BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Dik piramit
✓ Dik piramidin temel elemanları
✓ Dik piramidin açınımı

DİK PİRAMİT

Bir çokgensel bölgenin tüm noktalarının bulunduğu yüzey dışındaki bir nokta ile birleşimine piramit denir. Yüksekliği tabanın merkezinden geçen piramide ise dik piramit denir.

Piramitler tabanlarına göre isimlendirilir. Tabanı üçgen olan piramide üçgen piramit, tabanı dikdörtgen olan piramide dikdörtgen piramit, tabanı altıgen olan piramide altıgen piramit adı verilir.

PİRAMİDİN TEMEL ELEMANLARI

Piramidin temel elemanları; taban, yanal yüz, ayrıt, tepe noktası ve yüksekliktir.

► Dik piramitlerin tabanı piramide ismini veren çokgensel bölgedir.
► Dik piramitlerin yanal yüzleri ikizkenar üçgenlerden oluşur.
► Yüzeylerin kesiştikleri doğru parçaları piramidin ayrıtlarıdır.
► Yanal ayrıtların kesiştikleri nokta tepe noktasıdır.
► Ayrıtların kesiştikleri noktalar piramidin köşeleridir.
► Tepe noktasından tabana indirilen dikmeye piramidin yüksekliği denir ve “h” ile gösterilir.
► Dik piramitlerde piramidin yüksekliği taban merkezine iner.
► Tepe noktasından tabana kenarlarına çizilen dikmelere yan yüz yüksekliği denir.
► Bir dik piramitte farklı yüzlerdeki yan yüz yüksekliklerinin uzunlukları birbirinden farklı olabilir.

DİK PİRAMİDİN AÇINIMI

Dik piramidin açınımında; tabanı oluşturan çokgen, yanal yüzleri oluşturan ve tabanın kenar sayısı kadar ikizkenar üçgen yer alır.

Yan yüz yükseklikleri dik piramidin açınımında gösterilebilir. Ancak piramidin yüksekliği açınımda yer almaz.

Üçgen Dik Piramidin Açınımı

Üçgen dik piramidin açınımında taban üçgeni ve yanal yüzleri oluşturan 3 adet ikizkenar üçgen bulunur.

Kare Dik Piramidin Açınımı

Kare dik piramidin açınımında bir kare ve yanal yüzleri oluşturan 4 adet eş ikizkenar üçgen bulunur.

Dikdörtgen Dik Piramidin Açınımı

Dikdörtgen dik piramidin açınımında bir dikdörtgen ve yanal yüzleri oluşturan 4 adet ikizkenar üçgen bulunur. Bu üçgenler karşılıklı olarak birbirine eştir.

Altıgen Dik Piramidin Açınımı

Altıgen dik piramidin açınımında bir adet altıgen ve yanal yüzleri oluşturan 6 adet ikizkenar üçgen bulunur. Tabandaki altıgen düzgün altıgen ise yanal yüzleri oluşturan üçgenler birbirine eş olur.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Dik prizmalar
✓ Dik prizmaların temel elemanları
✓ Dik prizmaların açınımı

DİK PRİZMALAR

Alt ve üst tabanı birbirine eş ve paralel çokgensel bölge olan, yan yüzleri ise tabanlara dik dörtgensel bölge olan geometrik cisimlere dik prizma adı verilir.

Prizmalar tabanlarına göre isimlendirilir. Tabanları üçgen olan prizmaya üçgen prizma, tabanları dikdörtgen olan prizmaya dikdörtgenler prizması, tabanları altıgen olan prizmaya altıgen prizma adı verilir.

PRİZMANIN TEMEL ELEMANLARI

Prizmanın temel elemanları; taban, yanal yüz, ayrıt, köşe ve yüksekliktir.

► Dik prizmaların tabanları birbirine eş ve paraleldir.
► Dik prizmaların yanal yüzleri dikdörtgenlerden oluşur.
► Yüzeylerin kesiştikleri doğru parçaları prizmanın ayrıtlarıdır.
► Ayrıtların kesiştikleri noktalar prizmanın köşeleridir.
► Üst tabanın bir noktasından alt tabana indirilen dikmeye yükseklik denir ve “h” ile gösterilir.
► Dik prizmalarda yan ayrıtlar aynı zamanda yüksekliktir.

DİK PRİZMANIN AÇINIMI

Dik prizmaların açınımında; tabanları oluşturan 2 adet eş çokgen, yanal yüzleri oluşturan ve tabanın kenar sayısı kadar dikdörtgen yer alır.

Üçgen Dik Prizmanın Açınımı

Üçgen dik prizmanın açınımında 2 adet eş üçgen ve 3 adet dikdörtgen bulunur. Yanal yüzleri oluşturan dikdörtgenlerin birer kenarının uzunluğu prizmanın yüksekliğine eşittir. Bu dikdörtgenlerin diğer kenarlarının her birinin uzunluğu ise üçgenin bir kenar uzunluğuna eşittir.

Kare Dik Prizmanın Açınımı

Kare dik prizmanın açınımında 2 adet eş kare ve 4 adet eş dikdörtgen bulunur. Yanal yüzleri oluşturan eş dikdörtgenlerin bir kenar uzunluğu prizmanın yüksekliğine, diğer kenar uzunluğu karenin kenar uzunluğuna eşittir.

Dikdörtgen Dik Prizmanın Açınımı

Dikdörtgen dik prizmanın açınımında 6 adet dikdörtgen bulunur. Kapalı halde karşılıklı yüzlerde bulunan dikdörtgenler açınımda da birbirine eştir. Yanal yüzleri oluşturan dikdörtgenlerin bir kenar uzunluğu prizmanın yüksekliğine eşittir. Bu dikdörtgenlerin diğer kenarlarının her birinin uzunluğu ise tabanın bir kenar uzunluğuna eşittir.

Altıgen Dik Prizmanın Açınımı

Altıgen dik prizmanın açınımında 2 adet eş altıgen ve 6 adet dikdörtgen bulunur. Tabanlardaki altıgenler düzgün altıgen ise yanal yüzleri oluşturan dikdörtgenler birbirine eş olur. Dikdörtgenlerin bir kenar uzunluğu prizmanın yüksekliğine eşittir. Bu dikdörtgenlerin diğer kenarlarının her birinin uzunluğu ise tabanın bir kenar uzunluğuna eşittir.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Dik dairesel silindir
✓ Silindirin temel elemanları
✓ Silindirin açınımı

DİK DAİRESEL SİLİNDİR

Tabanları birbirine paralel eş dairelerden oluşan cisme silindir denir. Ekseni tabana dik olan silindire ise dik dairesel silindir denir.

SİLİNDİRİN TEMEL ELEMANLARI

Silindirin temel elemanları; tabanlar, yanal yüzey, ana doğrular, eksen, yarıçap ve yüksekliktir.

► Silindirde karşılıklı yer alan eş dairelere taban denir.
► Tabanların yarıçapları silindirin yarıçapıdır ve “r” ile gösterilir.
► Taban merkezlerini birleştiren doğru parçasına eksen denir.
► Üst tabanın bir noktasından alt tabana indirilen dikmeye yükseklik denir ve “h” ile gösterilir.
► Dik dairesel silindirin ekseni tabana dik olduğu için eksen aynı zamanda yüksekliktir.
► Tabanların karşılıklı iki noktasını bileştiren ve eksene paralel olan doğru parçalarına ana doğru denir.

Silindirin köşesi ve ayrıtı yoktur. 2 tabanı ve bir yanal yüzeyi vardır.

DİK DAİRESEL SİLİNDİRİN AÇINIMI

Silindirin açınımında; tabanları oluşturan 2 adet eş daire, yanal yüzeyi oluşturan 1 adet dikdörtgen yer alır.

Silindirin yanal yüzeyini oluşturan dikdörtgenin bir kenarının uzunluğu silindirin yüksekliği uzunluğunda, diğer bir kenarı ise silindirin tabanının çevresi uzunluğundadır.

ÖRNEK: Aşağıda yüksekliği 5 cm, taban yarıçapı 3 cm olan bir dik dairesel silindirin açınımı verilmiştir. (Örnekte π = 3 olarak alınmıştır.)

ÖRNEK: Bir A4 kağıdını (297 mm x 210 mm) uzun kenarları çakışacak şekilde rulo halinde katlanırsa taban yarıçapı kaç cm olur bulalım. ( π yerine 3 alınacaktır.)

A4 kağıdının uzun kenarları çakışacağı için silindirin yüksekliği 297 mm olacaktır. Kısa kenarı ise kıvrılıp tabandaki çemberin çevresine eşit olacaktır. Bu yüzden çemberin çevresini 210’a eşitleriz ve yarıçapını 35 mm olarak buluruz.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Farklı yönlerden görünümlerine ilişkin çizimleri verilen yapıları oluşturma

Farklı yönden görünümleri verilen bir yapıyı 3 boyutlu olarak oluşturabiliriz. Bunu yaparken verilen bir görünümden yola çıkarak ve denemeler yaparak sonuca ulaşabiliriz. Oluşturduğumuz yapının görünümlere uyup uymadığını kontrol etmeliyiz.

ÖRNEK: Aşağıda önden, sağdan ve üstten görünümleri verilen yapıyı oluşturalım.

Bu yapıyı oluştururken bir görünümü 3 boyutlu küpler halinde düşünüp diğer görünümlere de uyacak şekilde dizilim sağlamalıyız. Bunun için çeşitli denemeler yapıp uygun görüntüyü elde edebiliriz.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Üç boyutlu cisimlerin farklı yönlerden iki boyutlu görünümlerini çizme

Eş küplerle oluşturulan 3 boyutlu yapıların farklı yönlerden görünümlerini 2 boyutlu olarak çizebiliriz. Bunu yaparken verilen yapının istenilen yönden bakış açımıza göre dik yüzeyleri çizeriz. Karşılıklı yönlerden oluşan görüntüler eş ve simetrik olur.

ÖRNEK: Aşağıda verilen cismin önden, arkadan, sağdan, soldan, üstten ve alttan görünümünü çizelim.

Önden ve arkadan görünümler eş ve simetriktir.

Sağdan ve soldan görünümler eş ve simetriktir.

Alttan ve üstten görünümler eş ve simetriktir.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Alan ve çevre ilişkisi
✓ Aynı alana sahip dikdörtgenler
✓ Aynı çevreye sahip dikdörtgenler

Dikdörtgenin çevre uzunluğu ve alanı hesaplanırken kenar uzunlukları kullanılır. Bu yüzden çevresi ve alanı, kenar uzunluğu ile ilişkilidir. Bu konuda eşit alana sahip dikdörtgenlerde çevre, eşit çevreye sahip dikdörtgenlerde alan nasıl değişmektedir öğreneceğiz.

EŞİT ALANA SAHİP DİKDÖRTGENLER

Alanları birbirine eşit olan dikdörtgenlerden, kenar uzunlukları arasındaki fark küçük olanların çevre uzunlukları daha küçüktür.

ÖRNEK: Aşağıda verilen 3 dikdörtgeni inceleyelim.

Dikdörtgenleri incelediğimizde hepsinin alanının 12 br² olduğunu görürüz. Ancak çevre uzunlukları birbirlerinden farklıdır. Aynı alana sahip bu dikdörtgenlerden kenar uzunlukları arasındaki fark küçük olan (eflatun) en küçük çevre uzunluğuna sahip iken, kenar uzunlukları arasındaki fark büyük olan (mavi) en büyük çevre uzunluğuna sahiptir.

EŞİT ÇEVRE UZUNLUĞUNA SAHİP DİKDÖRTGENLER

Çevre uzunlukları birbirine eşit olan dikdörtgenlerden, kenar uzunlukları arasındaki fark küçük olanların alanı daha büyüktür.

ÖRNEK: Aşağıda verilen 4 dikdörtgeni inceleyelim.

Dikdörtgenleri incelediğimizde hepsinin çevresinin 16 br olduğunu görürüz. Ancak alanları birbirlerinden farklıdır. Aynı çevre uzunluğuna sahip bu dikdörtgenlerden kenar uzunlukları arasındaki fark küçük olan (gri) en büyük alana sahip iken, kenar uzunlukları arasındaki fark büyük olan (mavi) en küçük alana sahiptir.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Yamuğun alanı nasıl bulunur?
✓ Yamuğun alan formülü
✓ Dik yamuğun alanı

YAMUĞUN ALANI

Yamuğun alanı, taban kenarlarının uzunlukları toplamı ile yükseklik uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir.

Yamuğun Alan Formülü İspatı

Yamuğun bir köşegeni çizilirse iki tane üçgen oluşur. Bu iki üçgenin alanları ayrı ayrı bulunup toplanarak da yamuğun alanı hesaplanabilir.

Örneğin yukarıdaki yamukta [DB] köşegeni çizilince tabanı a olan ve yüksekliği h olan bir üçgen ve tabanı c olan ve yüksekliği h olan ikinci bir üçgen elde edilir.

İlk üçgenin alanı \(\frac{a.h}{2}\), ikinci üçgenin alanı \(\frac{c.h}{2}\) olur.

Bu alanları toplarsak \(\frac{a.h}{2} + \frac{c.h}{2} = \frac{a.h + c.h}{2} = \frac{(a+c).h}{2}\) elde ederiz.

ÖRNEK: Aşağıda taban kenar uzunlukları ve yüksekliği verilen yamuğun alanını bulalım.

Yamuğun alanını bulmak için alt taban uzunluğu ile üst taban uzunluğunu toplar, yükseklikle çarpar ve 2’ye böleriz.

\(\frac{(6+14).8}{2}\) = \(\frac{20.8}{2}\) = 80 cm²

ÖRNEK: Aşağıda noktalı kağıt üzerinde verilen yamuğun alanını bulalım.

Verilen yamuğun;
alt tabanı 6 birim,
üst tabanı 3 birim,
yüksekliği 3 birimdir.

Yamuğun alanını formülle şu şekilde buluruz:

\(\frac{(6+3).3}{2}\) = \(\frac{9.3}{2}\) = 13,5 br²

ÖRNEK: Aşağıda taban kenar uzunlukları ve yüksekliği verilen yamuğun alanını bulalım.

Dik yamuğun tabanlara dik olan kenarı aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir.

\(\frac{(7+9).6}{2}\) = \(\frac{16.6}{2}\) = 48 cm²

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN: