BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Eşkenar dörtgenin alanı nasıl bulunur?
✓ Kenar x Yükseklik formülü
✓ Köşegenle alan bulma formülü

Dikdörtgenin, karenin ve paralelkenarın alanını önceki yıllarda öğrendik. Bu konumuzda eşkenar dörtgenin alanını göreceksiniz ancak öncesinde paralelkenarın alanı konusunu tekrar etmeniz faydanıza olacaktır.

EŞKENAR DÖRTGENİN ALANI

Eşkenar dörtgenin alanı 2 farklı yoldan bulunabilir.

1) Taban ve Yükseklik Uzunluklarıyla Alan Hesabı

Eşkenar dörtgen aynı zamanda bir paralelkenar olduğu için alanı paralelkenarın alan formülüyle hesaplanabilir.

Eşkenar dörtgenin alanı, taban kenarının uzunluğu ile yükseklik uzunluğunun çarpımına eşittir.

ÖRNEK: Aşağıda bir kenar uzunluğu ve yüksekliği verilen eşkenar dörtgenin alanını bulalım.

Eşkenar dörtgenin alanını bulmak için taban uzunluğu ile yükseklik uzunluğunu çarparız.

10 . 7 = 70 cm²

2) Köşegen Uzunluklarıyla Alan Hesabı

Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirine diktir ve köşegenleri çizildiğinde 4 tane eş dik üçgen oluşur. Eşkenar dörtgenin alanı bu üçgenlerin alanları toplamıyla da bulunabilir.

Eşkenar dörtgenin alanı, köşegen uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.

ÖRNEK: Aşağıda köşegen uzunlukları verilen eşkenar dörtgenin alanını bulalım.

Eşkenar dörtgenin alanını bulmak için köşegen uzunluklarını çarpar 2’ye böleriz.

20 . 15 = 300
300 : 2 = 150 cm²

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Dikdörtgen, Kare
✓ Paralelkenar
✓ Eşkenar Dörtgen
✓ Yamuk

Dört kenarı ve dört köşesi olan çokgenlere dörtgen denir. Dörtgenlerin aynı zamanda iki tane köşegeni bulunur. Dörtgenler sahip oldukları açı, kenar ve köşegen özelliklerine göre dikdörtgen, kare, paralelkenar, eşkenar dörtgen ve yamuk gibi isimlendirilebilir.

YAMUK

Karşılıklı kenarlarından en az bir çifti paralel olan dörtgene yamuk denir.

Yamuğun Kenar, Açı ve Köşegen Özellikleri

• En az bir çift karşılıklı kenarı paraleldir.
  [AB] // [DC]
• Birbirine paralel olan kenarlara taban adı verilir.
  [AB] yamuğun alt tabanı, [DC] yamuğun üst tabanıdır.
• Taban dışındaki kenarlara yamuğun yan kenarları adı verilir.
  [DA] ve [CB] yamuğun yan kenarlarıdır.
• Bir yan kenarın tabanlarla oluşturduğu açıların ölçüleri toplamı 180° dir.
  \(m(\widehat{\mathrm{A}}) + m(\widehat{\mathrm{D}}) = 180° \) ve \(m(\widehat{\mathrm{B}}) + m(\widehat{\mathrm{C}}) = 180°\)

İkizkenar Yamuk

Eşit uzunlukta ve paralel olmayan yan kenarlara sahip yamuğa ikizkenar yamuk denir.

• İkizkenar yamuğun yan kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir.
  |AD| = |BC|
• İkizkenar yamuğun taban açılarının ölçüleri birbirine eşittir
  \(m(\widehat{\mathrm{A}}) = m(\widehat{\mathrm{B}})\) ve \(m(\widehat{\mathrm{D}}) = m(\widehat{\mathrm{C}})\)
• İkizkenar yamuğun köşegen uzunlukları birbirine eşittir.

Dik Yamuk

Yan kenarlarından biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir.

• Tabanlara dik olan yan kenar ile tabanların oluşturduğu açılar 90 derecedir.
  \(m(\widehat{\mathrm{A}}) = m(\widehat{\mathrm{D}}) = 90°\)
• Diğer yan kenar ile tabanların oluşturduğu açılar bütünlerdir.
  \(m(\widehat{\mathrm{B}}) + m(\widehat{\mathrm{C}}) = 180°\)

PARALELKENAR

Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir. Paralelkenarların karşılıklı kenarları eşit uzunlukta ve karşılıklı açılarının ölçüleri eşittir.

Paralelkenarın Kenar, Açı ve Köşegen Özellikleri

• Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir.
  [AB] // [DC] ve [AD] // [BC]
• Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
  |AB| = |DC| ve |AD| = |BC|
• Karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşittir.
  \(m(\widehat{\mathrm{A}}) = m(\widehat{\mathrm{C}})\) ve \(m(\widehat{\mathrm{B}}) = m(\widehat{\mathrm{D}})\)
• Bir kenarın iki ucundaki açılar bütünlerdir.
  \(m(\widehat{\mathrm{A}}) + m(\widehat{\mathrm{B}}) = 180°\)
  \(m(\widehat{\mathrm{B}}) + m(\widehat{\mathrm{C}}) = 180°\)
  \(m(\widehat{\mathrm{C}}) + m(\widehat{\mathrm{D}}) = 180°\)
  \(m(\widehat{\mathrm{D}}) + m(\widehat{\mathrm{A}}) = 180°\)
• Köşegenleri birbirini ortalar.
  |AO| = |OC| ve |DO| = |OB|

Paralelkenar yamuğun özel bir halidir.

DİKDÖRTGEN

Tüm açılarının ölçüsü 90° olan dörtgene dikdörtgen denir. Dikdörtgenlerin karşılıklı kenarları paralel ve eşit uzunluktadır.

Dikdörtgenin Kenar, Açı ve Köşegen Özellikleri

• Tüm açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 90° dir.
  \(m(\widehat{\mathrm{A}}) = m(\widehat{\mathrm{B}}) = m(\widehat{\mathrm{C}}) = m(\widehat{\mathrm{D}}) = 90°\)
• Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir.
  [AB] // [DC] ve [AD] // [BC]
• Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
  |AB| = |DC| ve |AD| = |BC|
• Köşegen uzunlukları birbirine eşittir.
  |AC| = |BD|
• Köşegenleri birbirini ortalar.
  |AO| = |OC| = |DO| = |OB|

Dikdörtgen, paralelkenarın özel bir halidir. Dikdörtgen aynı zamanda bir paralelkenar ve yamuktur.

EŞKENAR DÖRTGEN

Tüm kenarları eşit uzunlukta olan dörtgene eşkenar dörtgen denir. Eşkenar dörtgenlerin karşılıklı açılarının ölçüleri eşittir.

Eşkenar Dörtgenin Özellikleri

• Tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
  |AB| = |BC| = |CD| = |DA|
• Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir.
  [AB] // [DC] ve [AD] // [BC]
• Karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşittir.
  \(m(\widehat{\mathrm{A}}) = m(\widehat{\mathrm{C}})\) ve \(m(\widehat{\mathrm{B}}) = m(\widehat{\mathrm{D}})\)
• Bir kenarın iki ucundaki açılar bütünlerdir.
  \(m(\widehat{\mathrm{A}}) + m(\widehat{\mathrm{B}}) = 180°\)
  \(m(\widehat{\mathrm{B}}) + m(\widehat{\mathrm{C}}) = 180°\)
  \(m(\widehat{\mathrm{C}}) + m(\widehat{\mathrm{D}}) = 180°\)
  \(m(\widehat{\mathrm{D}}) + m(\widehat{\mathrm{A}}) = 180°\)
• Köşegenleri birbirini ortalar.
  |AO| = |OC| ve |DO| = |OB|
• Köşegenleri birbirini dik keser.
  [AC] ⊥ [DB]
• Köşegenleri açıortaydır.

Eşkenar dörtgen, paralelkenarın özel bir halidir. Eşkenar dörtgen aynı zamanda bir paralelkenar ve yamuktur.

KARE

Kare tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan özel bir dikdörtgendir.

Karenin Kenar, Açı ve Köşegen Özellikleri

• Tüm açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 90° dir.
  \(m(\widehat{\mathrm{A}}) = m(\widehat{\mathrm{B}}) = m(\widehat{\mathrm{C}}) = m(\widehat{\mathrm{D}}) = 90°\)
• Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir.
  [AB] // [DC] ve [AD] // [BC]
• Tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
  |AB| = |BC| = |CD| = |DA|
• Köşegen uzunlukları birbirine eşittir.
  |AC| = |BD|
• Köşegenleri birbirini ortalar.
  |AO| = |OC| = |DO| = |OB|
• Köşegenleri birbirini dik keser.
  [AC] ⊥ [DB]
• Köşegenleri açıortaydır.

Kare, dikdörtgenin ve eşkenar dörtgenin özel bir halidir. Kare aynı zamanda bir dikdörtgen, eşkenar dörtgen, paralelkenar ve yamuktur.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Düzgün çokgen nedir?
✓ Düzgün çokgenin iç açı formülü
✓ Düzgün çokgenin dış açı formülü

DÜZGÜN ÇOKGEN

Kenar uzunlukları ve iç açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.

Aşağıda düzgün çokgenler verilmiştir. Eşkenar üçgen düzgün üçgendir, kare ise düzgün dörtgendir.

Bir çokgenin düzgün çokgen olabilmesi için hem kenar uzunluklarının birbirine eşit hem de açı ölçülerinin birbirine eşit olması gerekir.

ÖRNEK: Dikdörtgen düzgün çokgen midir? Eşkenar dörtgen düzgün çokgen midir?

Dikdörtgenin tüm açı ölçüleri birbirine eşittir ancak kenar uzunlukları birbirine eşit olmadığı için dikdörtgen düzgün çokgen değildir.

Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir ancak açı ölçüleri birbirine eşit olmadığı için eşkenar dörtgen düzgün çokgen değildir.

DÜZGÜN ÇOKGEN FORMÜLLERİ

Düzgün Çokgenin Bir Dış Açısı

n kenarlı bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü \(\frac{360°}{n}\) dir.

n kenarlı bir çokgenin dış açılarının toplamının 360° olduğunu çokgenler konusunda öğrenmiştik. n kenarlı bir düzgün çokgenin n tane dış açısı vardır ve hepsinin ölçüsü birbirine eşittir. Bu yüzden bir dış açının ölçüsünü bulurken 360° ‘yi n’ye böleriz.

ÖRNEK: Düzgün onikigenin bir dış açısının ölçüsü kaç derecedir bulalım.

Düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü formülü \(\frac{360°}{n}\)‘dir. Soruda kenar sayısı verildiği için n = 12 alırız.

\(\frac{360°}{12}\) = 30°

ÖRNEK: Bir dış açısının ölçüsü 40 derece olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır bulalım.

Düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü formülü \(\frac{360°}{n}\)‘dir. Soruda bir dış açısının ölçüsü verildiği için formülü 40’a eşitleriz.

\(\frac{360}{n}\) = 40
360 = 40n
n = 9

Düzgün Çokgenin Bir İç Açısı

n kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü \(\frac{(n – 2).180°}{n}\) dir.

n kenarlı bir çokgenin iç açılarının toplamının (n – 2).180° olduğunu çokgenler konusunda öğrenmiştik. n kenarlı bir düzgün çokgenin n tane iç açısı vardır ve hepsinin ölçüsü birbirine eşittir. Bu yüzden bir iç açının ölçüsünü bulurken iç açıları toplamını açı sayısına böleriz yani (n – 2).180° ‘yi n’ye böleriz.

ÖRNEK: Düzgün ongenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir bulalım.

Düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü formülü \(\frac{(n – 2).180°}{n}\)‘dir. Soruda kenar sayısı verildiği için n = 10 alırız.

\(\frac{(10 – 2).180°}{10}\) = \(\frac{8.180°}{10}\) = 144°

ÖRNEK: Bir iç açısının ölçüsü 135 derece olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır bulalım.

Düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü formülü \(\frac{(n – 2).180°}{n}\)‘dir. Soruda bir iç açısının ölçüsü verildiği için formülü 135’e eşitleriz.

\(\frac{(n – 2).180}{n}\) = 135
(n – 2).180 = 135n
180n – 360 = 135n
45n = 360
n = 8

Bir çokgenin bir köşesindeki iç açının ölçüsü ile dış açısının ölçüsü toplamı 180°dir. Bu yüzden düzgün bir çokgenin bir iç açısının ölçüsü, 180°den bu çokgenin bir dış açısının ölçüsü çıkartılarak da bulunabilir.

Düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü = 180° – \(\frac{360°}{n}\)

ÖRNEK: Düzgün onbeşgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir bulalım.

Bu soruda iç açıyı dış açıdan faydalanarak bulalım. Önce onbeşgenin bir dış açısının ölçüsünü 360’ı 15’e bölerek buluruz. Sonra iç açıyı bulmak için dış açıyı 180’den çıkartırız.

Dış Açının Ölçüsü = \(\frac{360°}{15}\) = 24°
İç Açının Ölçüsü = 180° – 24° = 156°

ÖRNEK: Bir iç açısının ölçüsü 150 derece olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır bulalım.

Bir iç açısı 150° ise bir dış açısı 30°dir. Bu yüzden dış açı formülünü 30’a eşitleriz.

\(\frac{360}{n}\) = 30
360 = 30n
n = 12

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Çokgenlerde köşegen
✓ Çokgende iç ve dış açı
✓ Köşegen formülleri, açı formülleri

ÇOKGENLER

Bir düzlemde herhangi ikisi doğrusal olmayan en az üç noktanın ardışık bir şekilde birleştirilmesiyle oluşan kapalı geometrik şekle çokgen denir.

► Çokgenler kenar sayılarına göre adlandırılır.
► Bir çokgenin ardışık olmayan herhangi iki köşesini birleştiren doğru parçalarının her birine köşegen adı verilir.

ÇOKGEN FORMÜLLERİ

Bir Köşeden Çizilen Köşegen Sayısı

n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden (n – 3) tane köşegen çizilebilir.

n kenarlı bir çokgenin n tane köşesi vardır. Bir köşe seçtiğimizde bu köşeden kendisine ve 2 komşusuna köşegen çizemeyiz. Bu yüzden köşe sayısından 3 çıkartırız.

ÖRNEK: Aşağıdaki görseldeki mavi çizgiler bir köşeden çizilen köşegenleri göstermektedir.

Üçgenin köşegeni yoktur. Dörtgenin bir köşesinden 1, beşgenin 2, altıgenin 3 köşegen çizilebilir.

ÖRNEK: Bir onbeşgenin bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısını bulalım.

Bir köşeden çizilen köşegen sayısı formülü (n – 3)’tür. Soruda kenar sayısı verildiği için n = 15 alırız. Cevabı da 15 – 3 = 12 olarak buluruz.

ÖRNEK: Bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı 20 olan çokgen kaç kenarlıdır bulalım.

Bir köşeden çizilen köşegen sayısı formülü (n – 3)’tür. Soruda bir köşesinden çizilen köşegen sayısı verildiği için (n – 3)’ü 20’ye eşitleriz ve kenar sayısını buluruz.

n – 3 = 20
n = 23

Bir Köşeden Çizilen Köşegen ile Oluşan Üçgen Sayısı

n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden köşegenler çizilerek (n – 2) tane üçgen elde edilebilir.

Bir köşeden çizilen köşegenlerle oluşan üçgen sayısı köşegen sayısından bir fazla olduğu için (n – 3)’e 1 ekleriz ve formülü (n – 2) buluruz.

ÖRNEK: Aşağıdaki görselde bir köşeden çizilen köşegenlerle oluşan üçgen sayıları verilmiştir.

Bir köşeden köşegenler çizilince dörtgende 2, beşgende 3, altıgende 4 tane üçgen oluşur.

ÖRNEK: Bir ongenin bir köşesinden çizilebilen köşegenlerle oluşan üçgen sayısını bulalım.

Bir köşeden çizilen köşegenlerle oluşan üçgen sayısı formülü (n – 2)’dir. Soruda kenar sayısı verildiği için n = 10 alırız. Cevabı da 10 – 2 = 8 olarak buluruz.

ÖRNEK: Bir köşesinden çizilebilen köşegenlerle oluşan üçgen sayısı 15 olan çokgen kaç kenarlıdır bulalım.

Bir köşeden çizilen köşegen sayısı formülü (n – 2)’dir. Soruda bir köşesinden çizilen köşegenlerle oluşan üçgen sayısı verildiği için (n – 2)’yi 15’e eşitleriz ve kenar sayısını buluruz.

n – 2 = 15
n = 17

Toplam Köşegen Sayısı

n kenarlı bir çokgenin toplam \(\frac{n.(n – 3)}{2}\) tane köşegeni vardır.

n tane köşenin her birinden (n – 3) tane köşegen çizilebilir. Bu çizimler sonucunda n.(n – 3) kere çizim yapılmış olur. Ancak her bir köşegenin iki ucundan da çizim yapıldığı için toplam köşegen sayısı n.(n – 3)’ün yarısıdır.

ÖRNEK: Aşağıdaki görselde çokgenlerin tüm köşegenleri çizilmiştir.

Üçgenin köşegeni yoktur. Dörtgenin 2, beşgenin 5, altıgenin 9 köşegeni vardır.

ÖRNEK: Bir onikigenin kaç köşegeni vardır bulalım.

Köşegen sayısı formülü \(\frac{n.(n – 3)}{2}\)‘dir. Soruda kenar sayısı verildiği için n = 12 alırız. Cevabı da \(\frac{12.9}{2}\) = 54 olarak buluruz.

ÖRNEK: Köşegen sayısı 27 olan çokgen kaç kenarlıdır bulalım.

Köşegen sayısı formülü \(\frac{n.(n – 3)}{2}\)‘dir. Soruda köşegen sayısı verildiği için \(\frac{n.(n – 3)}{2}\)‘yi 27’ye eşitleriz ve kenar sayısını buluruz.

\(\frac{n.(n – 3)}{2}\) = 27
n.(n – 3) = 54
n = 9

İç Açı ile Dış Açı Toplamı

Bir çokgenin aynı köşesine ait iç açısı ile dış açısının ölçüleri toplamı 180° dir.

Çokgende kenarların kesişmesi ile iç bölgede oluşan açılara iç açı denir. Bir kolu kenarın uzantısı olan ve iç açılara komşu olan açılara ise dış açı denir.

Çokgende İç Açılar Toplamı

n kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n – 2).180° dir.

Bir çokgende bir köşeden köşegenlerin çizilmesiyle (n – 2) tane üçgen oluşuyordu. Bu üçgenlerin her birinin iç açıları ölçüleri toplamı 180° dir ve bu açılar çokgenin iç açılarını oluşturur. Bu yüzden çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamını bulurken (n – 2) ile 180° çarpılır.

ÖRNEK: Bir altıgenin iç açıları ölçüleri toplamı kaç derecedir bulalım.

İç açıları toplamı formülü (n – 2).180°’dir. Soruda kenar sayısı verildiği için n = 6 alırız. Cevabı da 4.180° = 720° olarak buluruz.

ÖRNEK: İç açıları ölçüleri toplamı 1080° olan çokgen kaç kenarlıdır bulalım.

İç açıları toplamı formülü (n – 2).180°’dir. Soruda iç açıları ölçüleri toplamı verildiği için (n – 2).180°’yi 1080’e eşitleriz ve kenar sayısını buluruz.

(n – 2).180° = 1080°
n – 2 = 6
n = 8

Çokgende Dış Açılar Toplamı

Tüm çokgenlerin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.

ÖRNEK: Bir onbeşgenin dış açıları ölçüleri toplamı kaç derecedir bulalım.

Tüm çokgenlerin dış açıları ölçüleri toplamı 360° olduğu için onbeşgenin de dış açıları ölçüleri toplamı 360° dir.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

PASCAL ÜÇGENİ

Fransız matematikçi Blaise Pascal‘ın adıyla anılan Pascal (Paskal) üçgeninin kuralı şu şekildedir:

► İlk satırda tek eleman vardır ve 1’dir.
► Alt satırlara inildikçe satırdaki eleman sayısı 1 artar.
► Her satırının ilk ve son elemanı 1’dir.
► Satırdaki diğer elemanlar bir üst satırdaki kendine komşu olan iki sayının toplamıdır.

Yukarıdaki kurala göre devam eden Paskal üçgeninin aşağıda ilk 6 satırı verilmiştir.

BİNOM AÇILIMI

Aşağıdaki özdeşlikleri ya biliyoruz ya da çarpma işlemi yaparak kolayca bulabiliriz.

(x + y)¹ = x + y

(x + y)² = (x + y).(x + y) = x² + 2xy + y²

(x + y)³ = (x + y).(x + y).(x + y) = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Ancak kuvvet büyüdükçe özdeşliği çarpma işlemi yaparak bulmak zorlaşır. Bu durumda kombinasyon yardımıyla binom açılımını kullanarak özdeşlikleri bulabiliriz.

x ve y sıfırdan farklı ve n bir doğal sayı olmak (x + y)ⁿ ifadesinin x ve y’nin kuvvetleri cinsinden açılımına binom açılımı denir.

(x + y)ⁿ = \(\binom{n}{0}\) xⁿ⁻⁰ y⁰ + \(\binom{n}{1}\) xⁿ⁻¹ y¹ + \(\binom{n}{2}\) xⁿ⁻² y² + … + \(\binom{n}{n}\) xⁿ⁻ⁿ yⁿ

Binom açılımında terimleri oluştururken katsayıları kombinasyon yardımıyla hesaplarız. x’in azalan kuvvetlerine göre açılım yaparken x’in üssünü n’den başlayıp her terimde bir azaltırız, y’nin üssünü 0’dan başlayıp her terimde bir arttırırız. Böylece son terimde x’in üssü 0, y’nin üssü n olmuş olur.

ÖRNEK: (x + y)⁵ ifadesinin özdeşini binom formülünü kullanarak x’in azalan kuvvetlerine göre yazalım.

Terimlerin katsayılarını \(\binom{5}{0}\)‘dan \(\binom{5}{5}\)‘e doğru sırayla yazarız. x’in kuvvetlerini 5’ten 0’a doğru, y’nin kuvvetlerini 0’dan 5’e doğru sırayla terimlere yazarız.

(x + y)⁵ = \(\binom{5}{0}\) x⁵ y⁰ + \(\binom{5}{1}\) x⁴ y¹ + \(\binom{5}{2}\) x³ y² + \(\binom{5}{3}\) x² y³ + \(\binom{5}{4}\) x¹ y⁴ + \(\binom{5}{5}\) x⁰ y⁵

Daha sonra katsayılardaki kombinasyon değerlerini hesaplayıp yerlerine yazarız.

(x + y)⁵ = 1 x⁵ y⁰ + 5 x⁴ y¹ + 10 x³ y² + 10 x² y³ + 5 x¹ y⁴ + 1 x⁰ y⁵

Katsayılardaki 1’leri, x⁰ ve y⁰ ifadelerini 1’e eşit oldukları için yazmamıza gerek yoktur.

(x + y)⁵ = x⁵ + 5 x⁴ y + 10 x³ y² + 10 x² y³ + 5 x y⁴ + y⁵

PASCAL ÜÇGENİ – BİNOM AÇILIMI İLİŞKİSİ

Pascal üçgenindeki sayılar kombinasyon hesabı ile de elde edilebilir. Bu kombinasyon değerleri aynı zamanda (x + y)ⁿ ifadesinin açılımında katsayılara karşılık gelir. Bu ilişki sayesinde açılımdaki katsayılar kombinasyon hesabı yerine Pascal üçgeninden bulunabilir.

ÖRNEK: (x + y)⁴ ifadesinin özdeşini Pascal üçgeninden faydalanarak x’in artan kuvvetlerine göre yazalım.

Terimlerin katsayılarının 1 4 6 4 1 olduğunu Pascal üçgeninin 5. satırından görebiliriz. x’in kuvvetlerini 0’dan 4’e doğru, y’nin kuvvetlerini 4’ten 0’a doğru sırayla terimlere yazarız.

(x + y)⁴ = 1 x⁰ y⁴ + 4 x¹ y³ + 6 x² y² + 4 x³ y¹ + 1 x⁴ y⁰

Katsayılardaki 1’leri, x⁰ ve y⁰ ifadelerini 1’e eşit oldukları için yazmamıza gerek yoktur.

(x + y)⁴ = y⁴ + 4 x y³ + 6 x² y² + 4 x³ y + x⁴

Pascal Özdeşliği

Pascal üçgeninde bir satırdaki iki elemanın toplamının alt-ortalarındaki elemana eşit olduğunu biliyoruz. Bu özelliği yukarıdaki görselde kombinasyonla oluşturulmuş üçgende de kullanabiliriz.

Örneğin Pascal üçgeninde 4 ve 6’nın toplamı alt-ortalarındaki 10’a eşittir. Bu sayıların yerlerine kombinasyon üçgeninde bakacak olursak \(\binom{4}{1}\) + \(\binom{4}{2}\) = \(\binom{5}{2}\) eşitliğini görürüz. Bu eşitliği genellersek aşağıdaki özdeşliği elde ederiz.

\(\binom{n}{r}\) + \(\binom{n}{r+1}\) = \(\binom{n+1}{r+1}\) eşitliğine Pascal özdeşliği denir.

ÖRNEK: \(\binom{12}{5}\) + \(\binom{12}{6}\) ifadesinin \(\binom{13}{6}\)‘ya eşit olduğunu pascal özdeşliği sayesinde söyleyebiliriz.

BİNOM AÇILIMININ ÖZELLİKLERİ

Terim sayısı

(x+y)ⁿ ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1‘dir.

ÖRNEK: (2x + 3y)¹⁰ ifadesinin açılımında 10+1 = 11 terim vardır.

Terimlerdeki üsler toplamı

(x+y)ⁿ ifadesinin açılımındaki her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n‘dir.

ÖRNEK: (3x − y)⁸ ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 7. terimi inceleyelim.

Bu ifadenin açılımdaki 7. terimi 252x²y⁶ dir. Burdaki x’in ve y’nin üslerini toplarsak 2 + 6 = 8 olduğunu görürüz.

Baştan r+1 inci terim

(x+y)ⁿ ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan r + 1‘inci terim \(\binom{n}{r}\) (x)^n−r (y)^r dir.

ÖRNEK: (2x + 4y)⁵ ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 4. terimini bulalım.

r + 1 = 4 olduğu için r = 3’tür. Aşağıdaki ifadede r yerine 3, x yerine 2x, y yerine de 4y yazarız.

\(\binom{n}{r}\) (x)^n−r (y)^r = \(\binom{5}{3}\) (2x)⁵⁻³ (4y)³ = 10 . 4x² . 64y³ = 2560x²y³

Sondan r+1 inci terim

(x+y)ⁿ ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki sondan r + 1‘inci terim \(\binom{n}{r}\) (x)^r (y)^n−r dir.

ÖRNEK: (x − 2y)⁷ ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki sondan 5. terimini bulalım.

r + 1 = 5 olduğu için r = 4’tür. Aşağıdaki ifadede r yerine 4, x yerine x, y yerine de −2y yazarız.

\(\binom{n}{r}\) (x)^r (y)^n−r = \(\binom{7}{4}\) (x)⁴ (−2y)⁷⁻⁴ = 35 . x⁴ . (−8y³) = −280x⁴y³

Ortanca terim

n doğal sayı olmak üzere (x+y)²ⁿ ifadesinin açılımındaki ortadaki terim \(\binom{2n}{n}\) (x)ⁿ (y)ⁿ dir.

ÖRNEK: (2x − 1)¹⁰ ifadesinin açılımında ortada yer alan terimi bulalım.

İfadenin üssü 10 olduğundan n = 5 alırız. Aşağıdaki ifadede n yerine 5, x yerine 2x, y yerine −1 yazarız.

\(\binom{2n}{n}\) (x)ⁿ (y)ⁿ = \(\binom{10}{5}\) (2x)⁵ (−1)⁵ = 252 . 32x⁵ . (−1) = −8064x⁵

Katsayılar toplamı

(x+y)ⁿ ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı yazılır.

ÖRNEK: (3x − 5y)⁴ ifadesinin açılımında katsayılar toplamı kaçtır bulalım.

Katsayılar toplamını bulmak için x ve y yerine 1 yazarız.

Katsayılar toplamı = (3.1 − 5.1)⁴ = (3 − 5)⁴ = (−2)⁴ = 16

Sabit terim

(x+y)ⁿ ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı yazılır.

ÖRNEK: (3x − 1)⁵ ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır bulalım.

Sabit terimi bulmak için x yerine 0 yazarız.

Sabit terim = (3.0 − 1)⁵ = (0 − 1)⁵ = (−1)⁵ = −1

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

ÖRNEK 1: (x − y)⁵ ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımını yazalım.

(x − y)⁵ = \(\binom{5}{0}\) x⁵ (−y)⁰ + \(\binom{5}{1}\) x⁴ (−y)¹ + \(\binom{5}{2}\) x³ (−y)² + \(\binom{5}{3}\) x² (−y)³ + \(\binom{5}{4}\) x¹ (−y)⁴ + \(\binom{5}{5}\) x⁰ (−y)⁵

(x − y)⁵ = x⁵ − 5 x⁴ y + 10 x³ y² − 10 x² y³ + 5 x y⁴ − y⁵

ÖRNEK 2: (3x + 2y)³ ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımını yazalım.

(3x + 2y)³ = \(\binom{3}{0}\) (3x)³ (2y)⁰ + \(\binom{3}{1}\) (3x)² (2y)¹ + \(\binom{3}{2}\) (3x)¹ (2y)² + \(\binom{3}{3}\) (3x)⁰ (2y)³

(3x + 2y)³ = 27 x³ + 54 x² y + 36 x y² + 8y³

ÖRNEK 3: (x + 7)^3k+1 ifadesinin açılımında 11 terim bulunduğuna göre k kaçtır bulalım.

(x+y)ⁿ ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1’dir. Bu yüzden

3k + 2 = 11
3k = 9
k = 3 buluruz.

ÖRNEK 4: (2x + y)^k ifadesinin açılımındaki terimlerden biri A.x².y⁴ olduğuna göre k kaçtır bulalım.

(x+y)ⁿ ifadesinin açılımındaki her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n’dir. Bu yüzden

k = 2 + 4
k = 6 buluruz.

ÖRNEK 5: (−2x + 1)⁵ ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 4. terimini bulalım.

(x+y)ⁿ ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan r + 1’inci terim \(\binom{n}{r}\) (x)^n−r (y)^r dir. Bu yüzden r + 1 = 4 eşitliğinden r = 3 elde ederiz.

\(\binom{5}{3}\) (−2x)⁵⁻³ (1)³

10 . 4 . x² . 1 = 40x²

ÖRNEK 6: (−x − 2)⁶ ifadesinin açılımının ortadaki terimini bulalım.

(x+y)²ⁿ ifadesinin açılımındaki ortadaki terim \(\binom{2n}{n}\) (x)ⁿ (y)ⁿ dir. Bu yüzden n yerine 3, x yerine −x, y yerine −2 yazarız.

\(\binom{6}{3}\) (−x)³ (−2)³ = 20 . (−x³) . (−8) = 160x³

ÖRNEK 7: (2x − 3y)⁵ ifadesinin katsayılar toplamını bulalım.

(x+y)ⁿ ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı yazılır. Bu yüzden katsayılar toplamını (2.1 − 3.1)⁵ = (−1)⁵ = −1 buluruz.

ÖRNEK 8: (3x − 2)⁶ ifadesinin sabit terimini bulalım.

(x+y)ⁿ ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı yazılır. Bu yüzden sabit terimi (3.0 − 2)⁶ = (−2)⁶ = 64 buluruz.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

KOMBİNASYON

n ve r birer doğal sayı ve r ≤ n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin her birine n’nin r’li kombinasyonu denir.

ÖRNEK: A = {a, b, c, d} kümesinin üçlü dizilişlerini ve üç elemanlı alt kümelerini yazalım.

Tablonun sol sütunundaki üçlü dizilişlerin her biri bu kümenin üçlü permütasyonlarıdır ve toplam 24 tanedir. P(4,3) = 24

Tablonun sağ sütunundaki üç elemanlı alt kümelerin her biri bu kümenin üçlü kombinasyonlarıdır ve toplam 4 tanedir. Küme içinde elemanların farklı dizilişi yeni bir küme oluşturmadığı için bir kombinasyonda dizilişin değişmesi yeni bir kombinasyon oluşturmaz.

KOMBİNASYON SAYISI

n elemanlı bir kümenin r’li kombinasyonlarının (r elemanlı alt kümelerinin) sayısı C (n, r) ya da \(\binom{n}{r}\) gösterilir.

C (n,r) = \(\frac{n!}{(n-r)!.r!}\) şeklinde hesaplanır.

ÖRNEK: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin iki elemanlı alt kümelerinin (2’li kombinasyonlarının) sayısını bulalım.

C (6, 2) = \(\frac{6!}{(6-2)!.2!}\) = \(\frac{6!}{4!.2!}\) = \(\frac{720}{48}\) = 15

ÖRNEK: 15 kişilik bir sınıftan proje yarışmasına katılmaları için 2 öğrenci seçilecektir. Bu seçimin kaç farklı şekilde yapılabileceğini bulalım.

15 kişiden 2 kişi \(\binom{15}{2}\) farklı biçimde seçilebilir.

\(\binom{15}{2}\) = \(\frac{15!}{(15-2)!.2!}\) = \(\frac{15!}{13!.2!}\) = \(\frac{15.14.13!}{13!.2!}\) = 105 farklı seçim yapılabilir.

ÖRNEK: \(\binom{5}{2}\) + \(\binom{5}{3}\) + \(\binom{6}{6}\) + \(\binom{7}{0}\) işleminin sonucunu bulalım.

\(\binom{5}{2}\) = \(\frac{5!}{(5-2)!.2!}\) = \(\frac{5!}{3!.2!}\) = \(\frac{120}{12}\) = 10 olur.

\(\binom{5}{3}\) = \(\frac{5!}{(5-3)!.3!}\) = \(\frac{5!}{2!.3!}\) = \(\frac{120}{12}\) = 10 olur.

\(\binom{6}{6}\) = \(\frac{6!}{(6-6)!.6!}\) = \(\frac{6!}{0!.6!}\) = \(\frac{720}{720}\) = 1 olur.

\(\binom{7}{0}\) = \(\frac{7!}{(7-0)!.0!}\) = \(\frac{7!}{7!.0!}\) = \(\frac{5040}{5040}\) = 1 olur.

\(\binom{5}{2}\) + \(\binom{5}{3}\) + \(\binom{6}{6}\) + \(\binom{7}{0}\) = 10 + 10 + 1 + 1 = 22 olarak buluruz.

KOMBİNASYONUN ÖZELLİKLERİ

n’nin sıfırlı kombinasyonlarının sayısı

C (n, 0) = \(\frac{n!}{(n-0)!.0!}\) = \(\frac{n!}{n!.0!}\) = 1

ÖRNEK: C (8, 0) = 1

n’nin birli kombinasyonlarının sayısı

C (n, 1) = \(\frac{n!}{(n-1)!.1!}\) = \(\frac{n.(n-1)!}{(n-1)!.1!}\) = n

ÖRNEK: C (8, 1) = 8

n’nin n’li kombinasyonlarının sayısı

C (n, n) = \(\frac{n!}{(n-n)!.n!}\) = \(\frac{n!}{0!.n!}\) = 1

ÖRNEK: C (8, 8) = 1

Bir kümenin alt küme sayısı

C (n, 0) + C (n, 1) + C (n, 2) + … + C (n, n) = 2ⁿ

ÖRNEK: 4 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2⁴ = 16’dır. Alt küme sayısını bu kümenin 0, 1, 2, 3, 4 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulup toplayarak da elde edebiliriz.

\(\binom{4}{0}\) + \(\binom{4}{1}\) + \(\binom{4}{2}\) + \(\binom{4}{3}\) + \(\binom{4}{4}\) = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

C (n, r) = C(n, n − r) eşitliği

\(\binom{n}{r}\) = \(\binom{n}{n-r}\)

ÖRNEK: 10 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı ile 7 elemanlı alt kümelerinin sayısı birbirine eşittir.

C (10, 3) = C (10, 7)

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

ÖRNEK 1: A = { k, a, l, e, m } kümesinin en az 3 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulalım.

A kümesi 5 elemanlıdır. Bu kümenin 3, 4 ve 5 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulup toplayacağız.

C (5, 3) + C (5, 4) + C (5, 5) = 10 + 5 + 1 = 16

ÖRNEK 2: 10 erkek 12 kız arasından 3 kişi kaç farklı şekilde seçilebilir bulalım.

Herhangi bir şart bulunmadığı için 22 kişi arasından 3 kişi seçeceğiz.

\(\binom{22}{3}\) = \(\frac{22!}{(22-3)!.3!}\) = \(\frac{22!}{19!.3!}\) = \(\frac{22.21.20.19!}{19!.3!}\) = 1540 farklı seçim yapılabilir.

ÖRNEK 3: 5 erkek 7 kız arasından 2 kız 2 erkek kaç farklı şekilde seçilebilir bulalım.

5 erkek arasından 2 kişi, 7 kız arasından 2 kişi seçeceğiz.

Cevabı \(\binom{5}{2}\) . \(\binom{7}{2}\) = 10.21 = 210 olarak buluruz.

ÖRNEK 4: A = { S, E, L, A, M } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin;

4A) Kaç tanesinde S elemanı vardır bulalım.

Alt kümenin üç elemanından birinin “S” olmasını istediğimiz için “S”yi eleman olarak alırız, diğer iki elemanı {E, L, A, M} arasından seçeriz.

Cevabı C (4, 2) = 6 olarak buluruz.

4B) Kaç tanesinde M elemanı yoktur bulalım.

“M”yi eleman olarak istemediğimiz için kümeden çıkartırız ve üç elemanı da {S, E, L, A} arasından seçeriz.

Cevabı C (4, 3) = 4 olarak buluruz.

4C) Kaç tanesinde E elemanı vardır ancak A elemanı yoktur bulalım.

“A”yı eleman olarak istemediğimiz için kümeden çıkartırız, “E”yi bir eleman olarak alırız. Diğer iki elemanı da {S, L, M} arasından seçeriz.

Cevabı C (3, 2) = 3 olarak buluruz.

4D) Kaç tanesinde S ve E elemanı vardır bulalım.

Alt kümenin üç elemanından ikisinin “S” ve “E” olmasını istediğimiz için “S”yi ve “E”yi eleman olarak alırız, diğer bir elemanı {L, A, M} arasından seçeriz.

Cevabı C (3, 1) = 3 olarak buluruz.

4E) Kaç tanesinde S veya E elemanı vardır bulalım.

Alt kümenin içinde “S” veya “E” olmasını istediğimiz için tüm üç elemanlı alt küme sayısında “S” ve “E”nin ikisinin de bulunmadığı üç elemanlı alt küme sayısını çıkartırız. Böylelikle geriye kalan alt kümelerde mutlaka “S” veya “E” bulunur.

Cevabı C (5, 3) − C (3, 3) = 10 − 1 = 9 olarak buluruz.

ÖRNEK 5: Aşağıdaki çember üzerinde 5 farklı noktada gösterilmiştir. Buna göre soruları cevaplayalım.

5A) Bu beş noktanın herhangi ikisinden geçen kaç farklı doğru çizilebilir?

Çizeceğimiz doğrunun bu 5 noktadan herhangi 2 tanesinden geçmesi istendiği için bu 5 noktadan 2 tanesini seçeriz.

Cevabı C (5, 2) = 10 olarak buluruz.

5B) Köşe noktaları bu beş noktanın herhangi üçü olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

Köşeleri bu noktalardan olan üçgen çizebilmek için bu 5 noktadan 3 tanesini seçeriz.

Cevabı C (5, 3) = 10 olarak buluruz.

ÖRNEK 6: Aşağıdaki d1 doğrusu üzerinde 4 nokta, d2 doğrusu üzerinde 6 nokta verilmiştir. Köşeleri bu noktalardan seçilen kaç farklı üçgen çizilebileceğini bulalım.

Üçgenin oluşabilmesi için üç köşenin de aynı doğru üzerinden seçilmemesi gerekir. Bu durumda 2 farklı durum oluşur.

Üçgenin 1 köşesinin d₁ üzerinde, 2 köşesinin d₂ üzerinde olması durumunda \(\binom{4}{1}\) . \(\binom{6}{2}\) = 4 . 15 = 60 üçgen çizilebilir.

Üçgenin 2 köşesinin d₁ üzerinde, 1 köşesinin d₂ üzerinde olması durumunda \(\binom{4}{2}\) . \(\binom{6}{1}\) = 6 . 6 = 36 üçgen çizilebilir.

Toplam 60 + 36 = 96 üçgen çizilebilir.

ÖRNEK 7: 7 kişilik bir grupta herkes birbiriyle birer kez tokalaşırsa toplam kaç tokalaşma yapılır bulalım.

Toklaşma yapmak için 7 kişi arasından 2 kişi seçmemiz gerekir.

Cevabı C (7, 2) = 21 olarak buluruz.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

PERMÜTASYON

n ve r birer doğal sayı ve r ≤ n olmak üzere n elemanlı bir kümenin birbirinden farklı r tane elemanından oluşan dizilişlerin her birine n’nin r’li permütasyonu (dizilişi) denir.

ÖRNEK: A = {1, 2, 3} kümesinin ikili permütasyonlarını yazalım.

A kümesinin elemanlarını ikişerli seçerek sıralı ikili şeklinde yazarsak:
(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1) ve (3, 2) elde ederiz.

3 elemanlı bir kümenin ikili permütasyonlarının sayısı 6’dır.

PERMÜTASYON SAYISI

n elemanlı bir kümenin r’li permütasyonlarının sayısı P (n, r) ile gösterilir.

P (n,r) = \(\frac{n!}{(n-r)!}\) şeklinde hesaplanır.

ÖRNEK: 7’nin 3’lü permütasyonlarının sayısını yani P (7, 3) değerini bulalım.

P (7, 3) = \(\frac{7!}{(7-3)!}\) = \(\frac{7!}{4!}\) = \(\frac{7.6.5.4!}{4!}\) = 7.6.5 = 210

ÖRNEK: 5 arkadaş bir sıraya ikişerli oturup fotoğraf çektirecektir. Fotoğraf çekimi kaç farklı şekilde yapılabilir bulalım.

5 kişinin ikişerli dizilişlerinin (permütasyonlarının) sayısı P (5, 2) ile bulunur.

P (5, 2) = \(\frac{5!}{(5-2)!}\) = \(\frac{5!}{3!}\) = \(\frac{120}{6}\) = 20

ÖRNEK: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarıyla 3 basamaklı rakamları farklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir.

5 elemandan 3’ünü seçip sıralayacağımız için sonuç P (5, 3) ile bulunur.

P (5, 3) = \(\frac{5!}{(5-3)!}\) = \(\frac{5!}{2!}\) = \(\frac{120}{2}\) = 60

PERMÜTASYONUN ÖZELLİKLERİ

n’nin sıfırlı permütasyonlarının sayısı

P (n, 0) = \(\frac{n!}{(n-0)!}\) = \(\frac{n!}{n!}\) = 1

ÖRNEK: P (8, 0) = 1

n’nin birli permütasyonlarının sayısı

P (n, 1) = \(\frac{n!}{(n-1)!}\) = \(\frac{n.(n-1)!}{(n-1)!}\) = n

ÖRNEK: P (8, 1) = 8

n’nin n’li permütasyonlarının sayısı

P (n, n) = \(\frac{n!}{(n-n)!}\) = \(\frac{n!}{0!}\) = n!

ÖRNEK: P (8, 8) = 8!

TEKRARLI PERMÜTASYON

Bazı elemanları özdeş olan n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarına tekrarlı permütasyon denir.

ÖRNEK: ATA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek anlamlı ya da anlamsız 3 harfli kelimeleri yazalım.

ATA kelimesinde özdeş 2 tane A harfi olduğu için bu harfler ile sadece ATA, AAT ve TAA kelimeleri yazılabilir.

n elemanlı bir kümenin elemanlarının n₁ tanesi birbiriyle özdeş, n₂ tanesi birbiriyle özdeş, …, n_r tanesi birbiriyle özdeş ise bu kümenin n’li permütasyonlarının sayısı \(\frac{n!}{n_{1}!.n_{2}!…..n_{r}!}\) ile bulunur.

ÖRNEK: HALİL kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kelime sayısını bulalım.

HALİL kelimesinde:
H → 1 tane
A → 1 tane
L → 2 tane
İ → 1 tane bulunmaktadır.

Bu yüzden harflerin yer değiştirilmesi ile elde edilebilecek 5 harfli kelime sayısı:

\(\frac{5!}{1!.1!.2!.1!}\) = \(\frac{120}{2}\) = 60 olarak bulunur.

ÖRNEK: 3 322 111 sayısının rakamları yer değiştirilerek kaç tane 7 basamaklı sayı yazılabilir bulalım.

3 322 111 sayısında:
1 → 3 tane
2 → 2 tane
3 → 2 tane bulunmaktadır.

Bu yüzden rakamların yer değiştirilmesi ile elde edilebilecek 7 basamaklı sayı adedi:

\(\frac{7!}{3!.2!.2!}\) = \(\frac{7.6.5.4.3.2}{3.2.2.2}\) = 210 olarak bulunur.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

ÖRNEK 1: TARİH kelimesinin harflerini en çok bir kez kullanarak yazılabilecek anlamlı ya da anlamsız 3 harfli kaç kelime vardır bulalım.

TARİH kelimesi 5 farklı harften oluşuyor ve bu harflerden 3’ü ile kelime yazacağız. Oluşturulabilecek kelime sayısı P (5, 3) ile bulunur.

P (5, 3) = \(\frac{5!}{(5-3)!}\) = \(\frac{5!}{2!}\) = \(\frac{120}{2}\) = 60

ÖRNEK 2: DAKİKA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek anlamlı ya da anlamsız 6 harfli kelime sayısını bulalım.

DAKİKA kelimesinde:
D → 1 tane
A → 2 tane
K → 2 tane
İ → 1 tane bulunmaktadır.

\(\frac{6!}{1!.2!.2!.1!}\) = \(\frac{720}{4}\) = 180

ÖRNEK 3: HAFTA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kelimelerin kaç tanesi F harfi ile başlar bulalım.

Oluşturacağımız kelimelerin F ile başlaması için F harfini başa sabitleriz. Diğer harflerin diziliş sayısını buluruz.

[F harfi sabit] – H,A,T,A harflerinin yeri değişecek

H,A,T,A harfleri arasında:
H → 1 tane
A → 2 tane
T → 1 tane bulunmaktadır.

\(\frac{4!}{1!.2!.1!}\) = \(\frac{24}{2}\) = 12

ÖRNEK 4: SAAT kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek anlamlı ya da anlamsız 3 harfli kaç kelime vardır bulalım.

4 harften biri kullanılmayacağı için her bir harfin kullanılmadığı durumları ayrı ayrı inceleriz.

S harfi kullanılmazsa → A, A, T harfleriyle 3 tane,
T harfi kullanılmazsa → S, A, A harfleriyle 3 tane,
A harflerinden biri kullanılmazsa → S, A, T harfleriyle 6 tane kelime yazılır.

Toplam kelime sayısı 3 + 3 + 6 = 12 tanedir.

ÖRNEK 5: Aşağıdaki 6 kutudan herhangi 4’ü kırmızıya boyanacaktır. Bu boyama işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir bulalım.

Örnek bir boyama yaparsak şu şekilde bir görüntü elde ederiz.

Buradaki oluşabilecek farklı görüntü sayısı, KBBKKK kelimesinin harflerinin yerlerinin değiştirilmesiyle elde edilebilecek kelime sayısına eşittir.

KBBKKK kelimesinde:
K → 4 tane
B → 2 tane bulunmaktadır.

\(\frac{6!}{4!.2!}\) = \(\frac{720}{48}\) = 15

ÖRNEK 6: Aşağıdaki şekilde A noktasından başlayarak çizgiler üzerinden ve en kısa yoldan B’ye, daha sonra ise C’ye gidilecektir. Kaç farklı şekilde bu işlem gerçekleştirilebilir bulalım.

A’dan B’ye en kısa yoldan gitmek için 2 yukarı (Y) ve 4 sağa (S) gitmek gerekir. Bu hareketlerin sırası önemli değildir. Örneğin YYSSSS ya da SSSYSY şeklinde bir hareketle B’ye varılabilir.

A’dan B’ye \(\frac{6!}{2!.4!}\) = \(\frac{720}{48}\) = 15 farklı yolla gidilebilir.

Benzer şekilde B’den C’ye en kısa yoldan gitmek için 2 yukarı (Y) ve 2 sağa (S) gitmek gerekir. Bunu da YYSS ya da SSYY gibi hareketlerle yapabilir.

B’den C’ye \(\frac{4!}{2!.2!}\) = \(\frac{24}{4}\) = 6 farklı yolla gidilebilir.

A’dan C’ye, B’den geçerek 15.6 = 90 farklı yolla gidilebilir.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

FAKTÖRİYEL NEDİR?

n bir pozitif tam sayı olmak üzere 1’den n’ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel (çarpansal) denir ve n! şeklinde gösterilir.

n! = 1 . 2 . 3 . … . (n – 1) . n ‘dir.
0! = 1 olarak kabul edilir.

ÖRNEK: Bazı doğal sayıların faktöriyellerini hesaplayalım.

0! = 1
1! = 1
2! = 1.2 = 2
3! = 1.2.3 = 6
4! = 1.2.3.4 = 24
5! = 1.2.3.4.5 = 120
6! = 1.2.3.4.5.6 = 720
7! = 1.2.3.4.5.6.7 = 5040

Faktöriyel Hesaplama sayfamızdan merak ettiğiniz bir sayının faktöriyelini hesaplayabilirsiniz.

NOT: n! aşağıdaki şekillerde de yazılabilir.
n! = n . (n − 1)!
n! = n . (n − 1) . (n − 2)!

ÖRNEK: Yukardaki not ile ilgili aşağıdaki eşitlikleri inceleyelim.

7! = 7.6.5.4.3.2.1 olduğu için:
7! = 7.6! şeklinde yazılabilir.

7! = 7.6.5.4.3.2.1 olduğu için:
7! = 7.6.5! şeklinde yazılabilir.

ÖRNEK: Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulalım.

► \(\frac{10!}{8!}\) = \(\frac{10.9.8!}{8!}\) = 10.9 = 90

► \(\frac{13!-12!}{12}\) = \(\frac{13.12!-12!}{12}\) = \(\frac{12!(13-1)}{12}\) = \(\frac{12!(12)}{12}\) = 12!

FAKTÖRİYEL İLE SAYMANIN TEMEL PRENSİBİ İLİŞKİSİ

Faktöriyel işlemi, çarpma yoluyla sayma yani saymanın temel prensibi kullanılan saymalarda da kullanılır.

Birbirinden farklı n tane nesne yan yana n . (n – 1) . (n – 2) . … . 3 . 2 . 1 = n! farklı şekilde sıralanabilir.

ÖRNEK: 4 kişi 4 sandalyeye kaç farklı şekilde oturabilir bulalım.

1.YOL: Soruyu saymanın temel prensibi ile çözelim

4 kişi 4 sandalyeye 4.3.2.1 = 24 farklı şekilde oturabilir.

2.YOL: Soruyu faktöriyel kullanarak çözelim.

4 kişi 4 sandalyeye 4! = 24 farklı şekilde oturabilir.

ÖRNEK: KİTAP kelimesinin harfleriyle aynı harflere sahip anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kaç farklı kelime oluşturulabilir bulalım.

1.YOL: Soruyu saymanın temel prensibi ile çözelim

Bu harflerle 5 harfli 5.4.3.2.1 = 120 farklı kelime oluşturulabilir.

2.YOL: Soruyu faktöriyel kullanarak çözelim.

Oluşturulacak kelimede K, İ, T, A, P harflerinden her biri birer kez yer alacaktır. Bu yüzden bu 5 harf 5! = 120 farklı şekilde sıralanır.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

ÖRNEK 1: \(\frac{(n+2)!}{n!}\) işleminin sonucunu bulalım.

\(\frac{(n+2)!}{n!}\) = \(\frac{(n+2).(n+1).n!}{n!}\) = (n+2).(n+1) = n² + 3n + 2

ÖRNEK 2: 10 kişi yan yana sıralanarak fotoğraf çektirecektir. Kaç farklı biçimde sıralanabilirler bulalım.

10 kişi 10! farklı şekilde sıralanabilir.

ÖRNEK 3: Anne, baba ve 3 çocuktan oluşan bir aile, anne ve baba yan yana olmak şartıyla kaç farklı biçimde sıralanabilir bulalım.

Anne ve baba her zaman yan yana olacağı için anne ile baba 1 kişi (A-B) gibi düşünülür.

A-B, Ç₁, Ç₂, Ç₃ nesnelerinin sıralaması 4! biçimde gerçekleşir. Anne ve baba kendi aralarında da 2! (A-B, B-A) şeklinde yer değiştirebilir.

Sonuç olarak 4! . 2! = 24 . 2 = 48 sıralama yapılabilir.

ÖRNEK 4: 4 erkek 5 kız, erkekler ve kızlar bir arada olmak şartıyla kaç farklı biçimde sıralanabilir bulalım.

Erkekler hep yan yana olacağı için 1 kişi (E), kızlar da hep yan yana olacağı için 1 kişi (K) olarak düşünülür.

E, K nesnelerinin sıralaması 2! biçimde gerçekleşir. Ayrıca erkekler kendi arasında 4!, kızlar kendi arasında 5! kadar sıralanır.

Sonuç olarak 4! . 5! . 2! = 24 . 120 . 2 = 5760 sıralama yapılabilir.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!