sınavın ortalaması nasıl değişir?

\(Ortalama\;=\;\frac{60+80+85}3=75\) bulunur.

Üçüncü sınavdan 85 aldığında ortalaması yükseldi. Çünkü ilk iki sınavın ortalaması da 70’ti ve üçüncü sınavda bu ortalamanın üzerinde bir puan aldı.

D) Üçüncü sınavdan 55 alırsa üç sınavın ortalaması nasıl değişir?

\(Ortalama\;=\;\frac{60+80+55}3=65\) bulunur.

Üçüncü sınavdan 55 aldığında ortalaması düştü. Çünkü ilk iki sınavın ortalaması da 70’ti ve üçüncü sınavda bu ortalamanın altında bir puan aldı.

NOT: Bir veri grubuna aritmetik ortalama değeriyle aynı bir verinin eklenmesi veya çıkartılması aritmetik ortalamayı değiştirmez.
Aritmetik ortalamanın üstünde veri eklendiğinde ortalama artar, aritmetik ortalamanın altında veri eklendiğinde ise ortalama azalır.

AÇIKLIK

Bir veri grubundaki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farka açıklık denir.

\(Açıklık=En\;Büyük\;Değer-En\;Küçük\;Değer\)

ÖRNEK: Bir ildeki hava sıcaklığı bir hafta boyunca her gün ölçülmüştür ve 21, 20, 17, 22, 24, 25, 25 °C verileri elde edilmiştir. Bu ildeki bu haftanın sıcaklık verilerinin açıklığını bulalım.

Hava sıcaklığının aldığı en büyük değer: 25
Hava sıcaklığının aldığı en küçük değer: 17

En yüksek sıcaklık ile en düşük sıcaklık arasındaki fark açıklıktır.
Açıklık = 25 − 17 = 8 olarak bulunur.

ÖRNEK: Aşağıdaki verilerin açıklığını ve aritmetik ortalamasını bulalım.

12, 28, 45, 21, 3, 41

Aritmetik Ortalama: (12 + 28 + 45 + 21 + 3 + 41) : 6 =  150 : 6 = 25

Açıklık: En büyük değer 45 ve en küçük değer 3 → 45 − 3 = 42

ÖRNEK: Aşağıdaki grafikte Kayseri ilinin 5 günlük gündüz ve gece hava sıcaklığı verilmiştir.

A) Gündüz hava sıcaklığının açıklığı kaçtır?

Gündüz en yüksek 25 °C, en düşük 19 °C’dir. Açıklık 25 − 19 = 6

B) Gece hava sıcaklığının açıklığı kaçtır?

Gece en yüksek 11 °C, en düşük 8 °C’dir. Açıklık 11 − 8 = 3

C) Gece – gündüz ortalama sıcaklık farkı kaç °C olmuştur?

Gündüz sıcaklık ortalaması:

\(\frac{21+21+25+19+22}5=21,6\) bulunur.

Gece sıcaklık ortalaması:

\(\frac{8+9+10+11+10}5=9,6\) bulunur.

Ortalama Sıcaklık Farkı = 21,6 − 9,6 = 12 °C

Bir sonraki konuda, bu konuda öğrendiğimiz aritmetik ortalama ve açıklık ile verileri karşılaştırmayı öğreneceğiz.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Araştırma Sorusu Üretme
✓ Çetele ve Sıklık Tablosu
✓ Sütun Grafiği

ARAŞTIRMA SORUSU NEDİR?

Bir gruptan veri toplamak için sorulan belirli özelliklere sahip sorulara araştırma sorusu denir.

Bir sorunun araştırma sorusu olması için şu özelliklere sahip olması gerekir:

• Sorunun kime yöneltileceği belirli olmalıdır.
• Soruyla birden fazla veri elde edilebilmelidir.

ÖRNEK: “Sınıfımızdaki öğrencilerin en sevdiği renk hangisidir?” sorusu bir araştırma sorusudur.

Çünkü bu sorunun kime yöneltileceği belirlidir ve bu soruya farklı cevaplar verilebilir.

ÖRNEK: “Matematik öğretmenimizin tuttuğu takım nedir?” sorusu bir araştırma sorusu değildir.

Çünkü bu soruya cevap alabilmek için bir grup yerine öğretmenimize soru sormamız yeterlidir ve sorunun tek bir cevabı vardır.

ÖRNEK: “Türkiye’nin başkenti neresidir?” sorusu bir araştırma sorusu değildir.

Çünkü bu sorunun cevabı bellidir ve bir gruba sormamıza gerek yoktur.

ÇETELE VE SIKLIK TABLOSU

Çetele tablosunda her bir veri çizgi ile ifade edilir. Bu verileri okumayı kolaylaştırmak için 4 dikey çizgiden sonra 1 yatay çizgi çizilerek veriler 5’li gruplanır. Sıklık tablosunda ise veriler sayılarla ifade edilir.

Tablo Nasıl Oluşturulur?

• Veriler toplanır.
• Elde edilen veriler gruplara ayrılır.
• Bu verilere uygun sıklık tablosu veya çetele tablosu oluşturulur.
• Tabloya uygun bir başlık yazılır.

ÖRNEK: Bir gruptan “En sevdiğiniz yemek nedir?” sorusu ile toplanan veriler aşağıda çetele ve sıklık tablosu ile gösterilmiştir.

SÜTUN GRAFİĞİ

Verilerin sütunlarla gösterildiği grafik türü sütun grafiğidir.

Sütun Grafiği Nasıl Oluşturulur?

• Grafiğe, grafiğin içeriği hakkında bilgi veren bir isim verilmelidir.
• Eksenlerde ne bulunduğu eksenlere başlık olarak yazılmalıdır.
• Sayıların bulunduğu eksen eşit aralıklara ayrılmalıdır.
• Sütunların kalınlığı ve aralarındaki mesafeler birbirine eşit olmalıdır.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Araştırma Soruları Üretme
✓ Veri Toplama, Verileri Düzenleme
✓ İkili Çetele, Sıklık Tablosu ve Sütun Grafiği

Belirli bir amaç için, gözlem veya araştırma yoluyla veri toplanması, düzenlenmesi, analiz yapılması ve çıkarımda bulunması işlemlerine istatistik denir.

Veri toplamak için önce araştırma sorusuna ihtiyacımız vardır. Araştırma sorumuz sonucunda tek bir gruba ait veri toplayabileceğimiz gibi iki veri grubunu karşılaştırabileceğimiz veriler de toplayabiliriz. Toplamak istediğimiz verilere göre araştırma sorusu oluşturmalıyız.

ARAŞTIRMA SORUSU OLUŞTURMA

5. sınıf veri toplama konusunda araştırma sorusu nedir ve araştırma sorusu nasıl oluşturulur öğrenmiştik. Bu yıl ise iki veri grubunu karşılaştırmayı gerektiren araştırma sorularını öğreneceğiz.

ÖRNEK: Aşağıdaki araştırma sorularını inceleyelim.

1. Sınıfımızdaki öğrencilerin tuttukları futbol takımları hangileridir?
2. Okulumuzdaki 6. sınıf öğrencilerinin memleketleri nelerdir?
3. Sınıfımızdaki kız ve erkek öğrencilerin sevdikleri renkler nelerdir?
4. Okulumuzdaki 6. sınıf ve 7. sınıf öğrencilerinin en sevdikleri ders nedir?

Yukarıdaki soruları incelediğimizde 1. ve 2. sorular tek bir gruptan veri toplamaya yönelik sorulardır. 3. ve 4. sorularda ise iki farklı gruptan veri toplanacaktır. (Kız – Erkek, 6.sınıf – 7.sınıf)

İKİLİ ÇETELE TABLOSU

Bir veri topluluğundaki her bir verinin olma sıklığını çentikler kullanarak gösteren tabloya çetele tablosu denir. Bu yıl iki farklı gruba yönelik veri topladığımız için bu verileri ikili çetele tablosu ile gösterebiliriz.

ÖRNEK: Sınıfımızdaki arkadaşlarımızın tercih etmek istedikleri mesleklerle ilgili veri toplamak istiyoruz. Verileri toplarken anket kullanabiliriz. Anketi düzenlerken iki farklı gruba ait veri toplayacağımızı göz önüne alarak “kız-erkek” seçeneğini de anketimize ekleyebiliriz. Örneğin anketimiz şu şekilde olabilir:

Bu anketten elde ettiğimiz verileri mesleklere ve cinsiyete göre bir tablo oluşturup kişi sayısına göre çentik atarak ikili çetele tablosu düzenleyebiliriz.

İKİLİ SIKLIK TABLOSU

Bir veri topluluğundaki her bir verinin olma sıklığını sayılar kullanarak gösteren tabloya sıklık tablosu denir. Bu yıl iki farklı gruba yönelik veri topladığımız için bu verileri ikili sıklık tablosu ile gösterebiliriz.

Yukarıdaki anketten elde ettiğimiz verileri sıklık tablosu ile gösterecek olursak:

İKİLİ SÜTUN GRAFİĞİ

Sütun grafiği oluşturmayı 5. sınıf tablo ve grafikler konusunda öğrenmiştik. Şimdi ise ikili sütun grafiği oluşturacağız. Bunun için elde ettiğimiz verileri iki grup yan yana olacak şekilde sütunlar halinde göstereceğiz. Örnek olarak yukarıdaki ankette elde ettiğimiz sonuçları ikili sütun grafiğinde gösterelim.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Kümeler ve Kümelerin Gösterilişi
✓ Kümelerin Eleman Sayıları ve Boş Küme

KÜME NEDİR?

İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle isimlendirilir.

Bir grubun küme olabilmesi için iyi tanımlanmış yani herkes tarafından aynı şekilde bilinen ve belirli olan nesneleri içermesi gerekir. Örneğin “iyi insanlar” küme belirtmez çünkü iyi insanlar herkes için aynı değildir. Daha fazla örnek aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Bir ifadenin küme belirtip belirtmemesi herkes tarafından aynı şekilde bilinmesiyle alakalı bir durumdur. Örneğin sınıfta “Z harfi ile başlayan aylar nelerdir?” diye sorulsa herkes “yoktur” cevabını verecektir. Bu yüzden bu da bir küme (boş küme) belirtir.

ELEMAN VE ELEMAN SAYISI

Kümeyi oluşturan her nesneye o kümenin elemanı denir. Elemanıdır sembolü ∈ ile gösterilir. Elemanı değildir sembolü ∉ ile gösterilir. Bir A kümesinin eleman sayısı sembolle s(A) şeklinde gösterilir.

ÖRNEK: A kümesi haftanın P harfi ile başlayan günleri olsun.

Pazar A kümesinin elemanıdır. → Pazar ∈ A
Salı A kümesinin elemanı değildir. → Salı ∉ A
A kümesinin eleman sayısı 3′ tür.  → s(A) = 3

Boş Küme

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } ya da \(\varnothing\) sembolleri ile gösterilir.

ÖRNEK: Ç harfiyle başlayan aylar kümesine A kümesi diyelim. Ç harfiyle başlayan ay olmadığı için A kümesi boş küme olur ve eleman sayısı sıfırdır.

Bu durum A = { } ya da A = \(\varnothing\) şeklinde gösterilir ve s(A) = 0 olur.

NOT: { \(\varnothing\) } ve { 0 } kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip kümelerdir.

KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

Kümeler Liste Yöntemi, Ortak Özellik Yöntemi ve Venn Şeması olmak üzere 3 şekilde gösterilir.

Liste Yöntemi

Kümeye ait elemanların küme parantezi yani “{ }” şekli içerisine aralarına virgül konularak yazılmasına liste yöntemi denir. Kümenin her bir elemanı yalnızca bir kez yazılır ve elemanların yerinin değiştirmesi yeni bir küme oluşturmaz.

ÖRNEK: Rakamlar kümesini liste yöntemiyle yazalım.

Bu kümeyi R harfiyle isimlendirecek olursak R = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 }

ÖRNEK: MATEMATİK kelimesinin harflerini liste yöntemiyle yazalım.

Bu kümeyi M harfiyle isimlendirecek olursak M = { M, A, T, E, İ, K }

NOT: Küme içinde eleman tekrarı yapılmaz. Örneğin ATATÜRK kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme { A, T, Ü, R, K } olur.

ÖRNEK: B = { 123 } kümesinin eleman sayısı 1’dir. Çünkü rakamlar arasında virgül olmadığından tek elemanı vardır o da 123’tür.

Ortak Özellik Yöntemi

Kümeye ait elemanların tek tek yazılmak yerine ortak özelliklerinin yazılmasına ortak özellik yöntemi denir.

ÖRNEK: Aşağıda liste yöntemiyle verilen kümeleri ortak özellik yöntemiyle yazalım.

A = { 0, 2, 4, 6, 8 } ise bu küme A = { Çift rakamlar} olarak gösterilebilir.

P = { a, b, c } ise bu küme P = { Alfabemizin ilk 3 harfi } olarak gösterilebilir.

Venn Şeması

Kümeye ait elemanların kapalı bir eğri içerisinde ve her elemanın başına bir nokta konularak gösterilmesine Venn şeması yöntemi denir.

ÖRNEK: A = { a, b, c } kümesini Venn şemasıyla gösterelim.

Kümeler Venn şeması ile gösterilirken her elemanın başına nokta konulur ve kümenin adı şeklin hemen yanına yazılır.

Konunun devamı olan kümelerde kesişim ve birleşim işlemi konu anlatımı için kümelerde işlemler konu anlatımı sayfasını ziyaret edin.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Nokta, Doğru, Işın, Doğru Parçası Nedir?
✓ İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları

NOKTA

Geometrinin en temel kavramı noktadır. Nokta tanımsız bir terimdir. Çevremizde noktaya şu örnekler verilebilir:
→ Kalemin ucunun kağıtta bıraktığı iz
→ Cümlelerin sonuna koyduğumuz nokta
→ İki çizginin kesiştiği yer

Noktanın boyutu (eni, boyu, yüksekliği) yoktur. Büyük harfle gösterilir.

ÖRNEK: A noktası .A şeklinde gösterilir.

DOĞRU

İki yönde istenildiği kadar uzatılabilen düz çizgiye doğru denir.

Doğru;

• Sonsuz sayıda noktadan oluşur.
• İki ucu sınırsızdır.
• Bir boyutludur yalnız uzunluğu vardır. Eni ve yüksekliği yoktur.

Nokta ile Doğrunun İlişkisi

• Bir noktadan sonsuz sayıda doğru geçer. (Şekil – 1)
• İki noktadan sadece bir tane doğru geçebilir. (Şekil – 2)
• Doğru üzerinde sonsuz tane nokta vardır.

Aynı doğru üzerinde bulunan noktalara doğrudaş noktalar denir. Örneğin yukarıdaki doğruda bulunan C, D noktaları doğrudaş (doğrusal) noktalardır.

DOĞRU PARÇASI

Bir doğru üzerinde yer alan farklı iki nokta ve bu noktalar arasında kalan kısım doğru parçasını oluşturur.

Doğru parçaları sonsuza kadar gitmedikleri için belirli bir uzunluğa sahiptirler. Bir AB doğru parçasının uzunluğu sembolle |AB| şeklinde gösterilir.

ÖRNEK: AB doğru parçasının uzunluğu 5 cm ise bu uzunluk sembolle |AB| = 5cm şeklinde gösterilir.

Uzunlukları birbirine eşit olan doğru parçalarına eş doğru parçaları denir. Eşlik \(\cong\) sembolü ile gösterilir.

ÖRNEK: |AB| = 6cm ve |CD| = 6cm olsun. |AB| = |CD| olduğundan AB doğru parçası CD doğru parçasına eştir. Bu eşlik  [AB] \(\cong\) [CD] şeklinde gösterilir.

IŞIN

Başlangıç noktası sabit olup bir yönde istenildiği kadar uzatılabilen düz çizgiye ışın denir. Bir doğru parçasının bir ucuna sonsuz sayıda doğru parçası ekleyerek ışını elde edebiliriz.

AB doğru parçası [AB], B ucundan sonsuza kadar uzatılarak AB ışını elde edilmiştir.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN: