ÜÇGEN NEDİR?

Düzlemde doğrusal olmayan üç noktanın ikişer ikişer birleştirilmesi ile elde edilen geometrik şekle üçgen denir.

[AB] \(\cup\) [BC] \(\cup\) [AC] = ABC üçgeni

Üçgenin Temel Elemanları

Üçgenin temel elemanları köşeleri, kenarları ve açılarıdır.

• A, B, C noktaları üçgenin köşeleridir.
• [AB], [BC] ve [AC] üçgenin kenarlarıdır.
• a, b, c üçgenin iç açılarıdır.
• x, y, z üçgenin dış açılarıdır.

Açıortay, kenarortay, yükseklik ve kenar orta dikme üçgenin yardımcı elemanlarıdır.

ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ

Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180° dir.

Şekildeki üçgende iç açılar toplamı a + b + c = 180° dir.

► Bu ifadenin doğruluğunu göstermek için A köşesinden [BC] kenarına paralel çizilir. a açısına komşu olan açılar, iç ters açılardan dolayı, b ve c’dir. Bu şekilde a, b ve c doğru açı oluşturur ve toplamları 180 derece olur.

Bir üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.

Şekildeki üçgende dış açılar toplamı x + y + z = 360° dir.

► Bu ifadenin doğruluğu şu şekilde gösterilebilir:
a + x = 180° (Doğru açı)
b + y = 180° (Doğru açı)
c + z = 180° (Doğru açı)
x + y + z + a + b + c = 540° (Eşitlikler taraf tarafa toplanır.)
x + y + z + 180° = 540° (Üçgenin iç açıları toplamı a + b + c yerine 180° yazılır.)
x + y + z = 360° bulunur.

Bir üçgende bir dış açının ölçüsü kendine komşu olmayan iki iç açının ölçülerinin toplamına eşittir.

Şekildeki üçgende C köşesindeki dış açı diğer iki köşedeki a ve b açılarının toplamına eşittir.

► Bu ifadenin doğruluğunu göstermek için C köşesinden [AB] kenarına paralel çizilir. c açısına komşu olan açı iç ters açılardan dolayı a’ya eşittir. C köşesindeki diğer açı yöndeş açılardan dolayı b’ye eşittir. Bu şekilde C köşesindeki dış açının a+b’ye eşit olduğu görülür.

► Bu ifadenin doğruluğu cebirsel olarak da gösterilebilir. C köşesindeki dış açı x olsun.
c + x = 180° ifadesinde x yalnız bırakılır:
x = 180° − c olur.
Üçgenin iç açıları toplamı a+b+c = 180° olduğu için yukarıdaki ifadede 180° yerine a+b+c yazılabilir.
x = a + b + c − c
x = a + b olarak bulunur.

AÇILARINA GÖRE ÜÇGENLER

Dar Açılı Üçgen

Tüm açıları dar açı olan üçgenlere dar açılı üçgen denir.

Şekildeki DAR üçgeni dar açılı üçgendir.

Dik Açılı Üçgen

Bir açısı dik açı olan üçgenlere dik açılı üçgen denir.

Şekildeki DİK üçgeni dik açılı üçgendir.

Geniş Açılı Üçgen

Bir açısı geniş açı olan üçgenlere geniş açılı üçgen denir.

Şekildeki GNŞ üçgeni geniş açılı üçgendir.

KENARLARINA GÖRE ÜÇGENLER

Çeşitkenar Üçgen

Tüm kenar uzunlukları birbirinden farklı olan üçgenlere çeşitkenar üçgen denir.

Çeşitkenar üçgenin açılarının ölçüleri de birbirinden farklıdır.

İkizkenar Üçgen

İki kenar uzunluğu eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir.

İkizkenar üçgende eşit uzunluktaki kenarların birleştiği köşedeki açıya (A) tepe açısı, diğer iki açıya (B ve C) taban açıları denir. Taban açılarının ölçüleri birbirine eşittir.

Eşkenar Üçgen

Tüm kenar uzunlukları eşit olan üçgenlere eşkenar üçgen denir.

Eşkenar üçgende tüm açıların ölçüleri birbirine eşittir ve 60° dir.

Şekildeki d₁ doğrusu ile d₂ doğrusu birbirine paraleldir (d₁ // d₂) ve d₃ doğrusu bu doğruların kesenidir.

PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİR KESENLE YAPTIĞI AÇILAR

Yöndeş Açılar

Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılardan aynı yöne bakan açılara yöndeş açılar denir ve ölçüleri birbirine eşittir.

a ile k,
b ile l,
c ile m,
d ile n açıları yöndeş açılardır ve ölçüleri eşittir.

Ters Açılar

İki doğrunun kesişmesiyle oluşan açılardan komşu olmayanlara ters açılar denir ve ölçüleri birbirine eşittir.

a ile c,
b ile d,
k ile m,
l ile n açıları ters açılardır ve ölçüleri eşittir.

İç Ters Açılar

İç bölgede olup zıt yöne bakan açılara iç ters açılar denir ve ölçüleri birbirine eşittir.

c ile k,
d ile l açıları iç ters açılardır ve ölçüleri eşittir.

Dış Ters Açılar

Dış bölgede olup zıt yöne bakan açılara dış ters açılar denir ve ölçüleri birbirine eşittir.

m ile a,
n ile b açıları dış ters açılardır ve ölçüleri eşittir.

Karşı Durumlu Açılar

Paralel iki doğru arasında kalan ve birbirine bakan açılara karşı durumlu açılar denir. Karşı durumlu açılar bütünlerdir, ölçüleri toplamı 180 derecedir.

c ile l,
d ile k açıları karşı durumlu açılardır ve ölçüleri toplamı 180 derecedir.

ÖRNEK: Aşağıdaki şekilde d₁ // d₂ olduğuna göre x ve y kaçtır bulalım.

Ölçüleri 2x + 15° ile 3x − 10° olan açılar iç ters açılardır ve ölçüleri birbirine eşittir.

2x + 15° = 3x − 10°
x = 25°

Ölçüleri 2y + 10° ile y + 20° olan açılar karşı durumlu açılardır ve bütünlerdir.

(2y + 10°) + (y + 20°) = 180°
3y + 30° = 180°
y = 50°

ÇIKAN SONUÇLAR

Z Kuralı

İç ters açıları Z harfine benzetmek, şekilde iç ters açıları görmekte kolaylık sağlar. Burada Z harfinin köşelerindeki açıların ölçüleri birbirine eşittir.

U Kuralı

Karşı durumlu açıları yan yatmış bir U harfine benzetmek, şekilde karşı durumlu açıları görmekte kolaylık sağlar. Burada U harfinin köşelerindeki açıların ölçüleri toplamı 180 derecedir.

M Kuralı

İki iç ters açının birleşiminden ortaya çıkan ve yan yatmış bir M harfine benzeyen bu şekilde M harfinin kolları içinde kalan açıların ölçüleri toplamı, harfin üstünde kalan açının ölçüsüne eşittir.

(c açısının olduğu kırılma noktasından d₁ ve d₂ doğrusuna paralel çizilirse iki iç ters açı da görülebilir.)

Kalem Ucu Kuralı

İki çift karşı durumlu açının birleşiminden ortaya çıkan ve kalem ucuna benzeyen bu şekilde oluşan üç açının ölçüleri toplamı 360 derecedir.

(b açısının olduğu kırılma noktasından d₁ ve d₂ doğrusuna paralel çizilirse iki karşı durumlu açı çifti de görülebilir.)

Zik-Zak Kuralı

İkiden fazla iç ters açının birleşiminden ortaya çıkan ve Zikzak şeklinde olan (bazıları testere ucuna da benzetebilir) bu şekilde sağa bakan açıların ölçüleri toplamı, sola bakan açıların ölçüleri toplamına eşittir. Zikzakta kaç tane kırılma noktası olduğunun önemi yoktur, yani daha fazla kırılma noktası olan şekillerde de bu yöntem kullanılabilir.

(Tüm kırılma noktalarından d₁ ve d₂ doğrusuna paralel çizilirse bu eşitliğin sağlandığı görülebilir.)

AÇI NEDİR?

Başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşim kümesine açı denir.

Işınların ortak noktasına açının köşesi, ışınlara ise açının kolları veya açının kenarları denir.

Örneğin şekildeki açı O açısı, AOB açısı veya BOA açısı olarak isimlendirilir.

Sembolle \(\mathrm A\widehat{\mathrm O}\mathrm B\), \(\mathrm B\widehat{\mathrm O}\mathrm A\), veya \(\widehat{\mathrm O}\) şeklinde gösterilir.

Bu açının köşesi O noktasıdır ve açının kolları [OA ve [OB ışınlarıdır.

Açının Ölçüsü

Tam bir çember 360 eş parçaya bölündüğünde bu parçalardan birini gören merkez açının (köşesi çemberin merkezinde yer alan açı) ölçüsü 1 derecedir ve sembolle 1° şeklinde gösterilir.

Şekilde AOB açısının ölçüsü 35 derecedir. Sembolle \(\mathrm m(A\widehat{\mathrm B}\mathrm C)\) = 35°

AÇI ÇEŞİTLERİ

Dar Açı

Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açıya dar açı denir.

ÖRNEK: Ölçüsü 2x − 10° olan bir açı dar açı ise x’in değer aralığını bulalım.

0° < 2x − 10° < 90°
10° < 2x < 80°
5° < x < 40°

Dik Açı

Ölçüsü 90° olan açıya dik açı denir.

ÖRNEK: Ölçüsü 4x + 40° olan bir açı dik açı ise x’in değerini bulalım.

4x + 40° = 90°
4x = 50°
x = 12,5°

Geniş Açı

Ölçüsü 90° ile 180° arasında olan açıya geniş açı denir.

ÖRNEK: Ölçüsü 8x + 10° olan bir açı geniş açı ise x’in alabileceği en büyük tam sayı değerini bulalım.

90° < 8x + 10° < 180°
80° < 8x < 170°
10° < x < 21,25°
x’in alabileceği en büyük tam sayı değeri 21’dir.

Doğru Açı

Ölçüsü 180° olan açıya doğru açı denir.

Tam Açı

Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir.

KOMŞU, TÜMLER, BÜTÜNLER ve TERS AÇILAR

Komşu Açılar

Birer kolu ortak olan açılara komşu açılar denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki AOB açısı ile BOC açısının [OC kenarı ortak olduğu için bu iki açı komşudur.

Tümler Açılar

Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar denir.

ÖRNEK: Ölçüsü 40° olan bir açıyla ölçüsü 50° olan bir açı birbirinin tümleridir.

Komşu olan tümler açılara komşu tümler açılar denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki AOB açısı ile BOC açısı hem komşu hem de tümler oldukları için bu iki açı komşu tümler açıdır.

ÖRNEK: Tümleri kendisinin 4 katı olan açı kaç derecedir bulalım.

Açıya x denirse tümleri 4x olur.
x + 4x = 90°
5x = 90°
x = 18°

Bütünler Açılar

Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir.

ÖRNEK: Ölçüsü 105° olan bir açıyla ölçüsü 75° olan bir açı birbirinin bütünleridir.

Komşu olan bütünler açılara komşu bütünler açılar denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki AOB açısı ile BOC açısı hem komşu hem de bütünler oldukları için bu iki açı komşu bütünler açıdır.

ÖRNEK: Bütünleri tümlerinin 3 katından 50° az olan açı kaç derecedir bulalım.

Açıya x denirse tümleri 90° − x, bütünleri 180° − x olur.
180° − x = 3.(90° − x) − 50°
180° − x = 270° − 3x − 50°
2x = 40°
x = 20°

Ters Açılar

İki doğrunun kesişmesiyle oluşan açılardan komşu olmayanlara ters açılar denir ve ölçüleri birbirine eşittir.

ÖRNEK: Aşağıdaki AOC açısı ile DOB açısı, AOD açısı ile COB açısı ters açılardır.

EŞ AÇILAR VE AÇIORTAY

Eş Açılar

Ölçüleri birbirine eşit olan açılara eş açılar denir. Bir A açısı ile B açısı eş ise bu durum sembolle \(\widehat{\mathrm A}\cong\widehat{\mathrm B}\) şeklinde gösterilir.

ÖRNEK: Aşağıdaki AOC açısı ile DOB açısı ters açılar ise x kaç derecedir bulalım.

Ters açıların ölçüleri birbirine eşit olduğu için AOC açısı ile DOB açısı eş açılardır.

2x − 4° = x + 32°
x = 36°

Açıortay

Bir açıyı iki eş açıya bölen ışına açıortay denir. Şekilde [OC, AOB açısını iki eş açıya böldüğünden açıortaydır.

ÜSLÜ İFADE NEDİR?

a \(\in\) R ve n \(\in\) Z⁺ olmak üzere aⁿ ifadesine üslü ifade denir. aⁿ ifadesinde a’ya taban, n’ye üs veya kuvvet adı verilir.

aⁿ = a.a.a…a (n tane)

ÖRNEK:

► 4³ = 4 . 4 . 4 = 64

► (−2)³ = (−2) . (−2) . (−2) = −8

► (\(\frac{1}{5}\))² = \(\frac{1}{5}\) . \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{1}{25}\)

ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ

x, y \(\in\) R ve m, n \(\in\) Z⁺ olmak üzere

1. Kuvvet

Tüm gerçek sayıların birinci kuvveti kendisidir.

x¹ = x olur.

ÖRNEK:

► 7¹ = 7

► 0¹ = 0

► (−5)¹ = −5

► (\(\frac{1}{2}\))¹ = \(\frac{1}{2}\)

0. Kuvvet

Sıfır hariç her sayının 0. kuvveti 1’dir.

x \(\neq\) 0 için x⁰ = 1 olur.

ÖRNEK:

► 5⁰ = 1

► (−7)⁰ = 1

► (\(\frac{5}{7}\))⁰ = 1

Negatif Kuvvet

Negatif kuvvette taban ters çevrilir.

x, y \(\neq\) 0 için x⁻ⁿ = \(\frac{1}{x^n}\) ve \((\frac{x}{y})^{-n}\) = \((\frac{y}{x})^n\) olur.

ÖRNEK:

► 5⁻² = \(\frac{1}{5^2}\) = \(\frac{1}{25}\)

► (−2)⁻⁶ = \(\frac{1}{(-2)^6}\) = \(\frac{1}{64}\)

► \((\frac{2}{3})^{-3}\) = \((\frac{3}{2})^{3}\) = \(\frac{27}{8}\)

Üslü Sayının Üssü

Üslü sayıların üssü alınırken üsler çarpılır.

(x^m)ⁿ = x^m.n

ÖRNEK:

► (2⁴)³ = 2^4.3 = 2¹²

► ((−8)⁻³)⁻² = (−8)^{(−3).(−2)} = (−8)⁶

Diğer Bazı Özellikler

• Pozitif gerçek sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.
• Negatif gerçek sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.
• 1’in tüm gerçek sayı kuvvetleri 1’dir.
• −1’in tek kuvvetleri −1, çift kuvvetleri +1’dir.
• 0’ın negatif kuvvetleri tanımsızdır.

ÜSLÜ SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMİ

Tabanları Aynı Olan Üslü İfadelerin Çarpımı

Tabanları aynı olan iki üslü sayının çarpımında üsler toplanır.

x^m . xⁿ = x^m+n

ÖRNEK:

► 5² . 5⁷ = 5²⁺⁷ = 5⁹

► (−4)⁻³ . (−4)⁵= (−4)⁻³⁺⁵ = (−4)²

Üsleri Aynı Olan Üslü İfadelerin Çarpımı

Üsleri aynı olan üslü sayıların çarpımında tabanlar çarpılır.

xⁿ . yⁿ = (x.y)ⁿ

ÖRNEK:

► 5⁹ . 2⁹ = (5.2)⁹ = 10⁹

► (−2)⁵ . (−3)⁵ . 8⁵= 48⁵

Tabanları Aynı Olan Üslü İfadelerin Bölümü

Tabanları aynı olan iki üslü sayının bölümünde bölünenin üssünden bölenin üssü çıkarılır.

x \(\neq\) 0 için x^m : xⁿ = x^m−n olur.

ÖRNEK:

► 6¹² : 6¹⁷ = 6¹²⁻¹⁷ = 6⁻⁵

► \(\frac{2^5}{2^{-2}}\) = 2⁵⁻⁽⁻²⁾ = 2⁷

Üsleri Aynı Olan Üslü İfadelerin Bölümü

Üsleri aynı olan üslü sayıların bölümünde tabanlar bölünür.

y \(\neq\) 0 için xⁿ : yⁿ = (\(\frac{x}{y}\))ⁿ olur.

ÖRNEK:

► 15⁴⁵ : 3⁴⁵ = (\(\frac{15}{3}\))⁴⁵ = 5⁴⁵

► \(\frac{7^9}{14^9}\) = \((\frac{7}{14})^9\) = \((\frac{1}{2})^9\)

ÜSLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ

Taban ve Üsleri Aynı Olan Üslü İfadelerle Toplama ve Çıkarma

Hem tabanları hem de üsleri aynı olan üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi katsayılar arasında yapılır.

a . xⁿ + b . xⁿ − c . xⁿ = (a+b−c) . xⁿ

ÖRNEK:

► 5 . 2⁷ + 8 . 2⁷ = 2⁷ . (5 + 8) = 13 . 2⁷

► 4 . 9⁶ − 15 . 9⁶ = 9⁶ . ( 4 − 15) = −11 . 9⁶

Tabanları Aynı ve Üsleri Farklı Olan Üslü İfadelerle Toplama ve Çıkarma

Tabanları aynı, üsleri farklı olan üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapılırken üsler eşitlenir ve daha sonra katsayılar arasında işlem yapılır.

ÖRNEK: 3¹⁴ + 3¹³ − 3¹² işleminin sonucunu bulalım.

Üsler, en düşük olan üsse göre eşitlenebilir. 3¹⁴ = 3² . 3¹² ve 3¹³ = 3 . 3¹² olduğu için bu sayılar yerine özdeşleri yazılır. Buna göre;

= 3¹⁴ + 3¹³ − 3¹²

= 3² . 3¹² + 3 . 3¹² − 3¹²

= 9 . 3¹² + 3 . 3¹² − 1 . 3¹²

= (9+3−1) . 3¹² = 11 . 3¹² olarak sonuç bulunur.

ÜSLÜ DENKLEMLER

İçinde üslü ifade bulunduran denklemlere üslü denklem adı verilir.

Eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar −1, 0 ya da 1’den farklı ve üsler de 0’dan farklı gerçek sayı olmak şartıyla; tabanlar eşitse üsler de eşittir.

a \(\in\) R − {−1, 0, 1} ve x, y \(\in\) R − {0} olmak üzere a^x = a^y ise x = y dir.

ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.

►  3^x = 81

3^x = 3⁴ olduğu için x = 4

►  2^x+1 = 64

2^x+1 = 2⁶ olduğu için x = 5

►  5^x−3 = 25^2x

5^x−3 = (5²)^2x

5^x−3 = 5^4x

x−3 = 4x olduğu için x = −1

Eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar −1, 0 ya da 1’den farklı gerçek sayı ve üsler de tam sayı olmak şartıyla; üsler eşit ve tek sayı ise tabanlar eşittir.

a, b \(\in\) R − {−1, 0, 1}, n \(\in\) Z − {0} ve n tek sayı olmak üzere aⁿ = bⁿ ise a = b dir.

ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.

►  64 = x³

4³ = x³ olduğu için x = 4

►  x⁷ = −128

x⁷ = (−2)⁷ olduğu için x = −2

►  (x+3)²¹ = 8⁷

(x+3)²¹ = (2³)⁷

(x+3)²¹ = 2²¹

x+3 = 2 olduğu için x = −1

Eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar −1, 0 ya da 1’den farklı gerçek sayı ve üsler de 0’dan farklı tam sayı olmak şartıyla; üsler eşit ve çift sayı ise tabanların mutlak değeri eşittir.

a, b \(\in\) R − {−1, 0, 1}, n \(\in\) Z − {0} ve n çift sayı olmak üzere aⁿ = bⁿ ise | a | = | b | dir.

ÖRNEK: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulalım.

►  x⁴ = 16

x⁴ = 2⁴ olduğu için | x | = | 2 | olur.

| x | = 2 olduğu için de x = 2 ya da x = −2’dir.

►  (x+1)¹² = 8⁴

(x+1)¹² = (2³)⁴

(x+1)¹² = 2¹²

| x+1 | = | 2 | olduğu için x+1 = 2 ya da x+1 = −2’dir. Buradan da x = 1 ve x = −3 bulunur.

Bir üslü ifade 1’e eşit ise tabanı 1 olabilir, tabanı −1 ve üstü çift sayı olabilir ya da tabanı 0’dan farklı ve üssü 0 olabilir.
xⁿ = 1 eşitliği şu durumlarda sağlanır:
►  x \(\neq\) 0 ve n = 0 tir.
►  x = 1 tir.
►  x = −1 ve n çift sayıdır.

ÖRNEK: (x−3)^{x + 1} = 1 denklemini sağlayan x değerlerini bulalım.

►  1. DURUM: Üs sıfır olabilir, üssü sıfır yapan değerin tabanı sıfır yapmaması gerekir.

x + 1 = 0 eşitliğinden x = −1 bulunur. Bu değer tabanı sıfır yapmayacağı için denklemi sağlar.

►  2. DURUM: Taban 1 olabilir.

x−3 = 1 eşitliğinden x = 4 bulunur.

►  3. DURUM: Taban −1 olabilir, tabanı −1 yapan değerin üssü çift sayı yapması gerekir.

x−3 = −1 eşitliğinden x = 2 bulunur. Bu değer üssü çift sayı yapmadığında denklemi sağlamaz.

x’in alabileceği değerler −1 ve 4’tür.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

OLASILIK KAVRAMLARI

Deney

Bir olayın sonucunun ne olacağını görmek için yapılan işleme deney denir.

Bir madeni paranın yazı mı tura mı geleceğini belirlemek için havaya atılması, üstünde farklı rakamların yazılı olduğu topların bulunduğu torbadan bir topun çekilmesi deneydir.

Çıktı

Bir deney sonucunda elde edilebilecek durumların her birine çıktı denir.

Bir madeni paranın havaya atılması deneyinde çıktılar yazı ve turadır. Bir zar atma deneyinde ise 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 rakamlarının her biri çıktıdır.

Örnek Uzay

Bir deney sonucunda elde edilen bütün çıktıların kümesine örnek uzay denir ve bu küme E harfiyle isimlendirilir.

Bir madeni paranın havaya atılması deneyinde örnek uzay E = {yazı, tura}, bir zar atma deneyinde ise örnek uzay E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur.

Olay

Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir.

Bir zar atma deneyinde zarın üst yüzüne;
asal sayı gelmesi olayı A = {2, 3, 5},
çift sayı gelme olayı Ç = {2, 4, 6},
4’ten büyük sayı gelme olayı D = {5, 6} şeklinde yazılabilir.

Bir Olayın Tümleyeni

Bir örnek uzayda, A olayının çıktılarının dışındaki elemanları içeren olaya A olayının tümleyeni denir ve A’ ile gösterilir.

Bir zar atma deneyinde zarın üst yüzüne asal sayı gelmesi olayı A = {2, 3, 5} ise asal gelmemesi olayı A’ = {1, 4, 6} olur.

ÖRNEK: İçinde haftanın günlerinin yazılı olduğu eş toplar bulunan bir torbadan rastgele bir top seçiliyor. Çıkan topta hafta sonuna ait bir gün yazması olayını ve bu olayın tümleyenini inceleyelim.

Deney: Bu torbadan rastgele bir top seçmek

Örnek Uzay: E = {Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe, Cuma, Cumartesi, Pazar}

Olay: Çıkan topta hafta sonu günü yazması A = {Cumartesi, Pazar}

Olayın Tümleyeni: A’ = {Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe, Cuma}

s(E) = 7 , s(A) = 2 , s(A’) = 5

NOT: Bir olayın eleman sayısı ile tümleyeninin eleman sayısının toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir.

s(A) + s(A’) = s(E)

ÖRNEK: Bir madeni paranın bir kez, iki kez ve üç kez havaya atılması deneylerine ait örnek uzayı ve eleman sayısını yazalım.

1 kere atışta örnek uzayın eleman sayısı s(E) = 2
2 kere atışta örnek uzayın eleman sayısı s(E) = 4
3 kere atışta örnek uzayın eleman sayısı s(E) = 8

NOT: Bir madeni paranın n defa atılması deneyi ile n tane madeni paranın birlikte atılması deneyinin örnek uzayı aynıdır ve 2ⁿ elemanlıdır.

ÖRNEK: Bir çift zarın birlikte atılması deneyine ait örnek uzayı ve eleman sayısını yazalım.

Bir zarın çıktılarını sütun başlarına, diğer zatın çıktılarını satır başlarına yazıp örnek uzayı oluşturabiliriz. Örnek uzayımızın eleman sayısı s(E) = 6² = 36 olur.

NOT: Bir zarın n defa atılması deneyi ile n tane zarın birlikte atılması deneyinin örnek uzayı aynıdır ve 6ⁿ elemanlıdır.

Ayrık Olay

Bir örnek uzaydaki iki olayın ortak elemanı yok ise bu olaylara ayrık olaylar denir.

A ve B ayrık iki olay ise A \(\cap\) B = \(\varnothing\) olur.

Bir zar atma deneyinde zarın üst yüzüne tek sayı gelmesi olayı ile çift sayı gelmesi olayı ayrık olaylardır.

Tek gelmesi olayı T = {1, 3, 5}, çift gelmesi olayı Ç = {2, 4, 6} olur ve bu iki olayın kesişimi boş kümedir.

T \(\cap\) Ç = \(\varnothing\)

Ayrık Olmayan Olay

Bir örnek uzaydaki iki olayın ortak elemanı var ise bu olaylara ayrık olmayan olaylar denir.

A ve B ayrık olmayan iki olay ise A \(\cap\) B \(\neq\) \(\varnothing\) olur.

Bir zar atma deneyinde zarın üst yüzüne tek sayı gelmesi olayı ile asal sayı gelmesi olayı ayrık olmayan olaylardır.

Tek gelmesi olayı T = {1, 3, 5}, asal sayı gelmesi olayı A = {2, 3, 5} olur ve bu iki olayın ortak elemanı vardır.

T \(\cap\) A = {3, 5}

OLASILIK HESAPLAMA

Bir A olayının olma olasılığı, olayın eleman sayısının örnek uzayın eleman sayısına bölümüdür ve P(A) ile gösterilir.

\(P(A) = \frac{İstenilen\;durumların\;sayısı}{Tüm\;durumların\;sayısı} = \frac{s(A)}{s(E)}\)

ÖRNEK: Aşağıdaki olayların olma olasılıklarını bulalım.

► Bir zar atıldığında üst yüze tek sayı gelmesi olayı A = {1, 3, 5} olur ve bu olayın gerçekleşme olasılığı:

P(A) = \(\frac{s(A)}{s(E)}\) = \(\frac36\) olur.

► Bir zar atıldığında üst yüze 4 gelmesi olayı B = {4} olur ve bu olayın gerçekleşme olasılığı:

P(B) = \(\frac{s(B)}{s(E)}\) = \(\frac16\) olur.

► Bir zar atıldığında üst yüze rakam gelmesi olayı C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur ve bu olayın gerçekleşme olasılığı:

P(C) = \(\frac{s(C)}{s(E)}\) = \(\frac66\) = 1 olur.

► Bir zar atıldığında üst yüze 12 gelmesi olayı D = {} olur ve bu olayın gerçekleşme olasılığı:

P(D) = \(\frac{s(D)}{s(E)}\) = \(\frac06\) = 0 olur.

Kesin Olay

Olasılığı 1 olan olaylara kesin olay denir.

Alfabemizdeki sesli harflerin yazılı olduğu eş topların bulunduğu bir torbadan rastgele bir top seçilsin. Seçilen toptaki harfin alfabemizde bulunması kesin olaydır.

İmkansız Olay

Olasılığı 0 olan olaylara imkansız olay denir.

Hilesiz standart bir zar atıldığında üst yüzüne iki basamaklı sayı gelmesi imkansız olaydır.

NOT: Bir A olayının olma olasılığı en az 0, en çok 1 olur.

0 ≤ P(A) ≤ 1

ÖRNEK: İçinde renkleri dışında özdeş 4 kırmızı, 3 mavi ve 2 yeşil top bulunan bir torbadan rastgele bir top seçilecektir. Buna göre aşağıdaki olayların olma olasılıklarını bulalım.

► Çekilen topun kırmızı olma olasılığı:

P(K) = \(\frac{s(K)}{s(E)}\) = \(\frac49\) olur.

► Çekilen topun yeşil olma olasılığı:

P(Y) = \(\frac{s(Y)}{s(E)}\) = \(\frac29\) olur.

► Çekilen topun yeşil olmama olasılığı:

P(Y’) = \(\frac{s(Y’)}{s(E)}\) = \(\frac79\) olur.

NOT: Bir A olayının olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1’dir.

P(A) + P(A’) = 1

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Silindirin hacmi
✓ Silindirin hacim formülü

Silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.

Silindirin Hacmi = Taban Alanı . Yükseklik

Silindirin hacmi bulunurken aynı prizmalarda olduğu gibi taban alanı ile yükseklik uzunluğu çarpılır.

Silindirin Hacim Formülü

Dik dairesel silindirin tabanı daire şeklindedir. Bu yüzden hacim formülünde taban alanı yerine dairenin alanını veren ifade (πr²) yazılabilir.

Silindirin Hacmi = Taban Alanı . Yükseklik
Dik Dairesel Silindirin Hacmi = π r² h

ÖRNEK: Yarıçapı 4 cm, yüksekliği 6 cm olan dik dairesel silindirin hacmini bulalım. (π yerine 3 alınacak)

Silindirin Hacmi = π r² h = 3 . 4² . 6 = 288 cm³

ÖRNEK: Çapı ve yüksekliği 10 cm olan dik dairesel silindirin hacmini bulalım.

Soruda çapı 10 cm verildiği için yarıçap r = 5 cm olur. Ayrıca soruda π yerine kullanılacak bir değer verilmediği için formülde π olarak bırakacağız.

Silindirin Hacmi = π r² h = π . 5² . 10 = 250π cm³

ÖRNEK: Yarıçapı 7 cm, yüksekliği 4 cm olan dik dairesel silindirin hacmini bulalım. (π yerine \(\frac{22}{7}\) alınacak)

Silindirin Hacmi = π r² h = \(\frac{22}{7}\) . 7² . 4 = 616 cm³

ÖRNEK: Hacmi 1500 cm³ olan dik dairesel silindirin yüksekliği 5 cm ise yarıçapını bulalım. (π yerine 3 alınacak)

π r² h = Silindirin Hacmi
3 . r². 5 = 1500
15 r² = 1500
r² = 100
r = 10 cm

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Silindirin taban alanı
✓ Silindirin yanal yüzey alanı
✓ Silindirin yüzey alanı

Dik dairesel silindirin yüzey alanı, taban alanları ile yanal yüzeyin alanının toplamına eşittir.

Silindirin Yüzey Alanı = 2 . Taban Alanı + Yanal Yüzey Alanı

Silindirin açınımında 2 tane daire ve 1 tane dikdörtgen olduğunu biliyoruz. O zaman silindirin yüzey alanını bulurken bu bölgelerin alanlarını bulup toplarız.

Silindirin Yüzey Alanı Formülü

Silindirin Taban Alanı = π r²
Silindirin Yanal Yüzey Alanı = 2 π r h

Silindirin Yüzey Alanı = ( 2 . Taban Alanı ) + ( Yanal Yüzey Alanı )
Silindirin Yüzey Alanı = 2 π r² + 2 π r h

ÖRNEK: Yarıçapı 4 cm, yüksekliği 10 cm olan dik dairesel silindirin yüzey alanını bulalım. (π yerine 3 alınacak)

Silindirin Taban Alanı = 3.4² = 3.16 = 48 cm²

Silindirin Yanal Alanı = 2.3.4.10 = 240 cm²

Silindirin Yüzey Alanı = ( 2.Taban Alanı ) + ( Yanal Yüzey Alanı )

Silindirin Yüzey Alanı = ( 2.48 ) + ( 240 ) = 336 cm²

ÖRNEK: Çapı ve yüksekliği 10 cm olan dik dairesel silindirin yüzey alanını bulalım.

Soruda çapı 10 cm verildiği için yarıçap r = 5 cm olur. Ayrıca soruda π yerine kullanılacak bir değer verilmediği için formülde π olarak bırakacağız.

Silindirin Yüzey Alanı = 2 π r² + 2 π r h

= 2.π.5² + 2.π.5.10

= 50π + 100π = 150π cm²

ÖRNEK: Yarıçapı 7 cm, yüksekliği 1 cm olan dik dairesel silindirin yüzey alanını bulalım. (π yerine \(\frac{22}{7}\) alınacak)

Silindirin Yüzey Alanı = 2 π r² + 2 π r h

= 2.\(\frac{22}{7}\).7² + 2.\(\frac{22}{7}\).7.1 = 352 cm²

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Dik dairesel koni
✓ Koninin temel elemanları
✓ Koninin açınımı

DİK DAİRESEL KONİ

Bir dairenin bütün noktalarının daire düzlemi dışındaki bir nokta ile birleşimine koni denir. Yüksekliği tabanın merkezinden geçen koniye ise dik koni denir.

KONİNİN TEMEL ELEMANLARI

Koninin temel elemanları; taban, yanal yüzey, tepe noktası, ana doğrular, eksen, yarıçap ve yüksekliktir.

► Konide yer alan daireye taban denir.
► Tabanın yarıçapı koninin yarıçapıdır ve “r” ile gösterilir.
► Koniyi oluşturmak için taban dışında alınan noktaya tepe noktası denir.
► Tepe noktası ile taban merkezini birleştiren doğru parçasına eksen denir.
► Tepe noktasından tabana indirilen dikmeye yükseklik denir ve “h” ile gösterilir.
► Dik dairesel koninin ekseni tabana dik olduğu için eksen aynı zamanda yüksekliktir.
► Tepe noktası ile taban dairesinin çevresi üzerindeki bir noktayı birleştiren doğru parçalarına ana doğru denir ve “a” ile gösterilir.

Koninin köşesi ve ayrıtı yoktur. Tabanı ve bir yanal yüzeyi vardır.

DİK KONİNİN AÇINIMI

Dik dairesel koninin açınımında; tabanı oluşturan daire, yanal yüzleri oluşturan daire dilimi yer alır.

Dik dairesel konide yarıçap, yükseklik ve ana doğru dik üçgen oluşturur. Pisagor bağıntısından yararlanılarak aşağıdaki eşitlik elde edilir.

h² + r² = a²

Konide tabanı oluşturan dairenin çevre uzunluğu, yanal yüzeyi oluşturan daire diliminin yayının uzunluğuna eşittir. Bu eşitlikten aşağıdaki eşitlik elde edilir.

\(\frac{Tabandaki\,Dairenin\,Yarıçapı\,(r)}{Daire\,Diliminin\,Yarıçapı\,(a)}\) = \(\frac{Daire\,Diliminin\,Merkez\,Açısı\,(α)}{360}\)

ÖRNEK: Taban yarıçapının uzunluğu 8 cm, yüksekliği 6 cm olan dik dairesel koninin açınımını çizelim.

Önce ana doğrunun uzunluğunu hesaplayalım.

h² + r² = a²
6² + 8² = a²
100 = a²
a = 10 buluruz.

Şimdi açınımdaki daire diliminin merkez açısını hesaplayalım.

\(\frac{r}{a}\) = \(\frac{α}{360}\)

\(\frac{8}{10}\) = \(\frac{α}{360}\)

\(10α = 2880\)

\(α = 288\) buluruz ve bu ölçülere uygun çizim yaparız.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN: