Koordinat sisteminde verilen bir grafik, tanım kümesindeki her bir noktadan y eksenine paralel çizilen doğrular tarafından yalnızca bir noktada kesiliyorsa bu grafik fonksiyon grafiğidir. Verilen grafiğin bir fonksiyon grafiği olup olmadığını bulmayı sağlayan bu işleme “düşey (dikey) doğru testi” adı verilir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen grafiklerin fonksiyon belirtip belirtmediğini dikey doğru testiyle bulalım.

Çizilen düşey doğruların hepsi grafiği yalnız bir noktada kestiği için y = f(x) bir fonksiyondur.

Çizilen düşey doğruların hepsi grafiği yalnız bir noktada kestiği için y = g(x) bir fonksiyondur.

Dikey çizilen doğrular, grafiği birden fazla noktada kesiyorsa grafik bir fonksiyonun grafiği değildir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen grafiklerin fonksiyon belirtip belirtmediğini dikey doğru testiyle bulalım.

Çizilen düşey doğruların bazıları grafiği birden fazla bir noktada kestiği için y = h(x) bir fonksiyon değildir.

Çizilen düşey doğruların bazıları grafiği birden fazla bir noktada kestiği için y = s(x) bir fonksiyon değildir.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

Bir fonksiyonun grafiği, o fonksiyon hakkında önemli bilgiler içerir. Bunlardan bazıları fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun değer kümesi, fonksiyonun en büyük değeri, fonksiyonun en küçük değeri ve fonksiyonun sıfırlarıdır.

TANIM KÜMESİ VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ BULMA

Fonksiyon grafiğinin üzerindeki her bir noktadan;
► y eksenine paralel çizilen doğruların x eksenini kestiği noktalar fonksiyonun tanım kümesini,
► x eksenine paralel çizilen doğruların y eksenini kestiği noktalar fonksiyonun görüntü kümesini verir.

ÖRNEK: Aşağıda grafiği verilen f fonksiyonunun tanım ve görüntü kümesini bulalım.

Grafik üzerindeki her bir noktadan x eksenine çizdiğimiz oklar tanım kümesini gösterir. Aşağıdaki görseli incelersek f fonksiyonunun tanım kümesini (−5, 6] aralığı olarak buluruz.

Grafik üzerindeki her bir noktadan y eksenine çizdiğimiz oklar tanım kümesini gösterir. Aşağıdaki görseli incelersek f fonksiyonunun görüntü kümesini (−4, 7] aralığı olarak buluruz.

EN BÜYÜK – EN KÜÇÜK DEĞER BULMA

Fonksiyon grafiğinde;
► görüntü kümesinin (varsa) en büyük elemanı, fonksiyonun alabileceği en büyük değer,
► görüntü kümesinin (varsa) en küçük elemanı, fonksiyonun alabileceği en küçük değerdir.

ÖRNEK: Aşağıda grafiği verilen f fonksiyonunun tanım kümesini, görüntü kümesini, varsa en büyük ve en küçük değerlerini bulalım.

Fonksiyonun grafiğinden tanım kümesini (−5, 6], görüntü kümesini [−3, 5] olarak buluruz.

Görüntü kümesinin en küçük elemanı olan −3 fonksiyonun en küçük değeri, görüntü kümesinin en büyük elemanı olan 5 ise fonksiyonun en büyük değeridir.

ÖRNEK: Aşağıda grafiği verilen f fonksiyonunun tanım kümesini, görüntü kümesini, varsa en büyük ve en küçük değerlerini bulalım.

Fonksiyonun grafiğinden tanım kümesini (−6, +∞), görüntü kümesini (−∞, 4] olarak buluruz.

Görüntü kümesinin en büyük elemanı olan 4 fonksiyonun en büyük değeridir. Görüntü kümesinin alacağı değerler −∞’a kadar indiği için bu fonksiyonun en küçük değeri yoktur.

FONKSİYONUN SIFIRLARINI BULMA

Bir fonksiyonun grafiğinin x eksenini kestiği noktaların apsisi, f(x) = 0 denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesinin elemanlarıdır. Bu noktalara fonksiyonun sıfırları adı verilir.

ÖRNEK: Aşağıda grafiği verilen fonksiyonun sıfırları, grafiğin x eksenin kestiği noktaların apsisleri olan −5, −1 ve 3’tür.

Fonksiyonun grafiği x eksenini kesmiyorsa f(x) = 0 denkleminin gerçek sayılar kümesinde çözümü yoktur.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

f : A → B, y = f (x) fonksiyonunu sağlayan bütün (x, y) sıralı ikililerinin dik koordinat sisteminde gösterilmesiyle oluşan noktalar kümesine f fonksiyonunun grafiği denir. Bu grafik çizilirken yatay eksende fonksiyonun tanım kümesinin elemanları, dikey eksende ise fonksiyonun değer kümesinin elemanları gösterilir.

Bir fonksiyonun grafiği çizilirken fonksiyonun türüne göre farklı adımlar izlenir. Bu konuda doğrusal fonksiyonların ve parçalı fonksiyonların grafikleri nasıl çizilir ele alacağız.

DOĞRUSAL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

f : R → R, f (x) = ax + b biçimindeki doğrusal fonksiyonların grafikleri koordinat sisteminde y = ax + b doğrusudur ve bu doğru şu adımlar takip ederek çizilebilir:
► Doğrunun çizilebilmesi için geçtiği noktalardan en az 2 tanesi bilinmelidir. Bunun için fonksiyonu sağlayan (x, y) sıralı ikilileri bulunmalıdır.
► y = ax + b denkleminde x’e bir sayı değeri verilerek bu x’e karşılık gelen y değeri bulunur. Böylelikle bir tane (x, y) noktası elde edilmiş olunur.
► Aynı işlem, x’e farklı bir sayı değeri verilerek tekrarlanırsa ikinci (x, y) noktası da bulunmuş olunur.
(x’e değer verip y bulunabildiği gibi y’ye değer verip x de bulunabilir.)
► Elde edilen noktalar koordinat sisteminde işaretlenir ve düz bir çizgiyle birleştirilir. Sonuç olarak f (x) = ax + b doğrusal fonksiyonunun grafiği çizilmiş olur.

ÖRNEK: f : R → R olmak üzere f(x) = x − 3 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Doğrunun geçtiği noktalardan en az 2 tanesini buluruz. Bu noktaları bulmak için x’e ya da y’ye rastgele değer verebileceğimiz gibi x yerine “0” koyarak doğrunun y eksenini kestiği noktayı, y yerine “0” koyarak doğrunun x eksenini kestiği noktayı bulmamız hem çizim kolaylığı hem de genel kabule uyum açısından daha uygun olacaktır.

Bulduğumuz bu üç noktayı koordinat sisteminde işaretleyip bu noktalardan geçen doğruyu çizeriz. Bu doğru f(x) = x−3 fonksiyonunun grafiğidir.

ÖRNEK: g : R → R olmak üzere g(x) = −2x fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Bulduğumuz bu iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip bu noktalardan geçen doğruyu çizeriz. Bu doğru g(x) = −2x fonksiyonunun grafiğidir.

ÖRNEK: h : R → R olmak üzere h(x) = 4 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Bulduğumuz bu iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip bu noktalardan geçen doğruyu çizeriz. Bu doğru h(x) = 4 fonksiyonunun grafiğidir.

ÖRNEK: f : [−4,5) → R olmak üzere f(x) = x − 1 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Bu fonksiyonun grafiğini çizerken tanım kümesindeki sınır değerleri olan −4 ve 5’i x yerine yazalım.

Bulduğumuz bu iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip bu noktalar arasındaki doğru parçasını çizeriz. Fonksiyonun tanım kümesi [−4,5) olduğu için −4 noktasının içini dolu, 5 noktasının içini boş çizeriz.

Doğrusal Fonksiyonlarda Katsayı Grafik İlişkisi

f (x) = ax + b fonksiyonunda a değerinin değişmesi fonksiyon grafiğinin eğiminin değişmesiyle sonuçlanır.

ÖRNEK: f(x) = 10x, g(x) = 3x, h(x) = x, t(x) = x/2 fonksiyonlarının grafiklerini inceleyelim.

Grafikleri incelediğimizde bu fonksiyonların hepsinin y eksenini aynı noktada kestiğini ancak eğimlerinin (y’deki değişimin x’teki değişime oranlarının) farklı olduğunu görürüz.

Pozitif a değerinin (x’in katsayısının) artması grafiği y eksenine daha yakın bir hale getirir.

ÖRNEK: f(x) = −3x+2, g(x) = −2x+2, h(x) = −x+2 fonksiyonlarının grafiklerini inceleyelim.

Grafikleri incelediğimizde bu fonksiyonların hepsinin y eksenini aynı noktada kestiğini ancak eğimlerinin (y’deki değişimin x’teki değişime oranlarının) farklı olduğunu görürüz.

Negatif a değerinin (x’in katsayısının) mutlak değerce artması grafiği y eksenine daha yakın bir hale getirir.

f (x) = ax + b fonksiyonunda b değerinin değişmesi fonksiyon grafiğinin yukarı ya da aşağı ötelenmesiyle sonuçlanır.

ÖRNEK: f(x) = x + 2, g(x) = x, h(x) = x − 1 fonksiyonlarının grafiklerini inceleyelim.

► g(x) = x fonksiyonu orijinden geçiyor.

► f(x) = x + 2 fonksiyonu y eksenini 2 noktasında kesiyor. Bu fonksiyon g(x) = x fonksiyonunun 2 birim yukarı ötelenmiş halidir.

► h(x) = x − 1 fonksiyonu y eksenini −1 noktasında kesiyor. Bu fonksiyon g(x) = x fonksiyonunun 1 birim aşağı ötelenmiş halidir.

PARÇALI FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

Parçalı tanımlı fonksiyonların grafikleri çizilirken fonksiyon parçalarına ayrılır ve her bir parçanın grafiği ayrı ayrı çizilir. Daha sonra bu grafikler parçaların tanım kümesi aralıklarına göre alınıp birleştirilir.

ÖRNEK: p : R → R olmak üzere aşağıdaki şekilde tanımlanan parçalı fonksiyonun grafiğini çizelim.

Fonksiyonun parçalarının ayrı ayrı grafiği çizilirse aşağıdaki gibi grafikler elde edilir.

Parçalı fonksiyonun kritik noktaları −2 ve 3 olduğu için bu kritik noktalara göre grafiklerin ilgili kısımlarını alacağız.

x’in −2’den küçük değerleri için kırmızı grafiği,
x’in [−2, 3) aralığındaki değerleri için yeşil grafiği,
x’in 3’e eşit ve 3’ten büyük değerleri için mavi grafiği alacağız.

Bu şekilde parçaları birleştirdiğimizde p(x) fonksiyonumuzun grafiği aşağıdaki gibi olur.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Çarpma İşleminin Özellikleri
✓ Değişme Özelliği, Birleşme Özelliği
✓ Etkisiz Eleman, Yutan Eleman
✓ Dağılma Özelliği

ÇARPMA İŞLEMİNİN DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

Tam sayılarla çarpma işlemi yaparken çarpılan sayıların yerleri değiştirildiğinde çarpım yani sonuç değişmez. Tam sayılarda çarpma işleminin bu özelliğine değişme özelliği denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki işlemi inceleyecek olursak çarpanların yerlerinin değişmesinin sonucu etkilemediğini görürüz.

3 . 5 = 15
5 . 3 = 15

ÖRNEK: Aşağıdaki işlemde olduğu gibi çarpılan sayıların yerinin değişmesi sonucu değiştirmez.

7 . (−3) = −21
(−3) . 7 = −21

ÇARPMA İŞLEMİNİN BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Üç veya daha fazla tam sayı ile çarpma işlemi yaparken öncelikle hangi sayı çiftinin çarpıldığının işlem sonucuna bir etkisi yoktur. Tam sayılarda çarpma işleminin bu özelliğine birleşme özelliği denir.

ÖRNEK: 2.3.4 işlemini yapalım. Bu işlemi yaparken önce hangi iki sayıyı çarptığımız sonucu etkilemez.

( 2 . 3 ) . 4     |     2 . ( 3 . 4 )

 6 . 4 = 24     |     2 . 12 = 24

Değişme ve birleşme özelliği işlem yaparken pratik yapmamıza yardımcı olabilir.

ÖRNEK: 5 . 17 . 2 işleminin sonucunu bulalım.

Bu işlemde soldan sağa doğru işlem yapmak yerine önce 5 ile 2’yi çarpmamız bize kolaylık sağlar.

5 . 17 . 2
= 10 . 17
= 170

ÖRNEK: −34 . (−25) . 4 işleminin sonucunu bulalım.

Bu işlemde soldan sağa doğru işlem yapmak yerine önce −25 ile 4’ü çarpmamız bize kolaylık sağlar.

−34 . (−25) . 4
= −100 . (−34)
= 3400

ÇARPMA İŞLEMİNİN ETKİSİZ ELEMANI (BİRİM ELEMAN)

İşleme girdiğinde sonucu değiştirmeyen sayıya etkisiz eleman denir. Çarpma işleminde bir sayıyı 1 (bir) ile çarptığımızda sonuç çarpılan sayının kendisi olur. Bu yüzden çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanı 1’dir.

ÖRNEK: Aşağıdaki işlemleri incelersek herhangi bir sayının 1 ile çarpılması sonucu oluşan cevabın sayının kendisi olduğunu görürüz.

5 . 1 = 5
−3 . 1 = −3
1 . 7 = 7
1 . (−98) = −98

Bir sayının etkisiz eleman olabilmesi için, yukarıdaki örnekte olduğu gibi, hem sağdan hem de soldan etki etmemesi gerekir. Bu yüzden bölme işleminin etkisiz elemanı yoktur.

ÇARPMA İŞLEMİNİN YUTAN ELEMANI

Hangi sayıyla işleme girerse girsin sonuç kendisi olan sayıya yutan eleman denir. Çarpma işleminde bir sayının 0 (sıfır) ile çarpımı sıfıra eşittir. Bu yüzden çarpma işleminin yutan elemanı 0’dır.

ÖRNEK: Aşağıdaki işlemleri incelersek herhangi bir sayının 0 ile çarpımının 0 olduğunu görürüz.

91 . 0 = 0
−3 . 0 = 0
0 . 88 = 0
0 . (−47) = 0
0 . 0 = 0

ÇARPMA İŞLEMİNİN TOPLAMA VE ÇIKARMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ

Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

ÖRNEK: −5 . ( 100 + 2 ) işlemini çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliğini kullanarak yapalım.

−5 . ( 100 + 2 ) işleminde parantez dışındaki çarpan olan −5’i içerideki sayılarla sırayla çarparız. Daha sonra içerideki işlem toplama olduğu için çıkan sonuçları toplarız.

−5 . ( 100 + 2 )
= (−5 . 100) + (−5 . 2)
= (−500) + (−10)
= −510

ÖRNEK: 12 . ( 50 − 7 ) işlemini çarpmanın çıkarma üzerine dağılma özelliğini kullanarak yapalım.

12 . ( 50 − 7 ) işleminde parantez dışındaki çarpan olan 12’yi içerideki sayılarla sırayla çarparız. Daha sonra içerideki işlem çıkarma olduğu için çıkan sonuçları birbirinden çıkartırız.

12 . ( 50 − 7 )
= (12 . 50) − (12 . 7)
= (600) − (84)
= 516

Dağılma özelliği zihinden işlem yaparken pratik yapmamıza yardımcı olabilir.

ÖRNEK: 7 . 98 işlemini ele alalım. Bu işlemi zihinden yapabilmek için dağılma özelliğini kullanarak aklımızdan şu işlemleri yapabiliriz:

98’in 100’den iki eksik olduğunu biliyoruz.

7 . 98
= 7 . ( 100 − 2) şimdi çarpmayı çıkarma üzerine dağıtalım.
= 7 . 100 − 7 . 2
= 700 − 14
= 686 cevabını buluruz.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN: