Sayılarda olduğu gibi fonksiyonlarda da toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemi yapılabilir.

FONKSİYONLARDA TOPLAMA İŞLEMİ

A \(\cap\) B \(\neq \varnothing\) olmak üzere f: A → R ve g: B → R fonksiyonlarının toplamı şu şekilde tanımlanır;

(f+g): A \(\cap\) B → R
(f+g)(x) = f(x) + g(x)

ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonların toplamı olan f+g’yi bulalım.

f = {(0, 0), (1, 3), (2, 6), (3, 9)}
g = {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)}

f+g fonksiyonunun tanım kümesi f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişimidir.
f+g’nin tanım kümesi {0, 1, 2, 3} olur.

Tanım kümesindeki elemanların f+g altındaki görüntüsü ise bu elemanların f ve g altındaki görüntülerinin toplamıdır.

f+g = {(0, 0+0), (1, 3+1), (2, 6+4), (3, 9+9)}
f+g = {(0, 0), (1, 4), (2, 10), (3, 18)}

ÖRNEK: Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x² + 3x ve g(x) = 4x² − 5x + 7 fonksiyonları için (f+g)(x) ifadesini bulalım.

(f+g)(x) = f(x) + g(x)
(f+g)(x) = (x² + 3x) + (4x² − 5x + 7)
(f+g)(x) = 5x² − 2x + 7

FONKSİYONLARDA ÇIKARMA İŞLEMİ

A \(\cap\) B \(\neq \varnothing\) olmak üzere f: A → R ve g: B → R fonksiyonlarının toplamı şu şekilde tanımlanır;

(f−g): A \(\cap\) B → R
(f−g)(x) = f(x) − g(x)

ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonların farkları olan f−g’yi ve g−f’yi bulalım.

f ={(0, 3), (1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11)}

g = {(0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5)}

f−g ve g−f fonksiyonlarının tanım kümesi f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişimidir.
f−g ve g−f ‘nin tanım kümesi {0, 1, 4} olur.

Tanım kümesindeki elemanların f−g ve g−f altındaki görüntüsü ise bu elemanların f ve g altındaki görüntülerinin farkıdır.

f−g = {(0, 3−0), (1, 5−1), (4, 11−2)}
f−g = {(0, 3), (1, 4), (4, 9)}

g−f = {(0, 0−3), (1, 1−5), (4, 2−11)}
g−f = {(0, −3), (1, −4), (4, −9)}

ÖRNEK: Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x² + 3x ve g(x) = 4x² − 5x + 7 fonksiyonları için (f−g)(10) değerini bulalım.

(f−g)(10) değerini iki yolla bulabiliriz.

1.YOL: f(x) fonksiyonundan g(x) fonksiyonunu çıkartarak (f−g)(x) ifadesini elde ederiz. Sonra bu ifadede x yerine 10 yazarız.

(f−g)(x) = f(x) − g(x)
(f−g)(x) = (x² + 3x) − (4x² − 5x + 7)
(f−g)(x) = −3x² +8x − 7

(f−g)(10) = −3.10² +8.10 − 7
(f−g)(10) = −227

2. YOL: f(x) ve g(x) fonksiyonlarında x yerine 10 yazarak f(10) ve g(10)’u buluruz. Sonra f(10) değerinden g(10) değerini çıkartırız.

f(10) = 10²+3.10 = 130
g(10) = 4.10² − 5.10 + 7 = 357

(f−g)(10) = f(10) − g(10)
(f−g)(10) = 130 − 357
(f−g)(10) = −227

FONKSİYONLARDA ÇARPMA İŞLEMİ

A \(\cap\) B \(\neq \varnothing\) olmak üzere f: A → R ve g: B → R fonksiyonlarının toplamı şu şekilde tanımlanır;

(f.g): A \(\cap\) B → R
(f.g)(x) = f(x) . g(x)

ÖRNEK: Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x + 3 ve g(x) = x − 3 olduğuna göre (f.g)(x) ifadesini bulalım.

(f.g)(x) = f(x) . g(x)
(f.g)(x) = (x + 3) . (x − 3)
(f.g)(x) = x² − 9

ÖRNEK: Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = 2x ve g(x) = x + 5 olduğuna göre (f.g)(8) değerini bulalım.

f(8) = 2 . 8 = 16
g(8) = 8 + 5 = 13

(f.g)(8) = f(8) . g(8)
(f.g)(8) = 16 . 13 = 208

FONKSİYONLARDA BÖLME İŞLEMİ

A \(\cap\) B \(\neq \varnothing\) olmak üzere f: A → R ve g: B → R fonksiyonlarının toplamı şu şekilde tanımlanır;

(\(\frac{f}{g}\)): A \(\cap\) B → R
(\(\frac{f}{g}\))(x) = \(\frac{f(x)}{g(x)}\) (g(x) \(\neq\) 0)

ÖRNEK: Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = x² ve g(x) = −2x olduğuna göre (\(\frac{f}{g}\))(10) değerini bulalım.

f(10) = 10² = 100
g(10) = −2 . 10 = −20

(\(\frac{f}{g}\))(10) = \(\frac{f(10)}{g(10)}\)
(\(\frac{f}{g}\))(10) = \(\frac{100}{-20}\) = −5

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

ÖRNEK 1: f: R → R, f(x) = x + 5 ve g(x) = 3x olmak üzere aşağıdaki işlemleri yapalım.

a) (f + g)(x)

(f + g)(x) = f(x) + g(x)
= x + 5 + 3x
= 4x + 5

b) (2f − 3g)(x)

(2f − 3g)(x) = 2.f(x) − 3.g(x)
= 2.(x + 5) − 3.(3x)
= 2x + 10 − 9x
= −7x + 10

c) (4.f.g)(x)

(4.f.g)(x) = 4 . f(x) . g(x)
= 4 . (x + 5) . (3x)
= 12x² + 60x

d) (\(\frac{f}{g}\))(x)

(\(\frac{f}{g}\))(x) = \(\frac{f(x)}{g(x)}\) = \(\frac{x + 5}{3x}\)

ÖRNEK 2: f: R → R, f(x) = 2x ve g(x) = 3x + 1 olmak üzere fonksiyonların istenilen değerlerini bulalım.

a) (f + g)(4)

(f + g)(4) = f(4) + g(4)
= 8 + 13
= 21

b) (f − 2g)(6)

(f − 2g)(6) = f(6) − 2.g(6)
= 12 − 2.19
= −26

c) (f²)(5)

(f²)(5) = f(5) . f(5)
= 10 . 10
= 100

d) (\(\frac{f}{g}\))(−1)

(\(\frac{f}{g}\))(−1) = \(\frac{f(-1)}{g(-1)}\)
= \(\frac{2.(-1)}{3.(-1)+1}\)
= \(\frac{-2}{-2}\)
= 1

ÖRNEK 3: Aşağıda verilen f ve g fonksiyonlarını kullanarak istenilen fonksiyonları bulalım.

f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
g = {(3, 5), (4, 7), (5, 9), (6, 11), (7, 13)}

a) f + g

Bu fonksiyonun tanım kümesi f ve g’nin tanım kümesinin kesişimidir. Görüntü kümesi ise bu elemanların görüntülerinin toplamıdır.

f + g = {(3, 4+5), (4, 5+7), (5, 6+9)}
f + g = {(3, 9), (4, 12), (5, 15)}

b) f . g

Bu fonksiyonun tanım kümesi f ve g’nin tanım kümesinin kesişimidir. Görüntü kümesi ise bu elemanların görüntülerinin çarpımıdır.

f . g = {(3, 4.5), (4, 5.7), (5, 6.9)}
f . g = {(3, 20), (4, 35), (5, 54)}

c) 2 . f

Bu fonksiyonun tanım kümesi f’in tanım kümesiyle aynıdır. Görüntü kümesi ise bu elemanların görüntülerinin 2 katıdır.

2 . f = {(1, 2.2), (2, 2.3), (3, 2.4), (4, 2.5), (5, 2.6)}
2 . f = {(1, 4), (2, 6), (3, 8), (4, 10), (5, 12)}

ÖRNEK 4: f : R → R ve g : R → R fonksiyonları için f(x) = x + 5 ve (2f − 3g)(x) = 8x + 19 olduğuna göre g(x) fonksiyonunu bulalım.

(2f − 3g)(x) = 2.f(x) − 3.g(x) olduğundan bunu 8x+19’a eşitleriz ve f(x) yerine x+5 yazarız.

2.f(x) − 3.g(x) = 8x + 19
2.(x + 5) − 3.g(x) = 8x + 19
2x + 10 − 3.g(x) = 8x + 19
−3.g(x) = 6x + 9
g(x) = −2x − 3 olur.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

Ürettikleri çıktılara göre, değer kümesi ve görüntü kümesinin birbiriyle ilişkisine göre çeşitli fonksiyon türleri vardır. Bu konuda fonksiyon çeşitleri olarak birim fonksiyon, sabit fonksiyon, doğrusal fonksiyon, eşit fonksiyon, tek fonksiyon, çift fonksiyon, parçalı fonksiyon, bire bir fonksiyon, örten fonksiyon ve içine fonksiyon yer almaktadır.

BİRİM FONKSİYON

A boş kümeden farklı bir küme olmak üzere A’dan A’ya tanımlı, her elemanı kendine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon (özdeşlik fonksiyon) denir ve I ile gösterilir.

Matematiksel olarak:
A \(\neq \varnothing\)
I: A → A, I(x) = x

ÖRNEK: Gerçek sayılarda tanımlı g fonksiyonu birim fonksiyondur. g(5), g(10) ve g(1,2) değerlerini bulalım.

Bir elemanın birim fonksiyon altındaki görüntüsü kendisine eşittir.

g(5) = 5

g(10) = 10

g(1,2) = 1,2

ÖRNEK: f: R → R, f(x) = (m + 2).x + n + 3 fonksiyonu birim fonksiyon ise m ve n değerlerini bulalım.

f fonksiyonu birim fonksiyon olduğu için f(x) = x olmalıdır. Bu yüzden x’in katsayısı 1 olmalı ve sabit terim 0’a eşit olmalıdır.

m + 2 = 1
m = −1

n + 3 = 0
n = −3

SABİT FONKSİYON

f : A → B fonksiyonunda, A kümesinin bütün elemanları B kümesinin yalnız bir elemanı ile eşleniyorsa f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.

Matematiksel olarak:
A, B \(\neq \varnothing\) ve k \(\in\) B
f: A → B, ∀x \(\in\) A için f(x) = k

ÖRNEK: f fonksiyonu sabit bir fonksiyondur. f(3) = 3k ve f(6) = k + 24 olduğuna göre k kaçtır bulalım.

f fonksiyonu sabit fonksiyon olduğu için f(3) değeri ile f(6) değeri eşit olmalıdır.

f(3) = f(6)
3k = k + 24
2k = 24
k = 12

ÖRNEK: f: R → R, f(x) = (a + 2).x + a fonksiyonu sabit fonksiyon ise f(10) değerini bulalım.

f fonksiyonu sabit fonksiyon olduğu için fonsiyon x’e bağlı olmamalıdır. Bu yüzden x’in katsayısı 0 olmalıdır.

a + 2 = 0
a = −2

f(x) = (a + 2).x + a
f(x) = (−2 + 2).x + (−2)
f(x) = −2
f(10) = −2

İÇİNE FONKSİYON

Bir fonksiyonun değer kümesinde en az bir eleman açıkta kalıyorsa, diğer bir ifadeyle görüntü kümesi ile değer kümesi eşit değilse bu fonksiyona içine fonksiyon denir.

Matematiksel olarak:
A, B \(\neq \varnothing\) ve f: A → B olmak üzere,
f(A) \(\neq\) B ise f fonksiyonu içinedir.

ÖRNEK: A = {0, 1, 2, 3} ve B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} kümeleriyle A’dan B’ye tanımlı f(x) = 3x + 1 fonksiyonu içine fonksiyon mudur bulalım.

Fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki görüntülerini bulalım.

f(0) = 3.0 + 1 = 1
f(1) = 3.1 + 1 = 4
f(2) = 3.2 + 1 = 7
f(3) = 3.3 + 1 = 10

Görüntü kümesini f(A) = {1, 4, 7, 10} olarak elde ederiz. Değer kümesinde bu elemanlar dışında elemanlar da vardır. Görüntü kümesi f(A), değer kümesi B’ye eşit olmadığından f fonksiyonu içine fonksiyondur.

ÖRTEN FONKSİYON

Bir fonksiyonun değer kümesindeki her bir elemana karşılık tanım kümesinde en az bir eleman varsa, diğer bir ifadeyle görüntü kümesi ile değer kümesi eşit ise bu fonksiyona örten fonksiyon denir.

Matematiksel olarak:
A, B \(\neq \varnothing\) ve f: A → B olmak üzere,
f(A) = B ise f fonksiyonu örtendir.

ÖRNEK: A = {−2, −1, 0, 1, 2} ve B = {0, 1, 2} kümeleriyle A’dan B’ye tanımlı f(x) = |x| fonksiyonu örten fonksiyon mudur bulalım.

Fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki görüntülerini bulalım.

f(−2) = |−2| = 2
f(−1) = |−1| = 1
f(0) = |0| = 0
f(1) = |1| = 1
f(2) = |2| = 2

Görüntü kümesini f(A) = {0, 1, 2} olarak elde ederiz. Görüntü kümesi f(A), değer kümesi B’ye eşittir. Bu yüzden f fonksiyonu örten fonksiyondur.

Bir fonksiyon ya içinedir ya da örtendir.

BİRE BİR FONKSİYON

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsü tanım kümesindeki diğer elemanların görüntülerinden farklı ise bu fonksiyona bire bir fonksiyon denir.

Matematiksel olarak:
A, B \(\neq \varnothing\) ve f: A → B olmak üzere,
∀x₁, x₂ \(\in\) A ve x₁ \(\neq\) x₂ için
f(x₁) \(\neq\) f(x₂) oluyorsa f fonksiyonu bir bir fonksiyondur.

ÖRNEK: A = {−2, −1, 0, 1, 2} ve B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümeleriyle A’dan B’ye tanımlı f(x) = |x| ve g(x) = x + 3 fonksiyonlarının bire bir fonksiyon olup olmadığını bulalım.

Fonksiyonların tanım kümesindeki elemanların fonksiyonlar altındaki görüntülerini bulalım.

f(−2) = |−2| = 2
f(−1) = |−1| = 1
f(0) = |0| = 0
f(1) = |1| = 1
f(2) = |2| = 2

f(x) fonksiyonunda −2’nin ve 2’nin f altındaki görüntüleri aynıdır. Benzer şekilde −1’in ve 1’in de f altındaki görüntüleri aynıdır. Bu yüzden f fonksiyonu bire bir fonksiyon değildir.

g(−2) = −2 + 3 = 1
g(−1) = −1+ 3 = 2
g(0) = 0 + 3 = 3
g(1) = 1 + 3 = 4
g(2) = 2 + 3 = 5

g(x) fonksiyonunun tanım kümesindeki her bir elemanın g altındaki görüntüsü diğer elemanların görüntülerinden farklıdır. Bu yüzden g fonksiyonu bire bir fonksiyondur.

DOĞRUSAL FONKSİYON

a, b \(\in\) R olmak üzere; f: R → R, f(x) = ax + b fonksiyonuna doğrusal fonksiyon denir. Doğrusal fonksiyonların grafikleri doğru belirtir.

ÖRNEK: f: R → R, f(x) = (k + 3).x³ + (m − 5).x² + kx + m fonksiyonu doğrusal bir fonksiyon olduğuna göre f fonksiyonunu ve f(7) değerini bulalım.

f doğrusal bir fonksiyon olduğundan x³ ve x² içeren terim barındırmamalıdır. Bu yüzden x³ ve x² li terimlerin katsayıları 0 olmalıdır.

k + 3 = 0
k = −3

m − 5 = 0
m = 5

Bu değerleri fonksiyonda yerine yazarsak f(x) = −3x + 5 elde ederiz. Şimdi f(7)’yi bulalım.

f(x) = −3x + 5
f(7) = −3.7 + 5
f(7) = −16

ÖRNEK: f fonksiyonu gerçek sayılarda tanımlı doğrusal bir denklemdir. f(1) = 12, f(2) = 15 ise f fonksiyonunu ve f(5)’i bulalım.

f doğrusal bir fonksiyon olduğundan f(x) = ax + b şeklinde olmalıdır. x yerine 1 ve 2 yazarak f(1) ve f(2)’ye eşitleriz. İki adet denklem elde ederiz.

f(1) = 12
a.1 + b = 12
a + b = 12

f(2) = 15
a.2 + b = 15
2a + b = 15

Elde edilen a + b = 12 ve 2a + b = 15 denklemlerinin ortak çözümünden a = 3 ve b = 9 buluruz.

f(x) = ax + b
f(x) = 3x + 9

f(5) = 3.5 + 9
f(5) = 24

EŞİT FONKSİYONLAR

Tanım ve görüntü kümeleri birbiriyle aynı olan, tanım kümesindeki her bir elemanı için bu elemanların görüntüleri de aynı olan fonksiyonlara eşit fonksiyonlar denir.

Matematiksel olarak:
A \(\neq \varnothing\) ve B \(\neq \varnothing\)
f: A → B ve g: A → B olmak üzere,
∀x \(\in\) A için f(x) = g(x) ise f = g’dir.

ÖRNEK: A = {−1, 0, 1} ve B = {−2, −1, 0, 1, 2} kümeleriyle A’dan B’ye tanımlı f(x) = 2x³ ve g(x) = 2x fonksiyonları verilsin. f ve g fonksiyonları eşit fonksiyon mudur bulalım.

f(−1) = 2.(−1)³ = −2
f(0) = 2.0³ = 0
f(1) = 2.1³ = 2

f = {(−1, −2), (0, 0), (1, 2)}

g(−1) = 2.(−1) = −2
g(0) = 2.0 = 0
g(1) = 2.1 = 2

g = {(−1, −2), (0, 0), (1, 2)}

Görüldüğü gibi f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri ile görüntü kümeleri aynıdır. Ayrıca tanım kümesindeki her bir eleman için iki fonksiyon da aynı değerleri üretmektedir. Bu yüzden f ve g fonksiyonları eşit fonksiyonlardır. ( f = g )

PARÇALI FONKSİYON

Tanım kümesinin ayrık alt kümelerinde farklı kurallarla belirlenen fonksiyonlara parçalı fonksiyon ya da parçalı tanımlı fonksiyon denir. Kritik noktası a olan parçalı bir f fonksiyonu şu şekilde tanımlanabilir;
\(f(x)=\left\{\begin{array}{lc}g(x)&,\;x<a\\h(x)&,\;x\geq a\end{array}\right.\)

ÖRNEK: Gerçek sayılarda tanımlı aşağıdaki f fonksiyonu için f(−3) + f(0) + f(10) işleminin sonucunu bulalım.

−3 sayısı fonksiyonun üstteki aralığına girdiği için −3’ü üstteki kurala yazarız.
f(−3) = −3 + 2 = −1

0 sayısı fonksiyonun ortadaki aralığına girdiği için 0’ı ortadaki kurala yazarız.
f(0) = 0³ = 0

10 sayısı fonksiyonun alttaki aralığına girdiği için 10’u alttaki kurala yazarız.
f(10) = 4.10 = 40

f(−3) + f(0) + f(10) = −1 + 0 + 40 = 39

TEK VE ÇİFT FONKSİYONLAR

f: R → R olmak üzere ∀x \(\in\) R için
f(−x) = f(x) olan f fonksiyonuna çift fonksiyon,
f(−x) = −f(x) olan f fonksiyonuna tek fonksiyon denir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların tek fonksiyon ya da çift fonksiyon olup olmadıklarını bulalım.

Fonksiyonların tek ya da çift fonksiyon olup olmadıklarını tespit etmek için f(−x) bulunur.

► f(x) = x²

f(−x) = (−x)² = x² (x² yerine f(x) yazarız ve aşağıdaki sonucu elde ederiz.)
f(−x) = f(x) olduğu için f fonksiyonu çift fonksiyondur.

► g(x) = x³

g(−x) = (−x)³ = −x³ (x³ yerine g(x) yazarız ve aşağıdaki sonucu elde ederiz.)
g(−x) = −g(x) olduğu için g fonksiyonu tek fonksiyondur.

► h(x) = x⁴ + 10

h(−x) = (−x)⁴ + 10 = x⁴ + 10 (x⁴ + 10 yerine h(x) yazarız ve aşağıdaki sonucu elde ederiz.)
h(−x) = h(x) olduğu için h fonksiyonu çift fonksiyondur.

► p(x) = 2x³ + 5x

p(−x) = 2.(−x)³ + 5.(−x) = −2x³ − 5x
p(−x) = −(2x³ + 5x) (2x³ + 5x yerine p(x) yazarız ve aşağıdaki sonucu elde ederiz.)
p(−x) = −p(x) olduğu için p fonksiyonu tek fonksiyondur.

► t(x) = 3x + 6

t(−x) = 3.(−x) + 6 = −3x + 6
t(−x) fonksiyonu t(x)’e veya −t(x) ‘e eşit olmadığı için bu fonksiyon tek ya da çift fonksiyon değildir.

Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.
Tek fonksiyonların grafikleri ise orijine göre simetriktir.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

Fonksiyon konusu için günlük hayatta sıklıkla karşılaşılan dönüşüm işleminin matematiksel karşılığıdır denilebilir. Duyu organlarımız, beynimiz, kullandığımız makineler, doğada gözlemlediğimiz bazı süreçler çeşitli girdilere göre çıktı üretirler.

Örneğin kahve makinesine kuru kahve, su ve şekeri girdi olarak verildiğinde çıktı olarak kahve verir. Cep telefonlarındaki kameralarda mercekten giren ışık bir dizi işlem sonucunda telefonun ekranındaki bir görüntüye dönüştürülür. Tıpkı bu örneklerde olduğu gibi matematikte fonksiyonlar, verilen girdi üzerine çeşitli işlemler yaparak çıktı üreten dönüştürücülerdir.

ÖRNEK: Matematikte fonksiyon kavramına model olacak bir durumu ele alalım.

Bir hastane doğumhanesinde 3 anne adayından biri ikiz, diğer ikisi ise birer çocuk dünyaya getirmiştir. Hemşireler bebekleri hazırlayıp annelerine teslim edecektir ve annesine teslim edilmeyen bebek kalmayacaktır.

Bebeklerin kümesini A kümesi, annelerin kümesini B kümesi olarak isimlendirerek aşağıdaki iki eşleştirme durumunu inceleyelim.

1. DURUM‘da ikizler aynı anneye teslim edilmiştir. Her bebek bir anneye teslim edilmiştir ve teslim edilmeyen bebek kalmamıştır. Bu sebeplerden dolayı bu eşleştirme uygun bir eşleştirmedir.

2. DURUM‘da bir bebeğin iki anneye teslim edilmesinin mümkün olmaması ve bebekler arasında annesine teslim edilmeyen bebek kalması sebebiyle bu eşleştirme uygun değildir.

Yukarıda verdiğimiz bu iki durumlu örnek, fonksiyon kavramı için temel oluşturacak bir modeldir. Fonksiyon kavramı, tanım kümesi ve görüntü kümesi kavramları ile tanışınca bu örneğin fonksiyonlarla ilişkisi şu şekilde olacak:

• Annesine teslim edilmeyen bebek kalmamalıdır.
  (Tanım kümesinde boşta eleman kalmamalıdır.)
• Bir bebek iki anneye teslim edilmemelidir.
  (Tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde yalnız bir elemana eşleşmelidir.)

FONKSİYON

A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere A kümesinin her bir elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen ilişkiye A’dan B’ye tanımlı fonksiyon denir. Fonksiyonlar genellikle f, h, g gibi sembollerle gösterilir.

TANIM, DEĞER VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ

A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu f: A → B şeklinde gösterilir. A kümesine tanım kümesi, B kümesine değer kümesi denir. A kümesinin elemanlarının, f fonksiyonuyla B kümesinde eşleştiği elemanlardan oluşan kümeye görüntü kümesi denir ve f(A) ile gösterilir. Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.

Verilen şekilde;

• f fonksiyonu A’dan B’ye tanımlı bir fonksiyondur.
• Fonksiyonun tanım kümesi A = {a, b, c, ç} dir.
• Fonksiyonun değer kümesi B = {1, 2, 3, 4} tür.
• Fonksiyonun görüntü kümesi f(A) = {1, 2, 3} tür.
• Tanım kümesinde boşta eleman kalmamıştır ve tanım kümesindeki elemanların her biri değer kümesinde yalnız bir elemanla eşleşmiştir. Bu iki şartı sağladığından f bir fonksiyondur.

BİR ELEMANIN FONKSİYON ALTINDAKİ GÖRÜNTÜSÜ

f fonksiyonu A kümesinden alınan bir x elemanını B kümesindeki bir y elemanı ile eşliyor ise x elemanının f altındaki görüntüsü y elemanıdır denir. Bu durum y = f(x) biçiminde gösterilir.

Verilen şekilde;

• a’nın f altındaki görüntüsü 1’dir. f(a) = 1
• b’nin f altındaki görüntüsü 2’dir. f(b) = 2
• c’nin f altındaki görüntüsü 3’tür. f(c) = 3
• ç’nin f altındaki görüntüsü 3’tür. f(ç) = 3

ÖRNEK: f fonksiyonu f(x) = |x + 1| şeklinde veriliyor. f(5), f(−7) ve f(0) değerlerini bulalım.

Tanım kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerini bulmak için her bir eleman fonksiyonda x yerine yazılır.

f(x) = |x + 1|

f(5) = |5 + 1|
f(5) = 6 (5’in f altındaki görüntüsü 6’dır.)

f(−7) = |−7 + 1|
f(−7) = 6 (−7’nin f altındaki görüntüsü 6’dır.)

f(0) = |0 + 1|
f(0) = 1 (0’ın f altındaki görüntüsü 1’dir.)

FONKSİYONUN SIRALI İKİLİLERLE GÖSTERİMİ

f fonksiyonu sıralı ikililer kullanılarak da gösterilebilir. Sıralı ikililerin ilk bileşeni tanım kümesinden, ikinci bileşeni değer kümesinden yazılır.

Verilen şekilde;

f fonksiyonu f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (ç, 3)} şeklinde gösterilebilir.

ÖRNEK: K’dan L’ye tanımlı bir m fonksiyonu g = {(1, 10), (2, 15), (3, 10), (4, 20)} şeklinde verilsin. Bu fonksiyonun tanım ve görüntü kümesini bulalım.

Sıralı ikililerin ilk bileşenleri tanım kümesini, ikinci bileşenleri görüntü kümesini verir.

g fonksiyonunun tanım kümesi, K = {1, 2, 3, 4}

g fonksiyonunun görüntü kümesi, g(K) = {10, 15, 20}

g fonksiyonunun değer kümesi olan L kümesini bulamayız. L kümesi görüntü kümesini kapsayan herhangi bir küme olabilir.

BİR KÜMEDE TANIMLI FONKSİYON

Tanım kümesi ve değer kümesi aynı olan, A’dan A’ya tanımlı bir fonksiyona kısaca A’da tanımlı fonksiyon denilebilir.

ÖRNEK: f: R → R, f(x) = 10x + 9 fonksiyonu verilsin.

Bu fonksiyonun hem tanım kümesi hem değer kümesi gerçek sayılar kümesi olduğu için bu fonksiyona “gerçek sayılardan gerçek sayılara tanımlı f fonksiyonu” demek yerine kısaca “gerçek sayılarda tanımlı f fonksiyonu” denilebilir.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

ÖRNEK 1: Aşağıda verilen f fonksiyonunun tanım, değer ve görüntü kümelerini bulalım. Fonksiyonu sıralı ikililerin kümesi şeklinde yazalım.

f fonksiyonunun tanım kümesi, A = {5, 7, 6, 3}

f fonksiyonunun değer kümesi, B = {2, 8, 6, 1}

f fonksiyonunun görüntü kümesi, f(A) = {8, 6, 1}

Sıralı ikililerle f fonksiyonu, f = {(5, 8), (7, 8), (6, 1), (3, 6)}

ÖRNEK 2: Venn şemaları ile verilen aşağıdaki ifadelerden hangilerinin fonksiyon olduğunu bulalım.

f, tanım kümesindeki her bir elemanı değer kümesinde bir ve yalnız bir elemana eşlediği için fonksiyondur.

h, tanım kümesinde eşleşmeyen b elemanı kaldığı için fonksiyon değildir.

g, tanım kümesindeki a elemanı değer kümesinde birden fazla elemanla eşleştiği için fonksiyon değildir.

ÖRNEK 3: K = {a, b, c} ve L = {3, 5, 7} kümelerine göre aşağıdakilerden hangilerinin K’dan L’ye bir fonksiyon belirttiğini bulalım.

► f = {(a, 3), (a, 5), (b, 5), (c, 7)}

Tanım kümesindeki a elemanı değer kümesindeki birden fazla elemanla eşleştiği için f bir fonksiyon değildir.

► g = {(a, 5), (b, 7), (c, 7)}

Tanım kümesindeki her bir elemanı değer kümesinde bir ve yalnız bir elemana eşlediği için g bir fonksiyondur.

► h = {(a, 7), (b, 3)}

Tanım kümesinde eşleşmeyen c elemanı kaldığı için h bir fonksiyon değildir.

ÖRNEK 4: A = {−2, 0, 4} kümesi tanım kümesi olan f(x) = 3x + 5 fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.

Tanım kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerini bulmak için her bir eleman fonksiyonda x yerine yazılır.

f(x) = 3x + 5

f(−2) = 3.(−2) + 5 ► f(−2) = −1

f(0) = 3.0 + 5 ► f(0) = 5

f(4) = 3.4 + 5 ► f(4) = 17

Görüntü kümesi f(A) = { −1, 5, 17 } olarak bulunur.

ÖRNEK 5: Bir f fonksiyonu f: R → R, f(x + 3) = 5x − 1 şeklinde tanımlanıyor. Buna göre f(10) değerini bulalım.

f(10)’u elde etmek için x yerine 7 yazmalıyız.

f(x + 3) = 5x − 1

f(7 + 3) = 5.7 − 1

f(10) = 34

ÖRNEK 6: Gerçek sayılarda tanımlı f(2x + 2) = 4x+1 fonksiyonu veriliyor. Buna göre f(20) değerini bulalım.

f(20)’yi elde etmek için x yerine 9 yazmalıyız.

f(2x + 2) = 4x+1

f(2.9 + 2) = 4.9+1

f(20) = 37

ÖRNEK 7: Bir f fonksiyonu f: A → B, f(x) = 2x + 1 şeklinde tanımlanıyor. Fonksiyonun görüntü kümesi f(A) = {3, 5, 7} olduğuna göre fonksiyonun tanım kümesi olan A’yı bulalım.

Görüntü kümesindeki elemanlar, tanım kümesindeki elemanların f altındaki görüntüsüdür. Bu yüzden görüntü kümesindeki her bir elemanı fonksiyona eşitleyerek bulunan x değerleri tanım kümesinin elemanlarıdır.

f(x) = 2x + 1

3 = 2x + 1 ► x = 1

5 = 2x + 1 ► x = 2

7 = 2x + 1 ► x = 3

Tanım kümesi A = { 1, 2, 3 } olarak bulunur.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!