Bir fonksiyon grafiği, x eksenine paralel çizilen doğrular tarafından en az bir noktada kesiliyorsa bu fonksiyon örten fonksiyondur. Fonksiyon grafiği, kendisini kesen yatay doğrular tarafından yalnızca bir noktada kesiliyorsa bu fonksiyon birebir fonksiyondur. Grafiği verilen bir fonksiyonun birebir ve örten olma durumlarını incelemeye yarayan bu işleme “yatay doğru testi” adı verilir.

ÖRNEK: Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların birebir ve örten olma durumlarını yatay doğru testiyle inceleyelim.

Çizilen yatay doğruların tamamı grafiği kestiği için f(x) fonksiyonu örten fonksiyondur.

Grafiği kesen doğruların tamamı grafiği yalnızca bir noktada kestiği için f(x) fonksiyonu birebir fonksiyondur.

Çizilen yatay doğruların hepsi grafiği kestiği için g(x) fonksiyonu örten fonksiyondur.

Grafiği kesen doğruların tamamı grafiği yalnızca bir noktada kestiği için g(x) fonksiyonu birebir fonksiyondur.

Çizilen yatay doğrular arasında grafiği kesmeyenler (açık mavi renkliler) olduğu için h(x) fonksiyonu örten bir fonksiyon değildir, içine fonksiyondur.

Grafiği kesen doğrular arasında grafiği birden fazla noktada kesenler olduğu için h(x) fonksiyonu birebir değildir.

Çizilen yatay doğruların hepsi grafiği kestiği için s(x) fonksiyonu örten fonksiyondur.

Grafiği kesen doğrular arasında grafiği birden fazla noktada kesenler olduğu için s(x) fonksiyonu birebir değildir.

Çizilen yatay doğrular arasında grafiği kesmeyenler (açık mavi renkliler) olduğu için e(x) fonksiyonu örten bir fonksiyon değildir, içine fonksiyondur.

Grafiği kesen doğruların tamamı grafiği yalnızca bir noktada kestiği için f(x) fonksiyonu birebir fonksiyondur.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

KÖKLÜ İFADE NEDİR?

a, x \(\in\) R , n \(\in\) Z⁺ ve n \(\geq\) 2 olmak üzere:

xⁿ = a eşitliğini sağlayan x değerlerine a’nın n. kuvvetten kökü denir ve x = \(\sqrt[n]a\) şeklinde gösterilir.

Köklü İfadelerin Okunuşları

ÖRNEK: Aşağıdaki köklü ifadeleri ve okunuşlarını inceleyelim.

► \(\sqrt[2]7\) ifadesi “2. dereceden kök 7” olarak okunur.
Bu ifade ikinci derece köke sahip olduğu için “karekök 7” olarak da okunabilir.

► \(\sqrt[3]5\) ifadesi “3. dereceden kök 5” olarak okunur.
Bu ifade üçüncü derece köke sahip olduğu için “küpkök 5” olarak da okunabilir.

► \(\sqrt[5]{43}\) ifadesi “5. dereceden kök 43” veya “43’ün 5. dereceden kökü” olarak okunur.

Kareköklü bir ifade yazılırken kökün derecesi olan 2’nin yazılmasına gerek yoktur.

ÖRNEK: \(\sqrt[2]{18}\) ifadesi \(\sqrt{18}\) olarak yazılabilir.

KÖKLÜ İFADELERİN DEĞERİNİ BULMA

a \(\in\) R , n \(\in\) Z⁺ ve n \(\geq\) 2 olmak üzere:

kökün derecesi (n) tek ise \(\sqrt[n]{a^n}=a\) ,
kökün derecesi (n) çift ise \(\sqrt[n]{a^n}=\left|a\right|\) olur.

ÖRNEK: Aşağıdaki köklü ifade örneklerini inceleyelim. İlk iki örnekte kökün derecesinin tek sayı olduğuna, diğer iki örnekte kökün derecesi çift olduğu için mutlak değer alındığına dikkat edin.

► \(\sqrt[3]{5^3}=5\)

► \(\sqrt[7]{{(-4)}^7}=-4\)

► \(\sqrt[2]{9^2}=\left|9\right|=9\)

► \(\sqrt[4]{{(-2)}^4}=\left|-2\right|=2\)

ÖRNEK: Aşağıdaki köklü ifadelerin değerlerini bulalım. Kök içindeki sayıları üslü ifade olarak yazıp kökten çıkartabiliriz.

► \(\sqrt[5]{32}=\sqrt[5]{2^5}=2\)

► \(\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{{(-3)}^3}=-3\)

► \(\sqrt[2]{81}=\sqrt[2]{9^2}=\left|9\right|=9\)

► \(\sqrt[4]{625}=\sqrt[4]{5^4}=\left|5\right|=5\)

Bir köklü ifadede kökün derecesi çift ise ve kök içindeki sayı negatifse bu köklü ifade bir gerçek sayı belirtmez.

ÖRNEK: Aşağıdaki örnekleri inceleyelim. Yalnızca derecesi çift ve kök içi negatif olan köklü sayılar gerçek sayı belirtmez.

► \(\sqrt[3]{17}\;,\;\sqrt[5]{-17}\;,\;\sqrt[4]{17}\; \) sayıları birer gerçek sayıdır.

► \(\sqrt{-17}\;,\;\sqrt[4]{-17}\;,\;\sqrt[6]{-17}\;\) sayıları gerçek sayı değildir.

ÖRNEK: \(\sqrt{x-4}\) sayısını gerçek sayı yapan x değerlerinin aralığını bulalım.

Kökün derecesi 2 yani çift sayı olduğu için kök içi negatif olmamalıdır. Bu yüzden kökün içi sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir. Bu duruma ait eşitsizliği yazarız ve çözeriz.

x − 4 \(\geq\) 0
x \(\geq\) 4 buluruz.

KÖKLÜ İFADELERİN ÜSLÜ İFADEYE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

Her köklü ifade aynı zamanda bir üslü ifadeyle gösterilebilir. Köklü ifade üslü ifadeye dönüştürülürken köklü ifadenin derecesi, kökün içindeki sayının üssüne payda olarak yazılır. Köklü ifadelerle işlem yapılması gerektiği durumlarda, köklü ifadeler üslü ifadeye dönüştürülerek üslü ifadelerle işlem yapılabilir.

a \(\in\) R⁺ ve n, m \(\in\) Z⁺ ve n \(\geq\) 2 olmak üzere:

\(\sqrt[n]{a^m}=a^\frac mn\) olur.

ÖRNEK: Aşağıdaki köklü ifadelerin üslü ifade olarak nasıl yazıldığını inceleyelim.

► \(\sqrt[3]6=6^\frac13\)

► \(\sqrt{13}=13^\frac12\)

► \(\sqrt[3]{11^2}=11^\frac23\)

► \(\sqrt[4]{7^9}=7^\frac94\)

KÖK DERECESİNİ GENİŞLETME VE SADELEŞTİRME

Kökün derecesi ve kök içindeki sayının üssü aynı pozitif tam sayıyla çarpılarak genişletilebilir, aynı pozitif tam sayıya bölünerek sadeleştirilebilir. Genişletme ve sadeleştirme işlemi özellikle köklü sayılarla dört işlem yaparken veya karşılaştırma yaparken kök dereceleri eşitlemek için kullanılır.

a \(\in\) R⁺ , m \(\in\) Z , r, n \(\in\) Z⁺ ve n \(\geq\) 2 olmak üzere:

\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n.r]{a^{m.r}}=\sqrt[\frac nr]{a^\frac mr}\) olur.

ÖRNEK: Aşağıdaki köklü ifadelerin derecelerini genişletelim.

► \(\sqrt[2]{3^5}\) derecesini 2 ile genişletirsek \(\sqrt[2.2]{3^{5.2}}=\sqrt[4]{3^{10}}\) olur.

► \(\sqrt[3]{4^2}\) derecesini 4 ile genişletirsek \(\sqrt[3.4]{4^{2.4}}=\sqrt[12]{4^{8}}\) olur.

ÖRNEK: Aşağıdaki köklü ifadelerin derecelerini sadeleştirelim.

► \(\sqrt[4]{3^6}\) derecesini 2 ile sadeleştirirsek \(\sqrt[\frac42]{3^{\frac62}}=\sqrt[2]{3^{3}}\) olur.

► \(\sqrt[20]{4^{15}}\) derecesini 5 ile sadeleştirirsek \(\sqrt[\frac{20}5]{4^{\frac{15}5}}=\sqrt[4]{4^{3}}\) olur.

KÖKLÜ BİR SAYIYI A KÖK B ŞEKLİNDE YAZMA

a, b \(\in\) R⁺ , n \(\in\) Z⁺ ve n \(\geq\) 2 olmak üzere:

\(\sqrt[n]{a^nb}=a\sqrt[n]b\) olur.

ÖRNEK: Aşağıdaki köklü ifadelere eşit olan ifadeler yazalım.

► \(\sqrt{98}=\sqrt{7^2.2}=7\sqrt2\)

► \(\sqrt[3]{32}=\sqrt[3]{2^5}=\sqrt[3]{2^3.2^2}=2\sqrt[3]4\)

► \(\sqrt[4]{80}=\sqrt[4]{2^4.5}=2\sqrt[4]5\)

► \(\sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{3^4}=\sqrt[3]{3^3.3}=3\sqrt[3]3\)

KÖKLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ

Hem dereceleri hem de kök içindeki sayıları aynı olan köklü ifadelerle toplama ve çıkarma işlemi yapılırken katsayılar arasında işlem yapılır ve bulunan sonuç ortak köke katsayı olarak yazılır.

a, b \(\in\) R , x \(\in\) R⁺, n \(\in\) Z⁺ ve n \(\geq\) 2 olmak üzere:

\(a\sqrt[n]x+b\sqrt[n]x=(a+b)\sqrt[n]x\),
\(a\sqrt[n]x-b\sqrt[n]x=(a-b)\sqrt[n]x\) olur.

ÖRNEK: Aşağıdaki toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım. Kök dereceleri ve kök içleri aynı olduğu için katsayılar arasında işlem yaparız.

► \(\sqrt[3]5+7\sqrt[3]5=(1+7)\sqrt[3]5=8\sqrt[3]5\)

► \(2\sqrt{13}+5\sqrt{13}=(2+5)\sqrt{13}=7\sqrt{13}\)

► \(10\sqrt[4]2-\sqrt[4]2=(10-1)\sqrt[4]2=9\sqrt[4]2\)

ÖRNEK: Aşağıdaki toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım. Bu örneklerdeki köklü ifadelerin dereceleri aynı ancak kök içleri farklı. Kök içlerini eşitleyebilmek için bu sayılar a kök b şeklinde yazılır.

► \(\sqrt{72}+\sqrt{98}-\sqrt8\)

\(=6\sqrt2+7\sqrt2-2\sqrt2=11\sqrt2\)

► \(\sqrt[3]{135}+\sqrt[3]{40}+\sqrt[3]5\)

\(=3\sqrt[3]5+2\sqrt[3]5+\sqrt[3]5=6\sqrt[3]5\)

KÖKLÜ SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMİ

Kök dereceleri aynı olan köklü sayılarda çarpma ve bölme işlemi yapılırken katsayılar arasında işlem yapılıp bulunan sonuc katsayıya, kök içindeki sayılar arasında işlem yapılıp bulunan sonuç kök içine yazılır.

a, b \(\in\) R , x, y \(\in\) R⁺, n \(\in\) Z⁺ ve n \(\geq\) 2 olmak üzere:

\(a\sqrt[n]x.b\sqrt[n]y=(a.b)\sqrt[n]{x.y}\),

\(\frac{a\sqrt[n]x}{b\sqrt[n]y}=(\frac ab)\sqrt[n]{\frac xy}\) olur.

ÖRNEK: Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapalım.

► \(\sqrt5.\sqrt7=\sqrt{35}\)

► \(3\sqrt7.2\sqrt2=6\sqrt{14}\)

► \(\sqrt[3]6.\sqrt[3]{-7}=\sqrt[3]{-42}\)

► \(3\sqrt[4]2.5\sqrt[4]3=15\sqrt[4]6\)

ÖRNEK: Aşağıdaki bölme işlemlerini yapalım.

► \(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt5}=\sqrt{\frac{10}5}=\sqrt2\)

► \(\frac{12\sqrt{15}}{2\sqrt3}=\frac{12}2\sqrt{\frac{15}3}=6\sqrt5\)

► \(\frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]3}=\sqrt[3]{\frac{24}3}=\sqrt[3]8=2\)

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!