BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Üçgenlerde Benzerlik Problemleri nasıl çözülür?
Üçgenlerde eşlik ve benzerlik konusundan sonra öğrendiğimiz bu bilgileri problem çözmede kullanalım. Bu konuya geçmeden önce eşlik benzerlik konusunu tekrar etmenizde fayda var: Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik
PROBLEM-1
Resimdeki büyük ve küçük ağaçların gölgelerinin bitim noktaları aynıdır. İki ağaç arasındaki uzaklık 10 m, küçük ağacın gölgesi 4 m ve küçük ağacın boyu 2 m ise büyük ağacın boyu kaç metredir?
ÇÖZÜM: Şekilde oluşan üçgenleri çizersek, bu üçgenlerin Açı Açı benzerlik şartını sağladığını görürüz ve benzerlik oranlarını şu şekilde yazarız: \(\begin{array}{l}\frac{\left|ED\right|}{\left|EB\right|}=\frac{\left|CD\right|}{\left|AB\right|}\\\frac4{14}=\frac2x\end{array}\)
İçler-dışlar çarpımı yaparız ve x’in değerini buluruz.
Sehpanın üzerinde duran 20 cm boyundaki bir vazoya 40 cm uzaklıktan, karanlık bir ortamda ışık tutuluyor. 80 cm uzaklıktaki duvarda oluşan vazonun gölgesi kaç santimetre boyundadır?
ÇÖZÜM: Şekilde oluşan üçgenleri çizersek, bu üçgenlerin Açı Açı benzerlik şartını sağladığını görürüz ve benzerlik oranlarını şu şekilde yazarız: \(\frac{20}{40}=\frac x{120}\)
İçler-dışlar çarpımı yaparız ve x’in değerini buluruz.
Resimde verilen kişinin boyu 170 cm olduğuna göre ağacın boyu kaç cm’dir?
ÇÖZÜM: Şekilde oluşan üçgenleri çizersek, bu üçgenlerin Açı Açı benzerlik şartını sağladığını görürüz ve benzerlik oranlarını şu şekilde yazarız: \(\frac26=\frac{170}x\)
İçler-dışlar çarpımı yaparız ve x’in değerini buluruz.
BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:
✓ Eşlik ve benzerliği ilişkilendirir, eş ve benzer şekillerin kenar ve açı ilişkilerini belirler.
✓ Benzer çokgenlerin benzerlik oranını belirler, bir çokgene eş ve benzer çokgenler oluşturur.
Şimdi 5’in toplama işlemine göre tersini bulalım. 5’in tersi demek 5 ile hem sağdan hem de soldan toplandığında etkisiz elemana eşit olacak sayı demektir. 5’in toplama işlemine göre tersi –5’tir
Trigonometri kelimesi Yunanca trigōnon (üçgen) ve metron (ölçmek) kelimelerinin birleşmesiyle oluşmuştur. Trigonometri, üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinen bir matematik dalıdır. Trigonometri günümüzde ekonomi, fizik ve mühendislik alanlarında sıkça kullanılmaktadır.
DİK ÜÇGENDEKİ ORANLAR
Dik üçgende 90 derece dışındaki diğer açılardan birini seçelim. Örneğin resimde A açısı seçilmiştir.
Trigonometrik oranları yazarken resimdeki gibi bir isimlendirme kullanacağız. 90 derecenin karşısındaki kenara hipotenüs, seçtiğimiz açının karşısındaki kenara karşı kenar, geriye kalan ve açının bir kolu olan kenara ise komşu kenar diyeceğiz. İsimlendirme işinde de anlaştığımıza göre gelelim bu kenarları oranlamaya.
SİNÜS
Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına o dar açının sinüsü denir. Bir A açısının sinüsü “sin A” şeklinde gösterilir.
KOSİNÜS
Bir dik üçgende, bir dar açının komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına o dar açının kosinüsü denir. Bir A açısının kosinüsü “cos A” şeklinde gösterilir.
TANJANT
Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranına o dar açının tanjantı denir. Bir A açısının tanjantı “tan A” şeklinde gösterilir.
KOTANJANT
Bir dik üçgende, bir dar açının komşu dik kenar uzunluğunun karşısındaki dik kenar uzunluğuna oranına o dar açının kotanjantı denir. Bir A açısının kontanjantı “cot A” şeklinde gösterilir.
ÇIKARILACAK DERSLER
Yukarıdaki trigonometrik oranları incelediğinizde aşağıdaki yazılanların bazılarını (belki hepsini) keşfetmiş olabilirsiniz. Ama biz yine de yazalım. # Birbirini 90 dereceye tamamlayan (birbirinin tümleri olan) iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir. # Birbirini 90 dereceye tamamlayan (birbirinin tümleri olan) iki açıdan birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına eşittir. # Bir dar açının tanjantı ile kotanjantı birbirinin çarpmaya göre tersidir. (Çarpmaya göre tersi?)
“Komşu/Hipotenüs Sinüs müydü, Kosinüs müydü?” veya “Komşu / Karşı Tanjant mıydı, Kotanjant mıydı?” gibi sorulara çözüm olarak şöyle bir yöntem izleyebilirsiniz. “Ko” ile başlayanların (yani kosinüs ve kotanjant) payında komşu var.
ÖZEL DİK ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ORANLAR
30 – 60 – 90 ÜÇGENİ
Eşkenar üçgende bir kenara ait yükseklik çizilirse oluşan iki dik üçgenin de açıları 30° – 60° – 90° olur. Bu eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğunu 2a kabul edersek, oluşan dik üçgenlerde 30 derecelik açının karşısı a olur çünkü yükseklik aynı zamanda kenarortaydır. Yüksekliğin uzunluğunu da Pisagor Bağıntısından bulabiliriz. Bu kenarları oranlarsak aşağıdaki trigonometrik oranları elde ederiz.
Buradan şu sonuçlara da varabiliriz. 30-60-90 üçgeninde: # Hipotenüsün uzunluğu 30 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun 2 katıdır. # 60 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğu, 30 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun \(\sqrt3\) katıdır.
45- 45 – 90 ÜÇGENİ
İkizkenar bir dik üçgenin açıları 45° – 45° – 90° ‘dir. Bu ikizkenar dik üçgenin dik kenarlarının uzunluğunu a kabul edersek hipotenüsün uzunluğunu Pisagor Bağıntısından \(a\sqrt2\) buluruz. Bu kenarları oranlarsak aşağıdaki trigonometrik oranları elde ederiz.
Buradan şu sonuca da varabiliriz. 45-45-90 üçgeninde: # Hipotenüsün uzunluğu diğer kenarların uzunluğunun \(\sqrt2\) katıdır.
30° – 45° – 60° AÇILARININ TRİGONOMETRİK ORAN TABLOSU
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Pisagor Teoremi Nedir?
✓ Pisagor Teoremi Ne İşe Yarar?
✓ Kenar Uzunlukları Tam Sayı Olan Özel Dik Üçgenler
PİSAGOR KİMDİR?
Pisagor M.Ö. 500’lü yıllarda yaşamış Yunan filozof ve matematikçisidir. Matematik ve Müziği buluşturan Pisagor, kendi adıyla anılan Pisagor Teoremi ile meşhurdur. Pisagor’un hayatı hakkında daha fazla bilgi için: Pisagor’un hayatı
PİSAGOR BAĞINTISI NEDİR?
Mısır’da Nil Nehri’nde bahar aylarında meydana gelen taşkınlar nedeniyle arazi sınırları sürekli değişiyor bu nedenle de arazilerin sınırlarının sıklıkla yeniden belirlenmesi gerekiyordu. Bu amaçla dik kenar uzunlukları bilinen dik üçgenlerin hipotenüs uzunluğunu veren bir bağıntı kullanılıyordu. Yunanlı matematikçi Pisagor’un (Pythagoras) adıyla anılan Pisagor bağıntısında bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir. Bu bağıntının ilk kez ne zaman ve kimin tarafından kullanıldığı tam olarak bilinmemekle beraber, bağıntının ilk kez Pisagor tarafından ispat edildiği düşünülmektedir.1
PİSAGOR BAĞINTISI NE İŞE YARAR?
Pisagor bağıntısını kullanarak bir dik üçgende herhangi iki kenarın uzunluğunu biliyorsak üçüncü kenarın uzunluğunu bulabiliriz. Ayrıca kenar uzunlukları verilen bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını, hatta dar açılı üçgen mi geniş açılı üçgen mi olduğunu belirleyebiliriz.
DİK ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI
Bildiğiniz gibi bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90 derecelik açının karşısındaki kenarın özel bir adı vardır. 90 derecelik açının karşısındaki kenara hipotenüs adı verilir. Bu kenarın en uzun kenar olduğunu zaten Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları konusundan biliyorsunuz. Hipotenüs dışında geriye kalan birbirine dik olan kenarlara da dik kenarlar diyoruz.
Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. Dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki bu ilişkiye Pisagor bağıntısı denir.
Şimdi gelin pisagor bağıntısını bir örnekte kullanalım.
ÖRNEK: Dik kenarlarının uzunlukları 3 cm ve 4 cm olan bir dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğu kaç santimetredir?
ÇÖZÜM: Hipotenüsün uzunluğuna x diyerek pisagor bağıntısını yazarsak:
Burada bize x’in kaç olduğu lazım. x’in karesi 25’miş. “Hangi sayının karesi 25’tir?” sorusunu sorarak cevabı 5 buluruz. Tabi işler her zaman bu kadar kolay olmayabilir. Hipotenüsün karesi her zaman tam kare bir sayı olmayabilir. O yüzden şöyle bir yol izleyelim. “Bu sayı hangi sayının karesidir?” diye kendimize sormaktansa bu soruyla aynı anlamı taşıyan karekök alma işlemini kullanalım. Burada her iki tarafın karekökünü alabiliriz.
\(x^2=25\)\(\sqrt{x^2}=\sqrt{25}\)
\(x=5 \) bulunur.
x2 karekök dışına x olarak çıkar, 25 de karekök dışına 5 olarak çıkar ve sonuca ulaşırız.
ÖRNEK: Hipotenüsünün uzunluğu 13 m olan ve dik kenarlarından birinin uzunluğu 5 m olan bir dik üçgenin diğer dik kenarının uzunluğunu bulalım.
ÇÖZÜM: Bu sefer verilmeyen dik kenarın uzunluğuna x diyeceğiz ve pisagor teoremini buna göre yazacağız:
Bilinmeyeni yalnız bırakma adına +25’i eşitliğin karşı tarafına –25 olarak gönderdik. Bilinmeyeni bulmak için her iki tarafın karekökünü aldık ve cevabı 12 metre bulduk.
Hipotenüsün uzunluğunun ve bir dik kenarın uzunluğunun verildiği sorularda diğer dik kenarın uzunluğunun karesini bulmak için hipotenüsün uzunluğunun karesinden verilen dik kenarın uzunluğunun karesini çıkarırız.
Örneklerde de gördüğümüz gibi bazı üçgenler var ki kenar uzunluklarının hepsi tam sayı. Bu üçgenler sorularda sıkça sorulmaktadır. Elbette bunları ezberlemek zorunda değiliz. Pisagor bağıntısı kullanarak verilmeyen kenar uzunluğunu bulabiliriz. Ancak bunları bilmek soru çözümünde size zaman kazandırır ki zaten sorularda karşınıza çıka çıka bunlardan bazılarını istemeden de olsa ezberleyeceksiniz 🙂
Burada yazan üçgenlerde en uzun kenarın hipotenüs olduğunu unutmayın. Sonra soruda 3’ü ve 4’ü görüp dik kenarlardan birine 5 yazmayın. (Bildiğiniz gibi dik kenarlar, hipotenüsten kısa olmak zorundadır.)
3 – 4 – 5 üçgeni
5 – 12 – 13 üçgeni
6 – 8 – 10 üçgeni (3-4-5’in 2 katı)
7 – 24 – 25 üçgeni
8 – 15 – 17 üçgeni
9 – 12 – 15 üçgeni (3-4-5’in 3 katı)
…. şeklinde bu liste sonsuza kadar uzatılabilir. Burada yazanlar sıkça karşınıza çıkabilecek olanlardır. Bunların katları da alınabilir.
(1) MEB Yayınları 8. Sınıf Matematik Ders Kitabı 2014 Baskı
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Üçgenlerde Eşlik Nedir?
✓ Üçgenlerde Benzerlik Nedir?
✓ Üçgenlerde Eşlik Şartları
✓ Üçgenlerde Benzerlik Şartları
ÜÇGENLERDE EŞLİK
► İki üçgenin karşılıklı kenarının uzunlukları ve açılarının ölçüleri birbirine eşit ise bu üçgenler eş üçgenlerdir.
► İki üçgenin eşliği “≅” sembolü ile gösterilir. Sembolle gösterirken eş olan açılar aynı sırada yazılmalıdır.
ÜÇGENLERDE EŞLİK ŞARTLARI
İki üçgenin karşılıklı tüm kenarlarının uzunlukları ve tüm açılarının ölçüleri eşitse bu iki üçgen eştir. Ancak iki üçgenin tüm kenarları ve tüm açıları her zaman verilmeyebilir. Böyle durumlarda bu kısıtlı verilere bakarak da biz iki üçgenin eş olup olmadığına kanaat getirebiliriz. Bunun için aşağıdaki eşlik şartlarını kullanırız. Eğer iki üçgen arasında bu şartlardan biri sağlanıyorsa bu iki üçgen eştir diyebiliriz.
1) Kenar – Kenar – Kenar Eşlik Şartı (KKK)
► İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında karşılıklı tüm kenar uzunlukları eşit ise bu üçgenler eş üçgenlerdir. Buna; Kenar – Kenar – Kenar (KKK) eşlik şartı denir.
ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Kenar-Kenar-Kenar eşlik şartına göre eştir.
2) Kenar – Açı – Kenar Eşlik Şartı (KAK)
► İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında ikişer kenar uzunlukları ve bu iki kenar arasında kalan açılarının ölçüleri eşit ise bu üçgenler eş üçgenlerdir. Buna; Kenar – Açı – Kenar (KAK) eşlik şartı denir.
ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Kenar-Açı-Kenar eşlik şartına göre eştir.
3) Açı – Kenar – Açı Eşlik Şartı (AKA)
► İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında ikişer açılarının ölçüleri ve bu iki açı arasında kalan kenar uzunlukları eşit ise bu üçgenler eş üçgenlerdir. Buna; Açı – Kenar – Açı (AKA) eşlik şartı denir.
ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Açı-Kenar-Açı eşlik şartına göre eştir.
4) Kenar – Açı – Açı Eşlik Şartı (KAA)
► İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında ikişer açılarının ölçüleri ve bu açılardan herhangi birinin karşısındaki kenarın uzunlukları eşit ise bu üçgenler eş üçgenlerdir. Buna; Kenar – Açı – Açı (KAA) eşlik şartı denir.
ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Kenar-Açı-Açı eşlik şartına göre eştir.
ÜÇGENLERDE BENZERLİK
► İki üçgenin karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşit ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzer üçgenlerdir.
► İki üçgenin benzerliği “∼” sembolü ile gösterilir. Sembolle gösterirken eş olan açılar aynı sırada yazılmalıdır.
► Benzer iki üçgende karşılıklı kenarları oranlarsak bu oranlar bir sayıya eşit olur. Bu sayıya benzerlik oranı denir. Genelde k harfi ile gösterilir.
Örneğin aşağıdaki örnekte benzerlik oranı 1/2’dir. Pay ve paydaların yeri değişirse benzerlik oranı 2 olarak da yazılabilir.
Bu, “DEF üçgeninin kenar uzunlukları ABC üçgeninin 2 katıdır.” veya “ABC üçgeninin kenar uzunlukları DEF üçgeninin yarısıdır.” anlamına gelir.
ÜÇGENLERDE BENZERLİK ŞARTLARI
İki üçgenin tüm kenarları ve tüm açıları her zaman verilmeyebilir. Böyle durumlarda bu kısıtlı verilere bakarak da biz iki üçgenin benzer olup olmadığına kanaat getirebiliriz. Bunun için aşağıdaki benzerlik şartlarını kullanırız. Eğer iki üçgen arasında bu şartlardan biri sağlanıyorsa bu iki üçgen benzerdir diyebiliriz.
1) Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Şartı (KKK)
► İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında karşılıklı kenar uzunluklarının oranı birbirine eşit ise bu üçgenler benzer üçgenlerdir. Buna; Kenar – Kenar – Kenar (KKK) benzerlik şartı denir.
ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Kenar-Kenar-Kenar benzerlik şartına göre benzerdir.
2) Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Şartı (KAK)
► İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında karşılıklı ikişer kenar uzunluklarının oranı ve bu iki kenar arasında kalan açılarının ölçüleri birbirine eşit ise bu üçgenler benzerdir üçgenlerdir. Buna; Kenar – Açı – Kenar (KAK) benzerlik şartı denir.
ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Kenar-Açı-Kenar benzerlik şartına göre benzerdir.
3) Açı – Açı Benzerlik Şartı (AA)
► İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında karşılıklı iki açılarının ölçüleri birbirine eşit ise bu üçgenler benzer üçgenlerdir. Buna; Açı – Açı (AA) benzerlik şartı denir. İki açıları eş olduğu için üçüncü açıları da eştir. Bu yüzden bu şarta Açı – Açı – Açı (AAA) benzerlik şartı da denilebilir.
ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Açı-Açı benzerlik şartına göre benzerdir.
EŞLİK VE BENZERLİK İLE İLGİLİ
► Her eş üçgen aynı zamanda benzerdir, ancak her benzer üçgen eş olmak zorunda değildir.
► Eş üçgenler benzerlik oranı 1 olan benzer üçgenlerdir.
► İki üçgenin benzerlik oranı k ise çevreleri oranı da k’dır.
► İki üçgenin benzerlik oranı k ise karşılıklı yükseklikleri, açıortayları, kenarortayları oranı da k’dır.
► İki üçgenin benzerlik oranı k ise alanları oranı da k2‘dir.
ÖRNEKLER: Aşağıdaki üçgenlerde x ile gösterilen uzunlukları bulalım.
BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:
✓ Eşlik ve benzerliği ilişkilendirir, eş ve benzer şekillerin kenar ve açı ilişkilerini belirler.
✓ Benzer çokgenlerin benzerlik oranını belirler, bir çokgene eş ve benzer çokgenler oluşturur.
TEOG’da 2015-2016, 2014-2015 ve 2013-2014 yılında 1.Dönem, 2. Dönem ve Mazeret sınavlarında Gerçek Sayılar, Rasyonel ve irrasyonel sayıların arasındaki fark ile ilgili çıkmış tüm sorular ve cevapları burada. Ayrıca Gerçek Sayılar Konu Anlatımı ve TEOG’da Çıkmış Sorular ve Çözümlerine de bakabilirsiniz.
TEOG GERÇEK SAYILAR / SORU – 1(2013-2014 TEOG 2. DÖNEM MAZERET)
YUKARIDAKİ SORUNUN CEVABI: B ŞIKKI
TEOG GERÇEK SAYILAR / SORU – 2(2014-2015 TEOG 2. DÖNEM)
YUKARIDAKİ SORUNUN CEVABI: D ŞIKKI
TEOG GERÇEK SAYILAR / SORU – 3(2014-2015 TEOG 2. DÖNEM MAZERET)
YUKARIDAKİ SORUNUN CEVABI: A ŞIKKI
TEOG GERÇEK SAYILAR / SORU – 4(2015-2016 TEOG 1. DÖNEM)
YUKARIDAKİ SORUNUN CEVABI: A ŞIKKI
TEOG GERÇEK SAYILAR / SORU – 5(2015-2016 TEOG 1. DÖNEM)
YUKARIDAKİ SORUNUN CEVABI: A ŞIKKI
TEOG GERÇEK SAYILAR / SORU – 6(2015-2016 TEOG 1. DÖNEM MAZERET)
YUKARIDAKİ SORUNUN CEVABI: A ŞIKKI
TEOG GERÇEK SAYILAR / SORU – 7(2015-2016 TEOG 1. DÖNEM MAZERET)
2009 yılından beri, yani 5 yıldır sizinle birlikteyiz. Bir yılı daha birlikte geride bıraktık. Yeni yılda da bizi takip etmeniz ve güzel bir yıl geçirmeniz dileğiyle…
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Üçgende Yardımcı Elemanlar
✓ Kenarortay, Açıortay, Yükseklik
✓ Özel Durumlar, Muhteşem Üçlü
KENARORTAY
Bir üçgenin herhangi bir kenarının orta noktasını, karşı köşe noktası ile birleştiren doğru parçasına üçgenin o kenarına ait kenarortayı denir. “a” kenarına ait kenarortay Va sembolü ile gösterilir.
Yukarıdaki resimde [AB] kenarına ait kenarortay [CD], [BC] kenarına ait kenarortay [AF], [CA] kenarına ait kenarortay [BE]’dır.
Kenarortaylar üçgenin iç bölgesindeki bir noktada (G noktasında) kesişmiştir.
Tüm üçgenlerde kenarortayların kesişim noktası üçgenin iç bölgesindedir. Bu noktaya Ağırlık Merkezi denir ve G harfiyle gösterilir.
YÜKSEKLİK
Bir üçgenin bir köşesinden karşı kenarına indirilen dik doğru parçasına üçgenin o kenarına ait yüksekliği denir. “a” kenarına ait yükseklik ha sembolü ile gösterilir.
Resimdeki dar açılı üçgende: [AB] kenarına ait yükseklik [CP], [BC] kenarına ait yükseklik [AS], [CA] kenarına ait yükseklik [BR]’dır.
Resimdeki dik açılı üçgende: [AB] kenarına ait yükseklik [BC], [BC] kenarına ait yükseklik [AB], [CA] kenarına ait yükseklik [BD]’dır.
Resimdeki geniş açılı üçgende: [AB] kenarına ait yükseklik [CE], [BC] kenarına ait yükseklik [AD], [CA] kenarına ait yükseklik [BF]’dır.
Yüksekliklerin kesişim noktası mor renkli noktadır. Yükseklikler dar açılı üçgende üçgenin iç bölgesinde, dik açılı üçgende üçgenin köşesinde, geniş açılı üçgende üçgenin dış bölgesinde kesişmiştir.
Yüksekliklerin kesişim noktası dar açılı üçgenlerde üçgenin iç bölgesinde, dik açılı üçgenlerde üçgenin üzerinde (dik köşesinde), geniş açılı üçgenlerde ise üçgenin dış bölgesindedir. Bu noktaya Diklik Merkezi adı verilir.
AÇIORTAY
Bir üçgenin herhangi bir iç açısını iki eş parçaya ayırarak köşeyi karşı kenara birleştiren doğru parçasına üçgenin iç açıortayı denir. “A” açısına ait açıortay nA sembolü ile gösterilir.
Yukarıdaki resimde [AB] kenarına ait açıortay [CP], [BC] kenarına ait açıortay [AS], [CA] kenarına ait açıortay [BR]’dır.
Tüm üçgenlerde açıortayların kesişim noktası üçgenin iç bölgesindedir.
NOT: Çeşitkenar üçgende bir kenara ait yükseklik, açıortay ve kenarortay arasında; yükseklik < açıortay < kenarortay bağıntısı vardır.
NOT: Eşkenar üçgende bir açının açıortayı ile o açının karşısındaki kenarın kenarortayı ve yüksekliği aynı doğru parçasıdır. Aynı eşitlik ikizkenar üçgendeki eş kenarlar arasında kalan açının açıortayı ile karşı kenarının kenarortay ve yüksekliğinde de vardır.
KENAR ORTA DİKME
Kenar orta dikme 8. sınıf müfredatından kaldırıldı ancak soru bankalarında karşınıza çıkan bir terim olduğu için aşağıdan kenar orta dikme nedir öğrenebilirsiniz.
Üçgenin herhangi bir kenarının orta noktasından geçen ve bu kenara dik olan doğru parçasına kenar orta dikme denir.
Kenar orta dikmeler dar açılı üçgenlerde üçgenin iç bölgesinde, dik açılı üçgenlerde üçgenin üzerinde (hipotenüsün orta noktasında) , geniş açılı üçgenlerde ise üçgenin dış bölgesinde bir noktada kesişir.
Dik üçgende 90 derece dışındaki diğer açılardan birini seçelim. Örneğin resimde A açısı seçilmiştir.
