BİRE BİR EŞLEME YOLUYLA SAYMA

Bir kümenin eleman sayısını, verilen kümenin elemanları ile pozitif tam sayılar kümesinin elemanları arasında bire bir eşleme yaparak bulma işlemine bire bir eşleme yoluyla sayma denir.

ÖRNEK: İSTANBUL kelimesinin harflerinden oluşan kümenin eleman sayısını bire bir eşleme yoluyla bulalım.

İSTANBUL kelimesinin harflerinden oluşan kümeye H diyecek olursak H = { İ, S, T, A, N, B, U, L } olur.

Pozitif tam sayılar kümesi de Z⁺ = { 1, 2, 3, 4, 5, …} olduğuna göre bu iki kümenin elemanlarını eşleştirelim.

İ → 1
S → 2
T → 3
A → 4
N → 5
B → 6
U → 7
L → 8

Bire bir eşleme yolu ile H kümesinin eleman sayısının 8 olduğu bulunur. s(H) = 8

TOPLAMA YOLUYLA SAYMA

Sonlu ve ayrık kümelerin birleşiminin eleman sayısı bu kümelerin eleman sayıları toplamına eşittir. Bu yöntemle saymaya toplama yoluyla sayma denir.

A ile B sonlu ve ayrık iki küme olmak üzere s(A \(\cup\) B) = s(A) + s(B) olur.

ÖRNEK: İstanbul’un Anadolu yakasından Avrupa yakasına geçiş için 3 köprü ve 2 tünel bulunmaktadır. Anadolu yakasından Avrupa yakasına geçiş için kaç yol olduğunu bulalım.

Köprüler kümesi K = { k₁, k₂, k₃ }
Tüneller kümesi T = { t₁, t₂ }

Köprüler kümesi ile tüneller kümesinin ortak elemanı olmadığı için bu kümeler ayrık kümelerdir. O zaman toplama yoluyla toplam geçiş yolu sayısını bulabiliriz.

s(K \(\cup\) T) = s(K) + s(T)
s(K \(\cup\) T) = 3 + 2 = 5 buluruz.

ÖRNEK: 5 farklı pasta ve 6 farklı sütlü tatlı arasından 1 pasta veya 1 sütlü tatlı kaç farklı şekilde seçilir bulalım.

Pasta kümesine P dersek s(P) = 5, sütlü tatlı kümesine T dersek s(T) = 6 olur.

s(P \(\cup\) T) = s(P) + s(T)
s(P \(\cup\) T) = 5 + 6 = 11 buluruz.

ÖRNEK: 3 farklı kot pantolon, 4 farklı kumaş pantolon ve 2 farklı kadife pantolon arasından 1 pantolon seçecek olan Senem’in kaç farklı seçim yapabileceğini bulalım.

Kot pantolonların kümesine O dersek s(O) = 3, kumaş pantolonların kümesine Ş dersek s(Ş) = 4, kadife pantolonların kümesine A dersek s(A) = 2 olur.

s(O \(\cup\) Ş \(\cup\) A) = s(O) + s(Ş) + s(A)
s(O \(\cup\) Ş \(\cup\) A) = 3 + 4 + 2 = 9 buluruz.

ÇARPMA YOLUYLA SAYMA

A ve B boş kümeden farklı, ayrık iki küme olmak üzere AxB kümesinin eleman sayısını bulma işlemine çarpma yoluyla sayma denir. Bu yöntemle yapılan sayma işlemine saymanın temel ilkesi de denilir.

s(AxB) = s(A) . s(B) şeklinde hesaplanır.

ÖRNEK: A kentinden B kentine 2 farklı yolla, B kentinden C kentine 3 farklı yolla gidilebilmektedir. A kentinden C kentine B’ye uğramak koşuluyla kaç farklı yolla gidilebilir bulalım.

A kentinden B kentine giden yollara Y = {y₁, y₂},
B kentinden C kentine giden yollara Z = {z₁, z₂, z₃} diyelim.

A kentinden C kentine B’ye uğramak koşuluyla gidilebilecek yollar
YxZ = { (y₁,z₁), (y₁,z₂), (y₁,z₃), (y₂,z₁), (y₂,z₂), (y₂,z₃) } olur.

Bu kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı s(YxZ) = s(Y).s(Z) = 2.3 = 6 olarak bulunur.

ÖRNEK: 3 farklı yiyecek ve 4 farklı içecek arasından 1 yiyecek ve 1 içecek kaç farklı şekilde seçilir bulalım.

1. yiyecek 4 farklı içecekle, 2. yiyecek 4 farklı içecekle, 3. yiyecek de 4 farklı içecekle seçilebilir.

Kısaca yiyecek 3 şekilde, içecek 4 şekilde seçilebildiği için 1 yiyecek ve 1 içecek 3 . 4 = 12 farklı şekilde seçilebilir.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

ÖRNEK 1: Alfabemizden 1 sesli veya 1 sessiz harf kaç farklı şekilde seçilebilir bulalım.

Alfabemizde 8 sesli, 21 sessiz harf vardır. Sesli veya sessiz fark etmeksizin 1 tane harf seçeceğimiz için bu seçim 8+21 = 29 farklı şekilde yapılabilir.

ÖRNEK 2: Alfabemizden 1 sesli ve 1 sessiz harf kaç farklı şekilde seçilebilir bulalım.

8 sesli harf arasından 1 tanesini ve 21 sessiz harf arasında 1 tanesini seçeceğiz. Bu seçim 8.21 = 168 farklı şekilde yapılabilir.

ÖRNEK 3: A şehrinden B şehrine 4 farklı yol, B şehrinden C şehrine 3 farklı yol vardır. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayalım.

3A) A şehrinden C şehrine, B şehrine uğramak koşuluyla kaç farklı şekilde gidilebilir?

A’dan B’ye 4 farklı yol, B’den C’ye 3 farklı yol vardı.
[A] → 4 → [B] → 3 → [C]
4.3 = 12

3B) A şehrinden C şehrine, giderken ve dönerken B şehrine uğramak koşuluyla kaç farklı şekilde gidip dönülebilir?

Dönüş yolunda C’den B’ye 3, B’den A’ya 4 yol vardır.
[A] → 4 → [B] → 3 → [C] → 3 → [B] → 4 → [A]
4.3.3.4 = 144

3C) A şehrinden C şehrine, giderken ve dönerken B şehrine uğramak ve giderken kullanılan yollar dönerken kullanılmamak koşuluyla kaç farklı şekilde gidip dönülebilir?

Dönüş yolunda C’den B’ye kullanılmayan 2, B’den A’ya kullanılmayan 3 yol vardır.
[A] → 4 → [B] → 3 → [C] → 2 → [B] → 3 → [A]
4.3.2.3 = 72

ÖRNEK 4: A = {1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere, A kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek sayılarla ilgili aşağıdaki soruları cevaplayalım.

4A) Üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

5.5.5 = 125 farklı üç basamaklı doğal sayı yazılabilir.

4B) Üç basamaklı rakamları farklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

Rakamları farklı olması için kullanılan rakam tekrar kullanılmamalıdır.

5.4.3 = 60 tane rakamları farklı üç basamaklı doğal sayı yazılabilir.

4C) Üç basamaklı kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir?

5.5.2 = 50 farklı üç basamaklı çift doğal sayı yazılabilir.

4D) Üç basamaklı 200’den büyük kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

4.5.5 = 100 farklı 200’den büyük üç basamaklı doğal sayı yazılabilir.

ÖRNEK 5: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere, A kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek sayılarla ilgili aşağıdaki soruları cevaplayalım.

5A) Üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

Üç basamaklı sayı olabilmesi için 0 ile başlamaması gerekir.

5.6.6 = 180 farklı üç basamaklı yazılabilir.

5B) Üç basamaklı rakamları farklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

Rakamları farklı olması için kullanılan rakam tekrar kullanılmamalıdır.

5.5.4 = 100 tane rakamları farklı üç basamaklı doğal sayı yazılabilir.

5C) Dört basamaklı rakamları farklı 5’e tam bölünebilen kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

5’e bölünebilmesi için birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır. Ayrıca dört basamaklı olabilmesi için 0 ile başlamaması gerekir. Bu yüzden bu soruyu öncelikle 0 ve 5’i birler basamağına ayrı ayrı sabitleyip çözeceğiz.

Birler basamağı 0 olan 5.4.3.1 = 60 tane, birler basamağı 5 olan 4.4.3.1 = 48 tane sayı yazılabilir. Toplam 60 + 48 = 108 tane rakamları farklı 5’e tam bölünebilen dört basamaklı doğal sayı yazılabilir.

ÖRNEK 6: 4 farklı mektup 5 farklı posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir bulalım.

Bu 4 mektup 5.5.5.5 = 625 farklı şekilde posta kutularına atılabilir.

ÖRNEK 7: 5 farklı kuş 8 farklı dala her dalda en fazla bir kuş olmak şartıyla kaç farklı şekilde konabilir.

Bir kuşun konduğu dala başka bir kuş konamayacağı için dal seçeneği birer birer azalmaktadır.

Bu kuşlar dallara 8.7.6.5.4 = 6720 farklı şekilde konabilir.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Bir doğruya dikme çizme
✓ Bir doğruya paralel çizme

DİKME ÇİZME

Bir doğruya dışındaki veya üzerindeki bir noktadan dik olarak çizilen doğru, doğru parçası ya da ışına dikme denir.

Bir doğru ile dışındaki bir noktayı birleştiren doğru parçalarından en kısa olanı bu noktadan doğruya çizilen dikmedir.

Yukarıdaki örnekte Y noktasının n doğrusuna olan uzaklığı YB doğru parçasının uzunluğudur. YB doğru parçası Y noktasından n doğrusuna olan en kısa mesafedir.

PARALEL DOĞRU ÇİZME

Paralel iki doğrudan birinin üzerindeki her bir noktanın diğer doğruya olan uzaklığı (dik uzaklığı) eşittir. Bu yüzden paralel doğrulara eş uzaklıklı doğrular denir.

Aşağıdaki örneğe bakacak olursak m ve k doğruları üzerinde rastgele noktalar seçtiğimizde bu noktaların diğer doğruya uzaklıkları birbirine eşittir.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı
✓ Kare prizmanın yüzey alanı
✓ Küpün yüzey alanı

Bir kutuyu renkli kağıtla kaplayıp hediye paketi yaparken kutunun tüm yüzlerini kaplarız ve kaplanan alan bu kutunun yüzey alanıdır. Önceki konularda dikdörtgenler prizmasının temel elemanları ve dikdörtgenler prizmasının açınımını öğrenmiştik. Bu konuda ise dikdörtgenler prizmasının alanını, kare prizmanın alanını ve küpün alanını öğreneceğiz.

DİKDÖRTGENLER PRİZMASININ ALANI

Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı bulunurken tüm yüzlerin alanları bulunur ve toplanır. Dikdörtgenler prizmasında karşılıklı yüzeylerin alanları birbirine eşittir.

ÖRNEK: Aşağıdaki dikdörtgenler prizmasının yüzey alanını bulalım.

1. YOL: Dikdörtgenler prizmasının alanını bulurken tüm yüzlerdeki dikdörtgenlerin alanlarını bulup toplayacağız. Bunu yaparken ön yüz ile arka yüz, sağ yüz ile sol yüz, üst yüz ile alt yüzün alanlarının eşit olduğundan da faydalanacağız.

Ön yüzün alanı = 20 x 10 = 200 cm²
Sağ yüzün alanı = 30 x 10 = 300 cm²
Üst yüzün alanı = 30 x 20 = 600 cm²

Dikdörtgenler Prizmasının Alanı = Ön + Arka + Sağ + Sol + Üst + Alt
Dikdörtgenler Prizmasının Alanı = 200 + 200 + 300 + 300 + 600 + 600
Dikdörtgenler Prizmasının Alanı = 2200 cm²

2. YOL: Dikdörtgenler prizmasının alanını, açınımındaki dikdörtgenlerin alanlarını hesaplayıp toplayarak da bulabiliriz.

KARE PRİZMANIN ALANI

Kare prizmanın yüzey alanı bulunurken tüm yüzlerin alanları bulunur ve toplanır. Kare prizmada taban alanları birbirine eşittir ve tüm yanal yüzlerin alanları birbirine eşittir.

ÖRNEK: Aşağıdaki kare prizmanın yüzey alanını bulalım.

1. YOL: Kare prizmanın alanını bulurken tüm yüzlerin alanlarını bulup toplayacağız. Bunu yaparken taban alanlarının birbirine eşit ve tüm yanal yüzlerin alanlarının birbirine eşit olduğundan da faydalanacağız.

Bir tabanın alanı = 12 x 12 = 144 cm²
Bir yanal yüzün alanı = 12 x 15 = 180 cm²

2 tabanın toplam alanı = 144 x 2 = 288 cm²
4 yanal yüzün toplam alanı = 180 x 4 = 720 cm²

Kare Prizmanın Alanı = Taban Alanları + Yanal Yüz Alanları
Kare Prizmanın Alanı = 288 + 720 = 1008 cm²

2. YOL: Kare prizmanın alanını, açınımındaki kare ve dikdörtgenlerin alanlarını hesaplayıp toplayarak da bulabiliriz.

KÜPÜN ALANI

Küpün yüzey alanı bulunurken tüm yüzlerin alanları bulunur ve toplanır. Küpte tüm yüzlerin alanları birbirine eşittir.

ÖRNEK: Aşağıdaki küpün yüzey alanını bulalım.

1. YOL: Küpün tüm yüzlerinin alanları birbirine eşit olduğu için bir yüzünün alanını buluruz ve 6 ile çarparız.

Bir yüzünün alanı = 10 x 10 = 100 cm²
Küpün Alanı = 100 x 6 = 600 cm²

2. YOL: Küpün alanını, açınımındaki karelerin alanlarını hesaplayıp toplayarak da bulabiliriz.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Dikdörtgenler prizmasının açınımı
✓ Kare prizmanın açınımı
✓ Küpün açınımı

Dikdörtgenler prizması, kare prizma veya küp şeklindeki kutuları hiç açtınız mı? Bu prizmaların özelliklerini dikdörtgenler prizması konusunda öğrenmiştik. Bu konuda ise dikdörtgenler prizmasının açınımını, kare prizmanın açınımını ve küpün açınımını öğreneceğiz.

DİKDÖRTGENLER PRİZMASININ AÇINIMI

Dikdörtgenler prizmasının her biri dikdörtgen olan 6 yüzü vardır. Bu yüzden dikdörtgenler prizmasının açınımında 6 adet dikdörtgen bulunur. Kapalı halde iken karşılıklı olan yüzler açınımda yan yana gelmezler ve bu yüzler birbirine eştir.

Yukardaki açınımda da görüldüğü gibi mavi yüzler (ön ve arkadaki yüzler), kırmızı yüzler (sağ ve soldaki yüzler) ve yeşil yüzler (üst ve alttaki yüzler) birbirine eştir.

KARE PRİZMANIN AÇINIMI

Kare prizmanın 2 kare ve 4 dikdörtgen yüzü vardır. Bu yüzden kare prizmanın açınımında 2 adet eş kare ve 4 adet eş dikdörtgen bulunur.

Yukardaki açınımda da görüldüğü gibi mavi yüzler (prizmanın tabanları) ve yeşil yüzler (prizmanın yanal yüzleri) birbirine eştir.

KÜPÜN AÇINIMI

Küpün her biri kare olan 6 yüzü vardır. Bu yüzden küpün açınımında 6 adet eş kare bulunur.

Yukardaki açınımda da görüldüğü gibi yeşil yüzler (küpün tüm yüzleri) birbirine eştir.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Dikdörtgenler prizması
✓ Kare prizma
✓ Küp

Günlük hayatta dikdörtgenler prizması, kare prizma ve küp sıklıkla karşımıza çıkar. Dolaplar, odalar, karton koliler, kibrit kutuları genelde prizma şeklindedir. Dikdörtgenler prizmasına örnek olarak aşağıdaki eşyaları verebiliriz.

DİKDÖRTGENLER PRİZMASI

Tüm yüzleri dikdörtgensel bölge olan prizmaya dikdörtgenler prizması denir.

Dikdörtgenler Prizmasının Özellikleri

Dikdörgenler prizmasının temel özellikleri şunlardır:

• Toplam 6 yüzü vardır. (2 taban + 4 yanal yüz)
• Tüm yüzleri dikdörtgendir.
• Toplam 8 köşesi vardır.
• Toplam 12 ayrıtı vardır.
• Karşılıklı yüzleri birbirine eş ve paraleldir.
• Karşılıklı ayrıtları birbirine eş ve paraleldir.

KARE PRİZMA

Tabanları kare olan dikdörtgenler prizmasına kare prizma denir. Kare, dikdörtgenin özel bir hali olduğu için kare prizma özel bir dikdörtgenler prizmasıdır.

Kare Prizmanın Özellikleri

Kare prizması dikdörtgenler prizmasının tüm özelliklerine sahiptir. Bunlara ek olarak şu özelliklere sahiptir:

• Tabanları karedir ve birbirine eştir.
• Taban ayrıtlarının uzunlukları birbirine eşittir.
• Yan yüzleri dikdörtgendir ve birbirine eştir.

KÜP

Tüm yüzeyleri kare olan dikdörtgenler prizmasına küp denir. Kare, dikdörtgenin özel bir hali olduğu için küp özel bir dikdörtgenler prizmasıdır.

Küpün Özellikleri

Küp dikdörtgenler prizmasının tüm özelliklerine sahiptir. Bunlara ek olarak şu özelliklere sahiptir:

• Tüm yüzleri karedir ve birbirine eştir.
• Tüm ayrıtlarının uzunlukları birbirine eşittir.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Verilen şeklin alanını tahmin etme
✓ Metrekare ve santimetrekare ile alan tahmini

Bir önceki konuda dikdörtgenin alanını bulmayı öğrendik. Bu konuda ise belirli bir alanı tahmin etmeyi öğreneceğiz. Verilen bir alanın büyüklüğünü tahmin ederken şu yöntemleri kullanabiliriz:

• Alanını bildiğimiz bölgelerle kıyaslayarak tahminde bulunabiliriz.
• Eğer şekil dikdörtgen şeklindeyse kenar uzunluklarını tahmin edip bu uzunlukları çarparak alanını tahmin edebiliriz.

ÖRNEK: Aşağıdaki belirtilen alanları hangi birim ile ifade etmek daha uygundur belirleyelim.

Defterimizin alanı: Bu alan 1m²‘den az yer kapladığı için veya kenar uzunluklarını santimetre birimi ile ölçtüğümüz için alanını ifade ederken santimetrekare (cm²) birimi daha uygun olur.

Sınıfımızın alanı: Bu alan 1m²‘den fazla yer kapladığı için veya kenar uzunlukları 1 metreden uzun olduğu için alanını ifade ederken metrekare (m²) birimi daha uygun olur.

ÖRNEK: Aşağıdaki masanın üzerindeki cep telefonunun alanı 120 cm² dir. Buna göre kitabın ve bilgisayar klavyesinin alanını bu bilgiden faydalanarak tahmin edelim.

Kitap, üzerine 2 tane cep telefonu sığacak büyüklükte ancak 3. cep telefonu kitaba sığmaz. Yani kitabın alanının 240 cm² ile 360 cm² arasında olduğunu söyleyebiliriz. Kalan boşluğun büyüklüğünü de dikkate alarak kitabın alanını 280 cm² olarak tahmin edebiliriz.

Bilgisayar klavyesi, üzerine 5 adet cep telefonu sığabilecek büyüklükte. Bundan dolayı klavyenin alanının 600cm²‘den büyük olduğunu söyleyebiliriz. Yandaki ve üstteki boşluğu da dikkate alarak klavyenin alanını 650 cm² olarak tahmin edebiliriz.

ÖRNEK: Aşağıdaki sınıfta kırmızı ile belirtilen dikdörtgen şeklindeki duvarın alanını tahmin edelim.

Bu alanı tahmin etmek için öncelikle bu duvarın kenar uzunluklarını tahmin edelim. Bunun için öğretmenin boyundan faydalanalım ve öğretmenin boyunun 160-170 cm civarı olduğunu varsayalım.

Buna göre duvarın yüksekliğinin yani dikdörtgenin kısa kenarının 2 metreden fazla olduğunu söyleyebiliriz. İşlemlerde kolaylık sağlaması için 2 metre olarak alalım.

Duvarın genişliği yani dikdörtgenin uzun kenarı kısa kenarının yaklaşık 3 katı uzunluğunda. Bu sebepten dolayı uzun kenarı da 6 metre olarak alabiliriz.

Sonuç olarak dikdörtgenin alanını 2 x 6 = 12 metrekare olarak tahmin edebiliriz.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Kümelerde Kesişim İşlemi
✓ Kümelerde Birleşim İşlemi

KESİŞİM KÜMESİ

A ve B gibi iki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B’nin kesişim kümesi denir ve A  \(\cap\) B biçiminde gösterilir.

A ve B kümelerinin kesişim kümesi, Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir.

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim kümelerini bulalım.

► A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 3, 4, 5, 6, 7 }

“3” ve “4” her iki kümede de bulunduğu için bu iki eleman kesişim kümesini oluşturur.

A \(\cap\) B = { 3, 4 }

► K = { a, b, c } ve L = { k, l, m, n, p }

Bu iki kümede ortak eleman olmadığı için kesişim kümesi boş kümedir. Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler de denilir.

K \(\cap\) L = { }

► P = { 1, 2, 3, 4 }, R = { 4, 5, 6 } ve S = { 2, 4, 6, 8 }

Bu üç kümenin kesişim kümesi bu üç kümede de yer alan “4” elemanından oluşur.

P \(\cap\) R \(\cap\) S = { 4 }

BİRLEŞİM KÜMESİ

A ve B gibi iki kümenin bütün elemanlarından oluşan kümeye A ile B’nin birleşim kümesi denir ve A  \(\cup\) B biçiminde gösterilir.

A ve B kümelerinin birleşim kümesi, Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir.

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin birleşim kümelerini bulalım.

Birleşim kümesi yazılırken kümelerdeki bütün elemanlar sadece bir kez yazılır.

► A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 3, 4, 5, 6, 7 }

A \(\cup\) B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

► C = { a, b, c } ve D = { k, l, m }

C \(\cup\) D = { a, b, c, k, l, m }

► P = { 1, 2, 3, 4 }, R = { 4, 5, 6 } ve S = { 2, 4, 6, 8 }

P \(\cup\) R \(\cup\) S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 }

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim ve birleşim kümelerini bulalım.

P \(\cap\) R = { E, İ }

P \(\cup\) R = { C, L, E, İ, N, S, B }

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN: