BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Ondalık Kesirlerin Karekökünü Bulma
✓ Rasyonel Sayıların Karekökleri Hesaplama

Ondalık kesirlerin karekökünü bulma konusuna geçmeden önce ondalık kesirleri rasyonel gösterimle yazma konusunu bir hatırlayalım.

ÖRNEK: 1,44 sayısını kesir olarak yazalım.

Tam kısmı (virgülden önceki kısım) kesrin tam kısmına,

Ondalık kısmındaki sayıyı (virgülden sonraki kısım) kesrin payına,

1 ve yanına virgülden sonraki basamak kadar sıfırı kesrin paydasına yazarız: \(1\frac{44}{100}\)

Şimdi ise kesirli bir sayıyı ondalıklı gösterimle nasıl gösteririz hatırlayalım.

ÖRNEK: \(\frac{121}{100}\) kesrini ondalıklı gösterimle yazalım.

Paydadaki 2 tane sıfır virgülden sonra 2 basamak olacağı anlamına gelir.

_ , _ _ şeklinde. Daha sonra payda bulunan sayıyı sağa yaslı olarak yazarız.

Eğer solda boş basamak kalırsa o basamaklara “0” koyarız.

Kesrin ondalık gösterimi = 1,21’dir.

Şimdi ondalık kesirlerin karekökünü almaya geçebiliriz.

Ondalık kesirler, rasyonel sayıya çevrildikten sonra karekök dışına çıkartılabilir.

ÖRNEK:  \(\sqrt{0,25}\) sayısının değerini bulalım.

Önce kesir olarak yazarız, daha sonra pay ve paydayı ayrı ayrı karekök dışına çıkartırız.

\(\sqrt{0,25}=\;\sqrt{\frac{25}{100}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}}=\frac5{10}=0,5\) olur.

ÖRNEK:  \(\sqrt{0,04}\) sayısının değerini bulalım.

Önce kesir olarak yazarız, daha sonra pay ve paydayı ayrı ayrı karekök dışına çıkartırız.

\(\sqrt{0,04}=\;\sqrt{\frac4{100}}=\frac{\sqrt4}{\sqrt{100}}=\frac2{10}=0,2\) olarak bulunur.

ÖRNEK:  \(\sqrt{0,0009}\) sayısının değerini bulalım.

Önce kesir olarak yazarız, daha sonra pay ve paydayı ayrı ayrı karekök dışına çıkartırız.

\(\sqrt{0,0009}=\;\sqrt{\frac9{10000}}=\frac{\sqrt9}{\sqrt{10000}}=\frac3{100}=0,03\) olarak bulunur.

ÖRNEK:  \(\frac{\sqrt{1,21}-\sqrt{1,69}}{\sqrt{2,56}}\) işleminin sonucunu bulalım.

\(\frac{\sqrt{\displaystyle\frac{121}{100}}-\sqrt{\displaystyle\frac{169}{100}}}{\sqrt{\displaystyle\frac{256}{100}}}=\frac{{\displaystyle\frac{{\displaystyle1}1}{10}}-{\displaystyle\frac{13}{10}}}{\displaystyle\frac{16}{10}}=\frac{\displaystyle\frac{-2\;}{10}}{\displaystyle\frac{16}{10}}=\;\frac{-2\;}{10}.\frac{10}{16}=-\frac18\) olarak bulunur.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Kareköklü Sayılarda Çarpma İşlemi
✓ Kareköklü Sayılarda Bölme İşlemi

Kareköklü bir sayıyı a√b şeklinde yazmayı anlatmıştık. Bu konuda bu bilgiden de faydalanarak Kareköklü Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemi nasıl yapılır öğreneceğiz.

KAREKÖKLÜ SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ

Kareköklü sayılarla çarpma işlemi yapılırken varsa katsayılar çarpılarak sonuca katsayı olarak yazılır. Kök içindeki sayılar çarpılarak sonuçta kök içinde yazılır ve kök dışına çıkarma işlemi yapılır.\(x\sqrt a.y\sqrt b=x.y\sqrt{a.b}\)

ÖRNEK: \(4\sqrt3.2\sqrt2\) işleminin sonucunu bulalım.

Katsayıları kendi arasında kök içindeki sayıları kendi arasında çarparız.

\(4\sqrt3.2\sqrt2=4.2\sqrt{3.2}=8\sqrt6\) bulunur.

ÖRNEK: \(-3\sqrt7.5\sqrt{14}\) işleminin sonucunu bulalım.

Katsayıları kendi arasında kök içindeki sayıları kendi arasında çarparız. Kök içinden kök dışına çıkarma işlemi yapılabiliyorsa yaparız.

\(-3\sqrt7.5\sqrt{14}=-3.5\sqrt{7.14}=-15\sqrt{98}=-15\sqrt{49.2}=-15.7\sqrt2=-105\sqrt2\) bulunur.

ÖRNEK: \(4\sqrt6.\sqrt6\) işleminin sonucunu bulalım.

Başında katsayı yazmayan köklü ifadenin katsayısı 1’dir. Karekök içinin aynı olduğu durumlarda köklü sayı direk kök dışına çıkartılabilir.

\(4.1\sqrt{6.6}=4\sqrt{36}=4.6=24\) bulunur.

Karekök içinin aynı olduğu durumlarda köklü sayı direk kök dışına çıkartılabilir.\( \sqrt a.\sqrt a=a\)

ÖRNEK: Kısa kenarını uzunluğu \(3\sqrt2\) cm, uzun kenarının uzunluğu \(7\sqrt3\) cm olan dikdörtgenin alanı kaç cm²‘dir?

Dikdörtgenin alanı kenar uzunlukları çarpılarak bulunur.

\( 3.7\sqrt{2.3}=21\sqrt6\) cm² bulunur.

KAREKÖKLÜ SAYILARLA BÖLME İŞLEMİ

Kareköklü sayılarla bölme işlemi yapılırken varsa katsayılar bölünerek bölüme katsayı olarak yazılır. Sonra kök içindeki sayıların aynı kök içinde yazılır ve bölme işlemi yapılır.\(\frac{x\sqrt a}{y\sqrt b}=\frac xy\sqrt{\frac ab}\)

ÖRNEK: \(\frac{4\sqrt6}{2\sqrt3}\) işleminin sonucunu bulalım.

Katsayıları kendi arasında kök içindeki sayıları kendi arasında böleriz.

\(\frac42\sqrt{\frac63}=2\sqrt2\) bulunur.

ÖRNEK: \(\frac{\sqrt5}{\sqrt{125}}\) işleminin sonucunu bulalım.

Ortak kök içine yazarız ve 5 ile sadeleştirme yaparız.

\(\frac{\sqrt5}{\sqrt{125}}=\sqrt{\frac5{125}}=\sqrt{\frac1{25}}=\frac{\sqrt1}{\sqrt{25}}=\frac15\) olur.

ÖRNEK: Alanı \(20\sqrt{15}\) cm² olan dikdörtgenin bir kenarı \(2\sqrt5\) cm ise diğer kenarı kaç cm’dir?

Alan iki kenarın çarpımı ile bulunur. Bir kenarı verildiyse alanını bu kenar uzunluğuna bölerek diğer kenarı bulunur.

\(\frac{20\sqrt{15}}{2\sqrt5}=10\sqrt3\) bulunur.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Kareköklü Sayılarda Toplama İşlemi
✓ Kareköklü Sayılarda Çıkarma İşlemi

Kareköklü bir sayıyı a√b şeklinde yazmayı anlatmıştık.Bu konuda bu bilgiden de faydalanarak Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi nasıl yapılır öğreneceğiz.

Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yaparken, kök içleri aynı olan terimler kendi aralarında toplanır veya çıkarılır. Katsayılar arasında işlem yapılır ve bulunan sonuç ortak köke katsayı olarak yazılır.

► Toplama işlemi için \(a\sqrt x\;+\;b\sqrt x\;=\left(a+b\right)\sqrt x\) eşitliği,

► Çıkarma işlemi için ise \(a\sqrt x\;-\;b\sqrt x\;=\left(a-b\right)\sqrt x\) eşitliği yazılabilir.

ÖRNEK: \(2\sqrt3\;+\;5\sqrt3\) işlemini yapalım.

Köklerin içlerindeki sayı aynı olduğundan toplama işlemi yapabiliriz.

\(2\sqrt3\;+\;5\sqrt3=\;\left(2+5\right)\sqrt3\;=\;7\sqrt3\) bulunur.

Başında katsayı bulunmayan kareköklü sayıların katsayıları 1’dir.

ÖRNEK: Bir kenarının uzunluğu \(\sqrt7\) cm olan eşkenar üçgenin çevresini bulalım.

Çevre = \(\sqrt7+\sqrt7+\sqrt7=(1+1+1)\sqrt7=3\sqrt7\)

ÖRNEK: \(9\sqrt5-3\sqrt5\) işleminin sonucunu bulalım.

\(9\sqrt5-3\sqrt5=\left(9-3\right)\sqrt5=6\sqrt5\) bulunur.

Toplama ve çıkarma aynı anda da yapılabilir.
\(a\sqrt x\;+\;b\sqrt x\;-\;c\sqrt x\;=\left(a+b-c\right)\sqrt x\)

Karekök içindeki sayılar aynı değilse ve çarpanlarından tam kare sayı olanlar varsa kök dışına çıkarırız. ( \(a\sqrt b\) şeklinde yazarız) Bu işlem sonucunda karekök içlerindeki sayılar aynı olabilir.

ÖRNEK: \(\sqrt{75}+\sqrt{12}-\sqrt{48}\) işleminin sonucunu bulalım.

\(\begin{array}{l}=\;\;5\sqrt3\;+\;2\sqrt3\;-\;4\sqrt3\\=\;(5+2-4)\sqrt3\;=\;3\sqrt3\end{array}\)
bulunur.

Kök içleri aynı olmayan/yapılamayan sayılarla toplama çıkarma işlemi yapılmaz.
\(\sqrt2+\sqrt3\;\neq\sqrt5\)

ÖRNEK: \(-2\sqrt{50}+3\sqrt{45}-4\sqrt{98}+5\sqrt{20}\) işleminin sonucunu bulalım.

İşlemin sonucu yukarıdaki ifadedir. Daha fazla işlem yapılamaz.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Kareköklü Sayıları Karşılaştırma Nasıl Yapılır?
✓ Kareköklü Sayılarda Sıralama Nasıl Yapılır?

Bu konudan önce Kareköklü Sayılarda Katsayıyı Kök İçine Alma konusunu tekrar etmenizi tavsiye ederiz.

Kareköklü sayılarda sıralama yapmak için katsayılar kök içine alınır. Sonra kök içindeki sayılar karşılaştırılır.

\(x>y>z\) ise \(\sqrt x>\sqrt y>\sqrt z\) eşitliği vardır.

ÖRNEK: \(3\sqrt5\;,\;4\sqrt2\;,\;2\sqrt{11}\) sayılarını karşılaştıralım.

Sıralayacağımız sayılardaki katsayıları köklerin içine alalım.

► \(3\sqrt5=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{9.5}=\sqrt{45}\)

► \(4\sqrt2=\sqrt{4^2.2}=\sqrt{16.2}=\sqrt{32}\)

► \(2\sqrt{11}=\sqrt{2^2.11}=\sqrt{4.11}=\sqrt{44}\)

Bu işlemden sonra kökün içlerindeki sayılara bakarak sıralama yaparız.

\(\sqrt{45}>\sqrt{44}>\sqrt{32}\) olduğu için \(3\sqrt5>2\sqrt{11}>4\sqrt2\)‘dir.

ÖRNEK: \(2\sqrt5<A<9\sqrt3\) eşitsizliğinde A’nın alabileceği değerleri bulalım.

\(\begin{array}{l}2\sqrt5=\sqrt{20}\\9\sqrt3=\sqrt{243}\end{array}\) olduğu için A sayısı \(\sqrt{20}\) ile \(\sqrt{243}\) arasında değer alabilir.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ a√b Şeklinde Sayılarda Katsayıyı Kök İçine Alma

KATSAYI NASIL KAREKÖK İÇİNE ALINIR?

Kareköklü bir sayıyı a√b şeklinde yazmayı anlatmıştık. Şimdi ise katsayı kök içine nasıl alınır öğreneceğiz.

Katsayı karekök içine alınırken katsayının karesi alınarak (kendisi ile çarpılarak) kök içindeki sayı ile çarpılır ve kök içine yazılır.

\(a\geq0\) olmak üzere \(a\sqrt b\;=\sqrt{a^2.b}\) eşitliği vardır.

ÖRNEK: \(2\sqrt3\) sayısında katsayıyı kök içine alalım.

\(2\sqrt3\;=\;\sqrt{2^2.3}\;=\;\sqrt{4.3}\;=\sqrt{12}\) olur.

ÖRNEK: Aşağıdaki kareköklü sayılarda katsayıyı kök içine alalım.

► \(3\sqrt3=\sqrt{3^2.3}=\sqrt{9.3}=\sqrt{27}\)

► \(4\sqrt5=\sqrt{4^2.5}=\sqrt{16.5}=\sqrt{80}\)

► \(7\sqrt2=\sqrt{7^2.2}=\sqrt{49.2}=\sqrt{98}\)

► \(12=\sqrt{12^2}=\sqrt{144}\)

► \(\frac12\sqrt8\;=\sqrt{\left(\frac12\right)^2.8}=\sqrt{\frac14.8}=\sqrt{\frac84}=\sqrt2\)

Karekök dışındaki sayı negatif ise “–” kök dışında bırakılır.

ÖRNEK: \(-2\sqrt5\) sayısında katsayıyı kök içine alalım.

\(-2\sqrt5\;=\;-\sqrt{2^2.5}\;=\;-\sqrt{4.5}\;=-\sqrt{20}\) bulunur.

Katsayıyı karekök içine alma konusu Kareköklü Sayılarda Sıralama konusunda sıklıkla kullanacağız.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

KAREKÖKTEN SAYI NASIL ÇIKARILIR?

Tam kare sayıları karekökten çıkarmayı Kareköklü Sayılar ve Tam Kare Sayılar konusunda anlatmıştık. Şimdi ise tam kare olmayan sayıların çarpanlarını kökten çıkarmayı öğreneceğiz.

Kareköklü bir sayıyı \(a\sqrt b\) şeklinde yazmak için karekök içindeki sayı çarpanlarından en az biri tam kare sayı olacak şekilde iki sayının çarpımı olarak yazılır. Tam kare olan çarpanların karekökleri, karekök dışına katsayı olarak yazılır.
\(a\geq0\) olmak üzere \(\sqrt{a^2.b}=a\sqrt b\) eşitliği vardır.

Karekök içindeki sayının çarpanlarından hiçbiri tam kare sayı değilse karekök dışına çıkarılamaz.

ÖRNEK: \(\sqrt{72}\) sayısını \(a\sqrt b\) şeklinde yazalım. Bu işlemi 2 farklı yolla yapabiliriz.

1. YOL: 72’yi birisi tam kare olmak şartıyla iki sayının çarpımı şeklinde kökün içine yazarız.
Tam kare olan çarpan kök dışına çıkartılır. Diğer çarpanın 1’den büyük tam kare çarpanı yoksa kök içinde kalır.

2. YOL: 72’yi asal çarpanlarına ayırırız. Eşi olan sayıları ikişerli eşleştiririz. Eşleşen bu çiftler karekök dışına çıkabilir. Sonuç olarak kök dışına çıkan sayılar çarpılarak kökün dışına, eşleşmeyen sayılar çarpılarak kökün içine yazılır.

ÖRNEK: Aşağıdaki kareköklü sayıları \(a\sqrt b\) şeklinde yazalım.

► \(\sqrt8=\sqrt{4.2}=2\sqrt2\)

► \(\sqrt{27}=\sqrt{9.3}=3\sqrt3\)

► \(\sqrt{75}=\sqrt{25.3}=5\sqrt3\)

► \(\sqrt{98}=\sqrt{49.2}=7\sqrt2\)

► \(\sqrt{200}=\sqrt{100.2}=10\sqrt2\)

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Tam Kare Olmayan Sayılar
✓ Yaklaşık Değer Bulma
✓ Karekökünü Tahmin Etme

Bu konuya başlamadan önce Kareköklü Sayılar ve Tam Kare Sayılar Konu Anlatımı sayfamıza bir göz atıp tekrar etmeniz faydalı olacaktır.

TAM KARE OLMAYAN SAYILAR

1, 4, 9, 16, 25, … gibi sayılara tam kare sayılar denildiğini öğrenmiştik. Bu sayılar dışındaki sayılara tam kare olmayan sayılar diyoruz. Bu konumuzda tam kare olmayan sayıların kareköklerinin hangi sayılar arasında olduğunu bulmayı ve tam kare olmayan sayıların yaklaşık değerini en yakın onda birliğe kadar tahmin etme yöntemini öğreneceğiz.

Hangi İki Sayı Arasında?

Tam kare sayıların karekökleri doğal sayıdır. Ancak tam kare olmayan sayıların karekökleri ne bir doğal sayıdır, ne bir tam sayıdır, ne de bir rasyonel sayıdır. Bu sayılara irrasyonel sayılar denildiğini daha sonra öğreneceğiz. Şimdi tam kare olmayan sayıların karekökleri hangi sayılar arasında yer alır bulalım.

Tam kare olmayan sayıların kareköklerinin hangi sayılar arasında olduğunu bulmak için sayının hangi tam kare sayılar arasında olduğunu buluruz. Sayının karekökü bu tam kare sayıların karekökleri olan sayılar arasındadır.

ÖRNEK: \(\sqrt8\) sayısının hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulalım.

8’ye en yakın 8’den büyük ve 8’den küçük tam kare sayıları buluruz.

8’den küçük 8’e en yakın tam kare sayı = 4

8’den büyük 8’e en yakın tam kare sayı = 9’dur.

\(\sqrt8\)‘nin değeri bu tam kare sayıların karekökleri arasındadır.

\(\begin{array}{l}\;\;\;4\;<\;\;\;8\;\;<\;\;9\\\sqrt4\;<\;\sqrt8\;<\;\sqrt9\\\;\;\;2\;<\;\sqrt8\;<\;\;\;3\end{array}\) yazılır.

\(\sqrt8\)‘nin değeri 2 ile 3 arasındadır.

ÖRNEK: Alanı 77 cm² olan karenin bir kenar uzunluğu hangi tam sayılar arasındadır?

Alanı verilen bir karenin kenar uzunluğunu bulmak için alanının karekökünü bulmalıyız.

\(\begin{array}{l}\;\;\;64\;<\;\;\;77\;\;<\;\;81\\\sqrt{64}\;<\;\sqrt{77}\;<\;\sqrt{81}\\\;\;\;\;8\;\;<\;\sqrt{77}\;<\;\;\;9\end{array}\) olur.

Bu karenin bir kenarının uzunluğu 8 ile 9 arasında bir sayıdır.

Kareköklü Bir Sayının Yaklaşık Değerini Tahmin Etme

Tam kare olmayan bir sayının karekökünün hangi sayılar arasında olduğunu bulduk. Şimdi ise biraz daha yakın bir tahmin yapmayı bir örnekle öğrenelim.

ÖRNEK: \(\sqrt{77}\) sayısının yaklaşık değerini tahmin edelim.

\(\sqrt{77}\)’nin 8 ile 9 arasında olduğunu bulmuştuk.

\(\sqrt{77}\)’nin 8’e mi 9’a mı daha yakın olduğunu bulalım:

77 sayısı 81’e 64’ten daha yakın olduğu için

\(\sqrt{77}\)’nin 9’a daha yakın olduğunu da söyleyebiliriz.

Şimdi ise tahminimizi onda birler basamağına kadar geliştirelim. Bu işlemi sayı doğrusunda temsil ederek anlatalım.

Kesirler konusunda öğrendiğimiz bilgilere dayanarak \(\sqrt{77}\)‘nin 8 ile 9 arasındaki yerini yaklaşık olarak \(8\frac{13}{17}\) tahmin ederiz.

Bu kesirde paya 77-64=13 yazdık, paydaya ise 81-64=17 yazdık.

Şimdi ise bu kesri ondalık kesre çevirmek için 13’ü 17’ye böleriz.

Tahminimizi onda birler basamağına kadar yapacağımız için virgülden sonra bir basamak bulmamız yeterli.

Bu yöntem ile \(\sqrt{77}\)‘nin yaklaşık değerini 8,7 olarak tahmin ettik.

\(\sqrt{77}\) ‘nin gerçek değeri ise = 8,774964387392122060406388307416…

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN: