MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

1) ARİTMETİK ORTALAMA

Verilerin toplamının veri sayısına bölümüyle elde edilir.

ÖRNEK: 2, 5, 11 sayılarının aritmetik ortalamasını bulalım.

$\frac{2+5+11}{3}=\frac{18}{3}=6$

2) MOD (TEPE DEĞER)

Bir dizideki en çok tekrar eden sayı o dizinin tepe değeridir.

# Veri grubunda her veri sadece bir kez verilmişse tepe değeri hesaplanamaz.

# Tepe değeri birden fazla olabilir.

ÖRNEK: 3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 10 veri grubunun tepe değerini bulalım.

En çok tekrar eden veri 7 olduğu için tepe değer 7’dir.

3) MEDYAN (ORTANCA DEĞER)

Bir dizideki sayılar, küçükten büyüğe doğru sıralanır. Ortadaki sayı bu dizinin medyanıdır.

# Eğer veri sayısı çift ise medyanı bulmak için ortadaki iki verinin aritmetik ortalaması alınır.

ÖRNEK: 3, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 18 veri grubunun ortanca değerini bulalım.

Veriler sıralanmış bir şekilde verilmiş. Veri grubunun tam ortasında iki tane sayı olduğu için bu sayıların ortalaması medyandır.

\(\frac{8+9}2=\frac{17}2=8,5\)

MERKEZİ YAYILMA ÖLÇÜLERİ

1) AÇIKLIK

Dizideki en büyük sayıdan en küçük sayı çıkarılarak bulunan sayı dizinin açıklığıdır.

ÖRNEK: 3, 6, 1, 12, 7 veri grubunun açıklığını bulalım.

En büyük veri 12, en küçük veri 1 olduğu için açıklık = 12 − 1 = 11’dir

2) ÇEYREKLER AÇIKLIĞI

Dizideki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanır ve bu dizi tam ortadan iki gruba ayrılır. (medyandan)

Büyük olan grubun ortanca değerine üst çeyrek, küçük olan grubun ortanca değerine alt çeyrek denir.

Üst çeyrekle alt çeyreğin farkına çeyrekler açıklığı denir.

ÖRNEK: 12, 15, 20, 22, 25, 29, 32 veri grubunun çeyrekler açıklığını bulalım.

Verileri ortadan iki gruba ayırırız. 22 tam ortadadır ve iki gruba da dahil değildir.

Üst Grup: 25, 29, 32’dir. Bu grubun ortanca değerine üst çeyrek diyoruz. Üst Çeyrek = 29

Alt Grup: 12, 15, 20’dir. Bu grubun ortanca değerine alt çeyrek diyoruz. Alt Çeyrek = 15

Çeyrekler Açıklığı = 29 − 15 = 14’tür.

3) STANDART SAPMA

Dizideki her bir sayının aritmetik ortalama ile farklarının karelerinin veri sayısının bir eksiğine bölümünün kareköküne standart sapma denir. (Evet biraz karışık bir tanım oldu, aşağıda açıklayalım =)

# Tablolar, histogram, çizgi ve sütun grafikleri istatistiksel temsil biçimleridir.

STANDART SAPMA NEDİR?

TANIM: Aritmetik ortalamaları birbirine yakın veya eşit olan iki veri grubundaki çok büyük veya çok küçük değerler verilerin dağılımını etkiler. Bu durumda veri gruplarının merkezi yayılma ölçülerinden olan açıklığına veya çeyrekler açıklığına bakılır. Bu değerler veri gruplarının üst ve alt bölgelerinde yer alan ve verilerin yayılımını etkileyen değerler hakkında tam olarak bilgi vermeyebilir. Bu durumda bir başka merkezî yayılma ölçüsü olan standart sapma kullanılır.

# Standart sapma verilerin aritmetik ortalamaya göre nasıl bir yayılım gösterdiğini anlatır.

# Aritmetik ortalamaları aynı olan farklı veri gruplarından; açıklığı küçük olanın standart sapması küçük, açıklığı büyük olanın standart sapması büyüktür.

# Standart sapmanın küçük olması bir veri grubundaki değerlerin birbirine yakın olduğunu gösterir. Standart sapmanın büyük olması ise veri grubundaki değerlerin birbirinden uzak olduğunu gösterir.

# Standart sapmanın küçük olması, ortalamadan sapmanın ve riskin azlığının; büyük olması ise ortalamadan sapmanın ve riskin çokluğunun bir göstergesidir.

STANDART SAPMA NASIL HESAPLANIR?

Standart sapma hesaplama aşağıdaki adımları takip edilerek yapılır.

1. ADIM) Verilerin aritmetik ortalaması bulunur.

2. ADIM)  Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki farkın kareleri toplanır.

3. ADIM) Bulunan toplam veri sayısının bir eksiğine bölünerek karekökü alınır.

ÖRNEK:  Aşağıdaki veri grubunun standart sapmasını hesaplayalım.

10, 11, 13, 16, 20

1. ADIM) Önce aritmetik ortalamayı hesaplarız. Bunun için verileri toplar, veri sayısına böleriz.

10+11+13+16+20 = 70

70÷5 = 14

2. ADIM) Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki farkı buluruz ve karelerini toplarız.

3. ADIM) Bulduğumuz sayıyı veri sayısının bir eksiğine bölerek karekökünü alırız.

\(\sqrt{\frac{66}{5-1 }}=\sqrt{\frac{66}{4 }}=\sqrt{16,5 }\cong4\) bulunur.

ÖRNEK: İki öğrencinin bir hafta içinde okudukları kitap sayfa sayıları aşağıda verilmiştir. Bu öğrencilerin kitap okuma performanslarını değerlendirelim.

ÇÖZÜM:  Hangi öğrencinin günlük kitap okuması fazla bulalım.

1. Öğrencinin Günlük Ortalaması: \(\begin{array}{l}\frac{10+25+15+20+10}5=\frac{80}5=16\\\end{array}\)

2. Öğrencinin Günlük Ortalaması: \(\begin{array}{l}\frac{15+10+35+5+15}5=\frac{80}5=16\\\end{array}\)

İki öğrenci de günlük ortalama 16 sayfa kitap okumuştur. Ortalamaları eşit olduğu için bu öğrenciler arasında daha iyi bir değerlendirme yapabilmek için standart sapmalarına bakarız. Standart sapması düşük çıkan öğrenci daha istikrarlıdır.

1. Öğrencinin Standart Sapması:

\(\begin{array}{l}\sqrt{\frac{\left(16-10\right)^2+\left(16-25\right)^2+\left(16-15\right)^2+\left(16-20\right)^2+\left(16-10\right)^2}{5-1}}\\=\sqrt{\frac{6^2+9^2+1^2+4^2+6^2}4}=\sqrt{\frac{36+81+1+16+36}4}\\=\sqrt{\frac{170}4}=\sqrt{42,5}\cong6,5\end{array}\) bulunur.

 2. Öğrencinin Standart Sapması:

\(\begin{array}{l}\sqrt{\frac{\left(16-15\right)^2+\left(16-10\right)^2+\left(16-35\right)^2+\left(16-5\right)^2+\left(16-15\right)^2}{5-1}}\\=\sqrt{\frac{1^2+6^2+19^2+11^2+1^2}4}=\sqrt{\frac{1+36+361+121+1}4}\\=\sqrt{\frac{520}4}=\sqrt{130}\cong11,4\end{array}\) bulunur.

YORUM:

İki öğrencinin günlük ortalama okudukları sayfa sayıları aynıdır. Ancak ilk öğrencinin standart sapması, ikinci öğrenciden düşüktür.

(Birinci öğrencinin standart sapmasının düşük çıkacağını açıklıklara bakarak da anlayabilirdik.)

Standart sapmanın düşük olması bu öğrencinin kitap okuma konusunda daha istikrarlı olduğunu, günlük okuduğu sayfa sayısının daha düzenli olduğunu gösterir.

Bu konuya başlamadan önce Olasılık Konu Anlatımına göz atmanızda fayda var.

OLAY ÇEŞİTLERİ

1) BAĞIMSIZ OLAY

# Bir olayın gerçekleşip gerçekleşmediği diğer bir olayın gerçekleşmesine bağlı değil ise yani bir olayın sonucu diğer olayın sonucunu etkilemiyorsa böyle olaylara bağımsız olaylar denir.

ÖRNEK: Bir madeni para ile bir zar birlikte havaya atılıyor. Zarın üst yüzüne çift sayı gelmesi ve paranın da tura gelmesi olayını inceleyelim.

Zarın üst yüzünde çift sayı gelmesi paranın tura gelmesini etkilemez.

Benzer şekilde paranın tura gelmesi de zarın çift gelmesini etkilemez.

Bu yüzden bu iki olay bağımsız olaylardır.

ÖRNEK: Bir torbada 1’den 10’a kadar numaralandırılmış 10 tane eş kart vardır. Çekilen kart geriye atılmak şartıyla rastgele seçilen iki karttan ilkinin 5, ikincisinin 6 olması olayını inceleyelim.

Torbadan çekilen kart geri atıldığı için ilk çekilen kart ikinci çekilecek kartı etkilemeyecektir. Torba içinde herhangi bir değişiklik olmayacaktır. Bu yüzden bu iki olay bağımsız olaylardır.

2) BAĞIMLI OLAY

# Bir olayın gerçekleşip gerçekleşmediği diğer bir olayın gerçekleşmesine bağlı ise yani bir olayın sonucu diğer olayın sonucunu etkiliyorsa böyle olaylara bağımlı olaylar denir.

ÖRNEK: Bir sınıftaki öğrencilerin isimleri kartlara yazılıp torbaya atılıyor. Çekilen kartı torbaya geri atmamak şartıyla art arda çekilen iki karttan ilki sınıf başkanı, ikincisi sınıf yardımcısı olacaktır.

Başkan seçilen kişi yardımcı olamayacağı için, yani seçilen kartı tekrar seçemeyeceğimiz için (torbaya geri atılmıyor) bu iki olay bağımlı olaylardır.

BAĞIMLI MI BAĞIMSIZ MI?

# İki veya daha fazla olayın bağımlı olaylar mı bağımsız olaylar mı olduklarını anlamak için aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

# Arka arkaya iki defa atılan bir madeni paranın üst yüzüne her iki atışta da tura gelmesi. (BAĞIMSIZ)

# İki zarın aynı anda havaya atılması deneyinde zarların üst yüzeyine gelen sayıların 3’ten küçük olması. (BAĞIMSIZ)

# Bir torbada 1 mavi, 5 yeşil , 4 kırmızı bilye vardır. Çekilen bilye geri atılmamak koşuluyla art arda çekilen iki bilyenin farklı renkte olması. (BAĞIMLI)

# Bir torbada 1 mavi, 5 yeşil , 4 kırmızı bilye vardır. Çekilen bilye geri atılmak koşuluyla art arda çekilen iki bilyenin farklı renkte olması. (BAĞIMSIZ)

BAĞIMLI VE BAĞIMSIZ OLAYLARIN OLASILIK HESABI

1) BAĞIMSIZ OLAYLARIN OLASILIĞI NASIL HESAPLANIR?

# Bağımsız olan birden fazla olayın birlikte gerçekleşmesi olasılığını hesaplamak için bu olayları olma olasılıklarını ayrı ayrı hesaplayıp çarparız.

# P(A ve B) = P(A∩B) = P(A) . P(B)

ÖRNEK: Bir madeni para ile bir zar birlikte havaya atılıyor. Zarın üst yüzüne çift sayı gelmesi ve paranın tura gelmesi olasılığını hesaplayalım.

Zarda çift sayı gelme olayı “A” olayı olsun. Zarda 6 tane yüzey vardır ve bu yüzeylerden 3 tanesi çift sayıdır.

$P\left(A\right)=\frac{s\left(A\right)}{s\left(Ö\right)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Paranın tura gelme olayı “B” olayı olsun. Parada 2 ihtimal vardır ve bunlardan biri turadır.

$P\left(B\right)=\frac{s\left(B\right)}{s\left(Ö\right)}=\frac{1}{2}$

Bu iki bağımsız olayın birlikte gerçekleşme olasılığını bulmak için bu iki olasılığı çarparız.

$P(A\cap B)=P\left(A\right).P\left(B\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

ÖRNEK: Bir torbada 1’den 10’a kadar numaralandırılmış 10 tane eş kart vardır. Çekilen kart geriye atılmak şartıyla art arda rastgele seçilen iki karttan ilkinin asal sayı, ikincisinin 5 olması olayını inceleyelim.

Torbada 10 kart var ve üzerinde asal sayı yazan (2,3,5,7) 4 kart var.

$P\left(A\right)=\frac{s\left(A\right)}{s\left(Ö\right)}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

Torbada 10 kart var ve üzerinde 5 yazan sadece 1 kart var.

$P\left(B\right)=\frac{s\left(B\right)}{s\left(Ö\right)}=\frac{1}{10}$

Şimdi bu iki bağımsız olayın gerçekleşme olasılığını bulalım.

$P(A\cap B)=P\left(A\right).P\left(B\right)=\frac{2}{5}.\frac{1}{10}=\frac{2}{50}=\frac{1}{25}$

2) BAĞIMLI OLAYLARIN OLASILIĞI NASIL HESAPLANIR?

# Bağımlı olan birden fazla olayın birlikte gerçekleşmesi olasılığını hesaplamak için bu olayları olma olasılıklarını birbirlerine etkilerini düşünerek hesaplayıp çarparız. B olayı A olayına bağlı ise bu olayların olma olasılıkları aşağıdaki şekilde hesaplanır.

# P(A ve B) = P(A∩B) = P(A) . P(A’ya bağlı B)

ÖRNEK: İçinde 30 kalem bulunan bir kutudaki kalemlerin 12’si kurşun kalem, 18’i tükenmez kalemdir. Kutudan rastgele bir kalem seçiliyor ve kutuya geri atılmıyor. Kutudan bir kalem daha seçiliyor. 

a) Seçilen birinci kalemin kurşun kalem, ikinci kalemin tükenmez kalem olma olasılığını hesaplayalım.

Burada bir kalem seçilince geri atılmadığı için bu olaylar bağımlı olaylardır. Bu yüzden ikinci seçimimizde kutudaki kalem sayısındaki azalmaya dikkat etmeliyiz.

Birinci kalemin kurşun kalem olma olasılığı;

$P\left(K\right)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$

İkinci kalemin tükenmez kalem olma olasılığı;

(İlk seçtiğimiz kurşun kalemden dolayı toplam kalem sayısı 1 azalıyor.)

$P\left(T\right)=\frac{18}{29}$

Bu iki bağımlı olayın birlikte gerçekleşme olasılığını bulmak için bu iki olasılığı çarparız.

$P(K ve T)=\frac{2}{5}.\frac{18}{29}=\frac{36}{145}$

b) Seçilen iki kaleminde kurşun kalem olma olasılığını bulalım.

Birinci kalemin kurşun kalem olma olasılığı;

$P\left(K\right)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$

İkinci kalemin de kurşun kalem olma olasılığı;

(İlk seçtiğimiz kalem kurşun kalem olduğu için hem kurşun kalem sayısı hem toplam kalem sayısı 1 azalıyor.)

$P\left(L\right)=\frac{11}{29}$

Bu iki bağımlı olayın birlikte gerçekleşme olasılığını bulmak için bu iki olasılığı çarparız.

$P(K ve L)=\frac{2}{5}.\frac{11}{29}=\frac{22}{145}$

Yazar: www.matematikciler.com

OLASILIK VE OLAY ÇEŞİTLERİ TESTİ ÇÖZ

OLASILIK İLE İLGİLİ TEOG’DA ÇIKMIŞ SORULAR