MUTLAK DEĞER NEDİR?

Bir gerçek sayının sayı doğrusundaki yerinin başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir. x gerçek sayısının mutlak değeri |x| şeklinde gösterilir.

6 ve −6 sayısının 0’a olan uzaklığı 6 birimdir. Bu durum sembolle |6| = 6 ve |−6| = 6 şeklinde gösterilir.

► Mutlak değerin içindeki ifade 0’a eşitse veya sıfırdan büyükse mutlak değerin dışına aynen çıkartılır.

|+3| = 3

a > 0 ise|2a| = 2a

x < 0 ise |−3x| = −3x

y gerçek sayı ise |y² + 12| = y² + 12

► Mutlak değerin içindeki ifade 0’dan küçükse mutlak değerin dışına −1 ile çarpılarak çıkartılır.

|−9| = (−1).(−9) = 9

a < 0 ise|5a| = (−1).(5a) = −5a

x > 0 ise |−7x − 10| = (−1).(−7x − 10) = 7x + 10

ÖRNEK: 1 < a < 2 olmak üzere |2a| + |a − 1| + |a − 3| + |−3a| ifadesinin en sade halini bulalım.

1 < a < 2 iken 2 < 2a < 4 olduğu için;
|2a| = 2a olur.

1 < a < 2 iken 0 < a − 1 < 1 olduğu için;
|a − 1| = a − 1 olur.

1 < a < 2 iken −2 < a − 3 < −1 olduğu için;
|a − 3| = (−1).(a − 3) = −a + 3 olur.

1 < a < 2 iken −3 > −3a > −6 olduğu için;
|−3a| = (−1).(−3a) = 3a olur.

Sonuç (2a) + (a − 1) + (−a + 3) + (3a) = 5a + 2 bulunur.

ÖRNEK:  a < 0 < b olmak üzere |a − b| + |a − 1| + |−3a| ifadesinin en sade halini bulalım.

a < b iken a − b < 0 olduğu için;
|a − b| = (−1).(a − b) = −a + b olur.

a < 0 iken a − 1 < −1 olduğu için;
|a − 1| = (−1).(a − 1) = −a + 1 olur.

a < 0 iken −3a > 0 olduğu için;
|−3a| = −3a olur.

Sonuç (−a + b) + (−a + 1) + (−3a) = −5a + b + 1 bulunur.

MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ

x, y \(\in\) R olmak üzere;

1) |x| ≥ 0

Bir gerçek sayının mutlak değeri 0’a eşit ya da 0’dan büyüktür.

2) |x.y| = |x| . |y|

Çarpım durumundaki iki gerçek sayının mutlak değeri bu sayıların mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.

3) y \(\neq\) 0 olmak üzere: \(|\frac{x}{y}|=\frac{|x|}{|y|}\)

Bölüm durumundaki iki gerçek sayının mutlak değeri bu sayıların mutlak değerlerinin bölümüne eşittir.

4) |x| = |−x|

Biri diğerinin −1 katı olan iki gerçek sayının mutlak değeri birbirine eşittir.

5) n \(\in\) Z olmak üzere: |xⁿ| = |x|ⁿ

Bir gerçek sayının pozitif tam sayı kuvvetinin mutlak değeri, mutlak değerinin aynı kuvvetine eşittir.

6) |x+y| ≤ |x|+ |y|

İki gerçek sayının toplamının mutlak değeri sayıların ayrı ayrı mutlak değerlerinin toplamından küçük veya eşittir.

MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER

Mutlak değer içeren denklemlere mutlak değerli denklem denir.

Mutlak Değerli Denklemler Nasıl Çözülür?

x,y,a \(\in\) R olmak üzere ;

|x| = a eşitliğinde a > 0 ise x = a veya x = −a olur.

ÖRNEK: |x + 3| = 5 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

x + 3 = 5 eşitliğinden x = 2 bulunur.
x + 3 = −5 eşitliğinden x = −8 bulunur.

Ç = {2, −8}

|x| = 0 ise x = 0 olur.

ÖRNEK: |2x − 8| + 4  = 4 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

|2x − 8| = 0 olduğu için 2x − 8 = 0 eşitliğinden x = 4 bulunur.

Ç = {4}

|x| = a eşitliğinde a < 0 ise denklemin çözüm kümesi boş küme olur.

ÖRNEK: |3x + 6| = −5 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Mutlak değerli bir ifade negatif bir sayıya eşit olamayacağı için çözüm kümesi boş kümedir.

Ç = \(\varnothing\)

|x| = |y| ise x = y veya x = −y olur.

ÖRNEK: |x + 1| = |2x − 16| denkleminin çözüm kümesini bulalım.

x + 1 = 2x − 16 eşitliğinden x = 17 bulunur.
x + 1 = −2x + 16 eşitliğinden x = 5 bulunur.

Ç = {5, 17}

|x| = y ise x = y veya x = −y olur. Bulunan köklerden mutlak değerin eşitini (y) negatif yapanlar çözüm kümesine dahil edilmez.

ÖRNEK: |x − 9| = 2x − 3 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

x − 9 = 2x − 3 eşitliğinden x = −6 bulunur.
x − 9 = −2x + 3 eşitliğinden x = 4 bulunur.

Mutlak değerin eşiti negatif olamayacağı için bulunan x değerlerinin 2x − 3’ü negatif yapıp yapmadığına bakarız. Bu yüzden x = −6 değeri 2x − 3’ü negatif yaptığı için çözüm kümesine dahil edilmez.

Ç = {4}

|x| + |y| = 0 ise x = 0 ve y = 0 olur.

ÖRNEK: |2x − 8| + |3y + 6| = 0 ise x.y ‘nin değerini bulalım.

|2x − 8| + |3y + 6| = 0
2x − 8 = 0 eşitliğinden x = 4 bulunur.
3y + 6 = 0 eşitliğinden y = −2 bulunur.

Cevap x.y = 4.(−2) = −8 olarak bulunur.

MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER

Mutlak değer içeren eşitsizliklere mutlak değerli eşitsizlik denir.

Mutlak Değerli Eşitsizlikler Nasıl Çözülür?

x,a,b \(\in\) R olmak üzere ;

x| ≤ a eşitsizliğinde a > 0 ise −a ≤ |x| ≤ a olur.

ÖRNEK: |x + 3| ≤ 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

−5 ≤ x + 3 ≤ 5
−8 ≤ x ≤ 2

Ç = [−8,2]

|x| ≤ 0 ise x = 0 olur.

ÖRNEK: |3x + 15| ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

3x + 15 = 0 eşitsizliğinden x = −5 bulunur.

Ç = {−5}

|x| ≤ a eşitsizliğinde a < 0 ise eşitsizliğin çözüm kümesi boş küme olur.

ÖRNEK: |2x + 7| < −4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Mutlak değerli bir ifade negatif bir sayıdan küçük olamayacağı için çözüm kümesi boş kümedir.

Ç = \(\varnothing\)

|x| ≥ a eşitsizliğinde a ≥ 0 ise x ≥ a veya x ≤ −a olur.

ÖRNEK: |x − 1| ≥ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

x − 1 ≥ 3 eşitsizliğinden x ≥ 4 bulunur.
x − 1 ≤ −3 eşitsizliğinden x ≤ −2 bulunur.

Ç = (−∞, −2] \(\cup\) [4, ∞)

|x| ≥ 0 ise çözüm kümesi Ç = R olur.

ÖRNEK: |−3x + 15| ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Ç = R

|x| > 0 ise çözüm kümesi Ç = R − {0} olur.

ÖRNEK: |−2x + 6| > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

−2x + 6 = 0 eşitliğinden x = 3 bulunur.

Ç = R − {3}

a ≤ |x| ≤ b eşitsizliğinde a > 0 ve b > 0 ise a ≤ x ≤ b veya −b ≤ x ≤ −a olur.

ÖRNEK: 4 < |x + 2| ≤ 10 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

4 < x + 2 ≤ 10 eşitsizliğinden 2 < x ≤ 8 bulunur.
−10 ≤ x + 2 < −4 eşitsizliğinden −12 ≤ x < −6 bulunur.

Ç = [−12, −6) \(\cup\) (2, 8]

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

TANIM VE KAVRAMLAR

> (büyüktür), ≥ (büyüktür veya eşittir), < (küçüktür), ≤ (küçüktür veya eşittir) sembolleri ile yazılan matematiksel ifadelere eşitsizlik denir.

a,b,c \(\in\) R ve a,b \(\neq\) 0 olmak üzere;

ax + by + c > 0
ax + by + c ≥ 0
ax + by + c < 0
ax + by + c ≤ 0

şeklindeki eşitsizliklere x ve y değişkenine bağlı birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik denir.

Bir eşitsizliğin birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik olabilmesi için iki değişken içermesi ve değişkenlerin kuvvetinin 1 olması gerekir.

► 3x + y > 6 ve y − 3x ≤ 5 eşitsizlikleri birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizliklerdir.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlikleri sağlayan x ve y gerçek sayıları (x, y) sıralı ikilisi olarak yazılır. Bu sıralı ikililerden her biri eşitsizliğin çözüm kümesinin bir elemanıdır.

ÖRNEK: x + y ≥ 3 eşitsizliğini sağlayan (x, y) sıralı ikililerini bulalım.

3 + 0 ≥ 3 doğru olur: (3, 0)

1 + 5 ≥ 3 doğru olur: (1, 5)

7 + 9 ≥ 3 doğru olur: (7, 9)

şeklinde sonsuz sıralı ikili bulabiliriz.

BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLERİN GRAFİKLERİ

Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizliklerin grafikleri koordinat sisteminde bir bölge belirtir. Bu bölge, eşitsizliği sağlayan (x, y) sıralı ikililerinin temsil ettiği noktalardan oluşur.

Eşitsizlik Grafiği Nasıl Çizilir?

1.ADIM:  Bir eşitsizliğin grafiğinin çizilebilmesi için öncelikle bu eşitsizliğin bölgesini sınırlayan doğrunun çizilmesi gerekir. Bunun için iki bilinmeyenli denklemler konusuna göz atabilirsiniz. Bu doğru koordinat sistemini iki bölgeye ayırır.

2. ADIM: Eşitsizlik ” < ” ya da ” > ”  sembolünü içeriyorsa sınır doğrumuz çözüm kümesine dahil değildir. Bu durumda sınır doğrusu kesikli çizgilerle gösterilir. Eğer eşitsizlik ” ≤ ” ya da ” ≥ ”  sembolünü içeriyorsa sınır doğrumuz çözüm kümesine dahildir. Bu durumda sınır doğrusu kesiksiz düz çizgiyle gösterilir.

3. ADIM: Doğrunun ayırdığı iki bölgeden biri eşitsizliğin çözüm kümesidir. Doğru bölgeyi belirlemek için sınır doğrusunun herhangi bir tarafından herhangi bir nokta seçilir. Seçilen bu noktanın koordinatları eşitsizlikte değişkenlere yazılır. Elde eşitsizlik doğru ise seçtiğimiz nokta çözüm kümesindedir, yanlış ise seçtiğimiz nokta çözüm kümesinde değildir. Bu bilgiye göre çözüm kümesi taranır.

ÖRNEK: 2x − 3y < 6 eşitsizliğinin grafiğini çizelim.

İlk olarak sınır doğrusunun (2x − 3y = 6) grafiği çizilir. Eşitsizliğimiz < sembolü içerdiği için sınır doğrusu kesikli çizilir.

Daha sonra hangi tarafın çözüm kümesi olduğunu belirlemek için rastgele bir nokta seçilir. Biz kolaylık olması için orijini (0, 0) tercih ettik. Eşitsizlikteki x ve y yerine 0 yazılır ve 0 < 6 elde edilir.

Doğru bir ifade elde ettiğimiz için (0, 0) noktası çözüm kümemizdedir yani taralı bölgededir.

ÖRNEK: y ≥ −2x eşitsizliğinin grafiğini çizelim.

İlk olarak sınır doğrusunun (y = −2x) grafiği çizilir. Eşitsizliğimiz ≥ sembolü içerdiği için sınır doğrusu kesiksiz düz çizilir.

Daha sonra hangi tarafın çözüm kümesi olduğunu belirlemek için rastgele bir nokta seçilir. Biz  (−3, −4) noktasını tercih ettik. Eşitsizlikteki x yerine −3, y yerine −4 yazılır ve −4 ≥ 6 elde edilir.

Yanlış bir ifade elde ettiğimiz için (−3, −4) noktası çözüm kümemizde değildir yani taralı bölgede değildir.

ÖRNEK: y > 4 eşitsizliğinin grafiğini çizelim.

İlk olarak sınır doğrusunun (y = 4) grafiği çizilir. Eşitsizliğimiz > sembolü içerdiği için sınır doğrusu kesikli çizilir.

Daha sonra hangi tarafın çözüm kümesi olduğunu belirlemek için rastgele bir nokta seçilir. Biz kolaylık olması için orijini (0, 0) tercih ettik. Eşitsizlikteki y yerine 0 yazılır ve 0 > 4 elde edilir.

Yanlış bir ifade elde ettiğimiz için (0, 0) noktası çözüm kümemizde değildir yani taralı bölgede değildir.

ÖRNEK: x ≤ −4 eşitsizliğinin grafiğini çizelim.

İlk olarak sınır doğrusunun (x = −4) grafiği çizilir. Eşitsizliğimiz ≤ sembolü içerdiği için sınır doğrusu kesiksiz düz çizilir.

Daha sonra hangi tarafın çözüm kümesi olduğunu belirlemek için rastgele bir nokta seçilir. Biz kolaylık olması için orijini (0, 0) tercih ettik. Eşitsizlikteki x yerine 0 yazılır ve 0 ≤ −4 elde edilir.

Yanlış bir ifade elde ettiğimiz için (0, 0) noktası çözüm kümemizde değildir yani taralı bölgede değildir.

EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ

En az iki tane birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizliğin oluşturduğu sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemi denir. Her iki eşitsizliği de sağlayan (x, y) sıralı ikililerinin kümesine eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizliklerin grafikleri koordinat sisteminde bölge belirttikleri için eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi bu bölgelerin kesişimidir.

ÖRNEK: Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini analitik düzlemde gösterelim.
y ≥ −2x
2x − 3y < 6

y ≥ −2x eşitsizliğinin çözüm kümesi mavi bölge ile gösterilmiştir. 2x − 3y < 6 eşitsizliğinin çözüm kümesi ise sarı bölge ile gösterilmiştir. Bu iki bölgenin kesişimi ( Sarı \(\cap\) Mavi = Yeşil) eşitsizlik sisteminin çözüm kümesidir.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

TANIM VE KAVRAMLAR

a,b,c \(\in\) R ve a,b \(\neq\) 0 olmak üzere ax + by + c = 0 şeklinde ifade edilebilen denklemlere x ve y değişkenine bağlı birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler denir.

Bir denklemin birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem olabilmesi için iki değişken içermesi ve değişkenlerin kuvvetinin 1 olması gerekir.

► x + 2y = 16 ve y = 3x − 5 denklemleri birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerdir.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemleri sağlayan x ve y gerçek sayıları (x, y) sıralı ikilisi olarak yazılır. Bu sıralı ikililerden her biri denklemin çözüm kümesinin bir elemanıdır.

ÖRNEK: x + y = 3 denklemini sağlayan (x, y) sıralı ikililerini bulalım.

Denklemde bir değişkene değer vererek diğerinin değeri bulunabilir. Bu örnekte x’e değerler vererek y değerlerini bulalım.

x = −10 için y = 13 olur: (−10, 13)

x = 0 için y = 3 olur: (0, 3)

x = 12 için y = −9 olur: (12, −9)

şeklinde sonsuz sıralı ikili bulabiliriz.

BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN GRAFİKLERİ

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin grafikleri koordinat sisteminde bir doğru belirtir. Bu doğru, denklemi sağlayan (x, y) sıralı ikililerinin temsil ettiği noktalardan geçer.

Denklem Grafiği Nasıl Çizilir?

Bir denklemin grafiğinin çizilebilmesi için bu doğrunun geçtiği en az 2 nokta bulunmalıdır. Bunun için sıralı ikililer elde edilmelidir. Genelde denklemde x’e sıfır değeri verilerek doğrunun y eksenin kestiği nokta, y’ye sıfır verilerek doğrunun x eksenini kestiği noktanın bulunması tercih edilir.

ÖRNEK: 2x − 3y = 6 denkleminin grafiğini çizelim.

Doğrunun eksenleri kestiği noktaları buluruz. Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyerek grafiği çizeriz.

ÖRNEK: y = −2x denkleminin grafiğini çizelim.

Bu doğru orijinden geçer. Geçtiği ikinci noktayı isteğimize göre belirleyebiliriz. Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyerek grafiği çizeriz.

ÖRNEK: y = 4 denkleminin grafiğini çizelim.

Denklemde x değişkeni bulunmadığı için x’in her değeri için y = 4’tür. İki nokta belirleyip grafiği çizeriz.

ÖRNEK: 2x + 3 = −5 denkleminin grafiğini çizelim.

Denklemde x’i yalnız bırakırsak x = −4 elde ederiz, y değişkeni bulunmadığı için y’nin her değeri için x = −4’tür.

 DENKLEM SİSTEMLERİ

a,b,c,d,e,f \(\in\) R ve a,b,c,d \(\neq\) 0 olmak üzere

ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0

denklemlerinden oluşan sisteme x ve y değişkenine bağlı birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Her iki denklemi de sağlayan (x, y) sıralı ikililerinin kümesine denklem sisteminin çözüm kümesi denir.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin grafikleri koordinat sisteminde doğru belirttikleri için denklem sisteminin çözüm kümesi bu doğruların kesişim noktalarıdır. Burada karşımıza üç farklı durum çıkar:

► İki doğru bir noktada kesişebilir.

► İki doğru paralel olabilir.

► İki doğru çakışık olabilir.

Denklem sisteminin çözüm kümesini, denklem sistemindeki denklemlerin katsayılarından yorumlayabiliriz.

ÇÖZÜM KÜMESİ – KATSAYI İLİŞKİSİ

ax + by + c = 0 ve dx + ey + f = 0 denklemlerinden oluşan denklem sisteminin kökleri ve dolayısıyla çözüm kümesi katsayıların (a,b,c,d,e,f) oranı ile ilişkilidir.

1)  Çözüm Kümesinin Tek Elemanlı Olması

ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0 denklem sisteminde

\(\frac{a}{d}\neq\frac{b}{e}\) ise denklem sistemini sağlayan yalnız bir (x,y) ikilisi vardır.

Doğrular bir noktada kesişir.

ÖRNEK: Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini inceleyelim.

6x + 4y = 7
2x + 5y = 10

\(\frac{6}{2}\neq\frac{4}{5}\) olduğu için çözüm kümesi bir elemanlıdır, doğrular kesişir.

2) Çözüm Kümesinin Boş Küme Olması

ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0 denklem sisteminde

\(\frac{a}{d}=\frac{b}{e}\neq\frac{c}{f}\) ise denklem sistemini sağlayan (x,y) ikilisi yoktur. Çözüm kümesi boş kümedir. Ç = \(\varnothing\)

Doğrular paraleldir, kesişmez.

ÖRNEK: Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini inceleyelim.

x − 2y = 8
3x − 6y = −5

\(\frac{1}{3}=\frac{-2}{-6}\neq\frac{8}{-5}\) olduğu için çözüm kümesi boş kümedir doğrular paraleldir. Ç = \(\varnothing\)

3) Çözüm Kümesinin Sonsuz Elemanlı Olması

ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0 denklem sisteminde

\(\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}\) ise denklem sistemini sağlayan sonsuz (x,y) ikilisi vardır.

Doğrular çakışıktır.

ÖRNEK: Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini inceleyelim.

x − 2y = 5
−3x + 6y = −15

\(\frac{1}{-3}=\frac{-2}{6}=\frac{5}{-15}\) olduğu için çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır, doğrular çakışıktır.

DENKLEM SİSTEMİ ÇÖZÜMÜ

Denklem sistemlerinin çözüm kümesini bulmak için yerine koyma, yok etme ya da grafik çizme yöntemi kullanılır.

1) Yerine Koyma Yöntemi

1.ADIM: Denklem sistemindeki denklemlerden herhangi birinde, değişkenlerden herhangi biri eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılarak diğeri cinsinden eşiti bulunur.

2.ADIM: Yalnız bıraktığımız değişkenin eşiti diğer denklemde yerine konularak değişkenlerden birinin değeri bulunur.

3.ADIM: Diğer değişkenin değeri ise herhangi bir denklemde bulduğumuz değişkenin değerini yerine yazarak elde edilir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen denklem sistemini yerine koyma yöntemini kullanarak adım adım çözelim.
x + y = 3
2x − y = 0 

İlk adım olarak herhangi bir denklemde herhangi bir değişken yalnız bırakılır. Biz 2. denklemde y’yi yalnız bırakmayı tercih ettik ve y = 2x eşitliğini olduğunu bulduk.

2x − y = 0
y = 2x

2. adım olarak diğer denklemde y yerine 2x yazdık ve x = 1 değerini elde ettik.

x + y = 3
x + 2x = 3
3x = 3
x = 1

Son adımda herhangi bir denklemde x yerine 1 yazılır. Biz y = 2x denkleminde x yerine 1 koyarak y = 2 değerini bulduk.

y = 2x
y = 2.1
y = 2

Ç = { (1, 2) }

Çözüm kümesi boş küme (grafikleri paralel) olan denklemlerden oluşan denklem sistemleri yerine koyma yöntemiyle çözüldüğünde 0 = 5 gibi yanlış eşitlikler elde edilir, değişken değeri bulunamaz.

Benzer şekilde çözüm kümesi sonsuz elemanlı (grafikleri çakışık) olan denklemlerden oluşan denklem sistemleri yerine koyma yöntemiyle çözüldüğünde 0 = 0 gibi doğru eşitlikler elde edilir, değişken değeri bulunamaz.

2) Yok Etme Yöntemi

1.ADIM: Denklem sisteminde herhangi bir değişkenin katsayıları denklemi genişletme veya sadeleştirme yöntemi ile birbirinin toplama işlemine göre tersi (ters işaretlisi) olacak hale getirilir.

2.ADIM: Denklemler taraf tarafa toplanarak bu değişken yok edilir olur ve bir bilinmeyenli denklem elde edilir. Bu denklem çözülerek değişkenlerden birinin değeri bulunur.

3.ADIM: Bulunan değer verilen denklemlerden herhangi birinde yerine konularak diğer değişkenin değeri bulunur.

ÖRNEK: Aşağıdaki denklem sistemini yok etme yöntemini kullanarak adım adım çözelim.

2x + y = 5
3x − 2y = −3

İlk adım olarak yok edeceğimiz değişkeni seçmemiz gerekir. Biz y’i yok etmeyi tercih ettik ve üstteki denklemi 2 ile genişlettik. Sonuç olarak denklemlerde y’nin katsayıları 2 ve −2 oldu.

2x + y = 5       / .2
3x − 2y = −3

4x + 2y = 10
3x − 2y = −3

2. adım olarak iki denklemi tarafa tarafa toplarız ve bir bilinmeyenli denklem elde ederiz. Bu denklemde değişkenin değerini x = 1 buluruz.

4x + 2y = 10
3x − 2y = −3
7x         = 7

x = 1

Son olarak herhangi bir denklemde x yerine 1 yazarız ve y’yi buluruz. Biz ilk denklemde x’i yerine yazmayı tercih ettik ve y = 3 bulduk.

2x + y = 5
2.1 + y = 5
y = 3

Ç = { (1, 3) }

Çözüm kümesi boş küme (grafikleri paralel) olan denklemlerden oluşan denklem sistemleri yok etme yöntemiyle çözüldüğünde 0 = 5 gibi yanlış eşitlikler elde edilir, değişken değeri bulunamaz.

Benzer şekilde çözüm kümesi sonsuz elemanlı (grafikleri çakışık) olan denklemlerden oluşan denklem sistemleri yok etme yöntemiyle çözüldüğünde 0 = 0 gibi doğru eşitlikler elde edilir, değişken değeri bulunamaz.

3) Grafik Çizerek Yorumlama

Denklem sisteminin çözümü, denklem sistemini oluşturan denklemlerin grafiklerinin kesişim noktasının koordinatlarıdır.

ÖRNEK: Aşağıdaki denklem sistemini denklemlerin grafikleri yardımıyla çözelim.

x + y = 1
2x + y = −2

Bu noktaları kullanarak denklemlerin grafiği çizilir. Doğruların kesiştiği (−3,4) noktası denklem sisteminin çözümüdür.

Çözüm kümesi boş küme olan denklemlerden oluşan denklem sistemlerinin grafikleri çizildiğinde doğruların paralel oldukları görülür.

Benzer şekilde çözüm kümesi sonsuz elemanlı olan denklemlerden oluşan denklem sistemlerinin grafikleri çizildiğinde doğruların çakışık olduğu görülür.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

TANIM VE KAVRAMLAR

> (büyüktür), ≥ (büyüktür veya eşittir), < (küçüktür), ≤ (küçüktür veya eşittir) sembolleri ile yazılan matematiksel ifadelere eşitsizlik denir.

a,b \(\in\) R ve a \(\neq\) 0 olmak üzere;
ax + b > 0
ax + b ≥ 0
ax + b < 0
ax + b ≤ 0
şeklindeki eşitsizliklere x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir.

Eşitsizliklerin derecesi, değişkenin kuvvetine bağlıdır.

► 6x + 3 > 5 ve \(\frac{2x}{3}\) − 12 ≤ 30 eşitsizlikleri birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliktir.

► x² < 16 ve \(\sqrt{x}\) + 1 ≤ 9 eşitsizlikleri birinci dereceden eşitsizlik değildir.

Bir eşitsizlikte değişkenin (x) eşitsizliği sağlayan değer aralığını bulmaya eşitsizlik çözmek denir.

Değişkenin (x) eşitsizliği sağlayan değer aralığına çözüm kümesi adı verilir ve genelde Ç harfi ile gösterilir.

Eşitsizlik çözerken amacımız değişkeni eşitsizliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır. Aşağıdaki özellikler kullanılarak eşitsizlikler çözülür ve çözüm kümesi bulunur.

EŞİTSİZLİKLERİN ÖZELLİKLERİ

Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı reel sayı eklenebilir ya da her iki tarafından aynı reel sayı çıkarılabilir.

x < y ise x + a < y + a ve x − a < y − a olur.

ÖRNEK: x + 2 < 14 eşitsizliğini çözelim.

x + 2 < 14 (Eşitsizliğin her iki tarafına −2 eklenir veya 2 çıkartılır.)

x + 2 − 2 < 14 − 2

x < 12

Çözüm kümesi (−∞,12) olarak bulunur.

ÖRNEK: 2x − 5 > x − 2 eşitsizliğini çözelim.

2x − 5 > x − 2 (Eşitsizliğin her iki tarafından x çıkartılır.)

x − 5 > −2 (Eşitsizliğin her iki tarafına 5 eklenir.)

x > 3

Çözüm kümesi (3,∞) olarak bulunur.

Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif reel sayı ile çarpılabilir ya da bölünebilir.

x < y ve a \(\in\) R⁺ ise x.a < y.a ve \(\frac{x}{a}\) < \(\frac{y}{a}\) olur.

ÖRNEK: 3x ≤ 21 eşitsizliğini çözelim.

3x ≤ 21 (Eşitsizliğin her iki tarafı 3’e bölünür.)

x ≤ 7

Çözüm kümesi (−∞,7] olarak bulunur.

ÖRNEK: \(\frac{x}{3}\) > 2 eşitsizliğini çözelim.

\(\frac{x}{3}\) > 2 (Eşitsizliğin her iki tarafı 3 ile çarpılır.)

x > 6

Çözüm kümesi (6,∞) olarak bulunur.

Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif reel sayı ile çarpılır ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

x < y ve a \(\in\) R⁻ ise x.a > y.a ve \(\frac{x}{a}\) > \(\frac{y}{a}\) olur.

ÖRNEK: −2x ≥ 10 eşitsizliğini çözelim.

−2x ≥ 10 (Eşitsizliğin her iki tarafı −2’ye bölünür.)

x ≤ −5

Çözüm kümesi (−∞,−5] olarak bulunur.

ÖRNEK: \(\frac{-x}{10}\) > 5 eşitsizliğini çözelim.

\(\frac{-x}{10}\) > 5 (Eşitsizliğin her iki tarafı −10 ile çarpılır.)

x < −50

Çözüm kümesi (−∞,−50) olarak bulunur.

Aynı yönlü eşitsizlikler tarafa tarafa toplanabilir. Taraf tarafa çıkarma, çarpma, bölme işlemleri yapılmaz.

x < y ve a < b ise
x + a < y + b olur.

ÖRNEK: 29 > x > 21 ve −3 < y < 10 ise x + y ‘nin değer aralığını bulalım.

21 < x < 29 (Eşitsizlikleri aynı yönlü olacak şekilde yazarız.)
−3 < y < 10 (Eşitsizlikleri taraf tarafa toplarız.)

19 < x+y < 39

x+y’nin değer aralığı (19,39) olarak bulunur.

Eşitsizlikler taraf tarafa toplanırken, alt alta toplanan sınır noktalarının her ikisi de dahil ise toplam olarak yazılan yeni eşitsizliğe sınır noktası dahil edilir. Diğer durumlarda ise dahil edilmez.

ÖRNEK: 10 ≤ x ≤ 15 ve 12 ≤ y < 20 ise x + y ‘nin değer aralığını bulalım.

10 ≤ x ≤ 15 (Aralığa alt ve üst sınır dahil.)
12 ≤ y < 20 (Aralığa alt sınır dahil üst sınır dahil değil.)

Alt sınırlar iki eşitsizlikte de dahil olduğu için yeni eşitsizlikte alt sınırlar dahil edilir.

22 ≤ x+y < 35

x+y’nin değer aralığı [22,35) olarak bulunur.

Her iki tarafı da aynı işaretli olan eşitsizliklerde iki tarafın çarpma işlemine göre tersi alınırsa eşitsizlik yön değiştirir.

x ve y sıfırdan farklı ve aynı işaretli gerçek sayılar olmak üzere x < y ise \(\frac{1}{x}\) > \(\frac{1}{y}\) olur.

ÖRNEK: x \(\in\) R⁺ olmak üzere \(\frac{1}{3}\) ≤ \(\frac{1}{x}\) < 2 ise 2x+3’ün değer aralığını bulalım.

\(\frac{1}{3}\) ≤ \(\frac{1}{x}\) < 2 (Tüm taraflar pozitif olduğu için çarpmaya göre tersi alınır ve eşitsizlik yön değiştirir.)

3 ≥ x > \(\frac{1}{2}\) (Her taraf 2 ile çarpılır.)

6 ≥ 2x > 1 (Her tarafa 3 eklenir.)

9 ≥ 2x + 3 > 4 (Her tarafa 3 eklenir.)

2x+3’ün değer aralığı (4,9] olarak bulunur.

SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME

Verilen bir eşitsizliğin çözüm kümesini gerçek sayılarda aralık kavramı konusunda anlatıldığı şekilde sayı doğrusunda gösterilir.

ÖRNEK: 3x − 4 > −16 eşitsizliğini çözelim ve çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterelim.

3x − 4 > −16

3x  > −12

x > −4

Çözüm kümesi (−4,∞) olarak bulunur.

ÖRNEK: −11 ≤ 2x + 3 < 21 eşitsizliğini çözelim ve çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterelim.

−11 ≤ 2x + 3 < 21

−14 ≤ 2x < 18

−7 ≤ x < 9

Çözüm kümesi [−7,9) olarak bulunur.

ÖRNEK: 2x − 4 < x − 1 ≤ 3x + 7 eşitsizliğini çözelim ve çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterelim.

Eşitsizliğin üç tarafında farklı katsayılara sahip olan bu tür eşitsizliklerin çözüm iki parça halinde yapılır ve bulunan kümelerin kesişimi alınır.

► 1. KISIM

2x − 4 < x − 1

x < 3

► 2. KISIM

x − 1 ≤ 3x + 7

−8 ≤ 2x

−4 ≤ x

Bu iki eşitsizliğin (−4 ≤ x ve x < 3) kesişimi −4 ≤  x < 3 olur.

Çözüm kümesi [−4,3) olarak bulunur.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

TANIM VE KAVRAMLAR

a,b \(\in\) R ve a \(\neq\) 0 olmak üzere ax + b = 0 şeklinde ifade edilebilen denklemlere x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

Denklemlerin derecesi, değişkenin kuvvetine bağlıdır.

► 6x + 3 = 5 ve \(\frac{2x}{3}\) − 12  = 30 denklemleri birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerdir.

► x² = 16 ve \(\sqrt{x}\) + 1  = 9 denklemleri birinci dereceden denklem değildir.

Bir denklemde değişkenin (x) denklemi sağlayan değerini bulmaya denklem çözmek denir. Değişkenin (x) denklemi sağlayan değerine denklemin kökü denir. Denklemin köklerinden oluşan kümeye çözüm kümesi adı verilir ve genelde Ç harfi ile gösterilir.

Bu kavramları basit bir örnek üzerinde inceleyelim.

ÖRNEK: x + 2 = 5 denklemini sağlayan tek bir x değeri vardır ve bu değer 3’tür.

Denklem çözme:

x = 5 − 2

x = 3

Denklemin kökü: 3

Çözüm kümesi: Ç = { 3 }

DENKLEMLER NASIL ÇÖZÜLÜR?

Denklem çözerken amacımız değişkeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır. Bunun için değişken içeren terimleri eşitliğin bir tarafında, sabit (değişken içermeyen) terimleri eşitliğin diğer tarafında toplamaktır. Bunu yaparken eşitliğin bozulmaması, korunması gerekmektedir. Aşağıdaki işlemleri yaparsak eşitlik korunmuş olur.

Denklem çözerken:
✓ Eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir.
✓ Eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkartılabilir.
✓ Eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılabilir.
✓ Eşitliğin her iki tarafı aynı sayıya bölünebilir.

Bu işlemleri daha pratik yapmak için:
✓ ” + ” işaretli terimler eşitliğin diğer tarafına ” − ” işaretli olarak geçer.
✓ ” − ” işaretli terimler eşitliğin diğer tarafına ” + ” işaretli olarak geçer.
✓ Çarpım durumundaki katsayı eşitliğin diğer tarafına bölüm olarak geçer.
✓ Bölüm durumundaki katsayı eşitliğin diğer tarafına çarpım olarak geçer.

ÖRNEK: 3x − 3 = x + 5 denklemini çözelim.

Bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, diğer sayıları diğer tarafa toplarız.

3x − x = 5 + 3 (−3 sağa +3 olarak geçer, x sola −x olarak geçer.)

2x = 8 (x’in başındaki 2 katsayısını karşıya bölü olarak geçer.)

x = \(\frac{8}{2}\)

x = 4

ÖRNEK: 2(3x − 5) = 8 − 3(x + 4) denklemini çözelim.

6x − 10 = 8 − 3x − 12 (Parantez önlerindeki 2 ve −3 parantezlere dağıtılır.)

6x + 3x = 8 − 12 + 10 (−3x sola +3x olarak, −10 sağa +10 olarak geçer.)

9x = 6 (x’in başındaki 9 katsayısını karşıya bölü olarak geçer.)

x = \(\frac{6}{9}\)

Rasyonel katsayılı denklemleri çözerken kesirlerde yapılan bazı işlemler kullanılır (Payda eşitleme, Genişletme, Sadeleştirme). Ayrıca bazı durumlarda içler dışlar çarpımı da kullanılabilir.

ÖRNEK: \(\frac{x+14}{2x}\) = 4 denklemini çözelim.

\(\frac{x+14}{2x}\) = 4 (İçler-dışlar çarpımı yaparız.)

x + 14 = 8x

14 = 8x − x

14 = 7x

2 = x

ÖRNEK: \(\frac x2+\frac x3=5\) denkleminin kökünü bulalım.

\(\frac{3x}6+\frac{2x}6=5\) (Paydaları eşitleyip toplama işlemini yaparız.)

\(\frac{5x}6=5\) (İçler-dışlar çarpımı yaparız.)

5x = 30

x = 6

ÖRNEK: \(\frac{4x-10}{x-5}=\frac{10}{x-5}-\frac65\) denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\(\frac{4x-10}{x-5}-\frac{10}{x-5}=-\frac65\) (Değişkenli terimleri eşitliğin sol tarafına alırız.)

\(\frac{4x-20}{x-5}=\frac{-6}5\) (İçler-dışlar çarpımı yaparız.)

20x − 100 = −6x + 30

20x + 6x = 30 + 100

26x = 130

x = 5

x’in değerini 5 bulduk ancak bulduğumuz değer denklemi sağlamaz çünkü denklemde x yerine 5 yaptığımızda payda 0 oluyor. Bu nedenle x = 5 değeri için denklemin çözümü olamaz. O zaman bu denklemin çözüm kümesi boş kümedir.

Denklem çözümünde bulunan değer paydayı sıfır yapıyorsa bu değer denklemin kökü olarak kabul edilmez ve çözüm kümesine dahil edilmez.

ÇÖZÜM KÜMESİ – KATSAYI İLİŞKİSİ

ax + b = 0 denkleminin kökleri ve dolayısıyla çözüm kümesi katsayılar (a ve b) ile ilişkilidir.

1)  Denklemin Tek Çözümü (Kökü) Olması

ax + b = 0 denkleminde a \(\neq\) 0 ise denklemi sağlayan yalnız bir x değeri vardır ve bu değer \(-\frac{b}{a}\) dır.
a \(\neq\) 0 ise Ç = {\(-\frac{b}{a}\)}

ÖRNEK: 7x − 4 = 5x + 8 denklemini çözelim.

7x − 5x = 8 + 4

2x = 12

x = 6

Denklemde x yerine 6 yazılırsa eşitlik sağlanır. Ç = {6}

2)  Denklemin Çözümü (Kökü) Olmaması

ax + b = 0 denkleminde a = 0 ve b \(\neq\) 0 ise denklemi sağlayan x değeri yoktur ve çözüm kümesi boş kümedir.
a = 0 ve b \(\neq\) 0 ise Ç = \(\varnothing\)

ÖRNEK: 2x − 3 = 2.(x + 1) denklemini çözelim.

2x − 3 = 2x + 2

2x − 2x = 2 + 3

0 = 5

Denklemde x yerine hangi gerçek sayı verilirse verilsin eşitlik sağlanmaz. Ç = \(\varnothing\)

3)  Denklemin Sonsuz Çözümü (Kökü) Olması

ax + b = 0 denkleminde a = 0 ve b = 0 ise tüm gerçek sayılar denklemi sağlar ve çözüm kümesi gerçek sayılar kümesidir.
a = 0 ve b = 0 ise Ç = R

ÖRNEK: 3.(x − 2) = −6 + 3x denklemini çözelim.

3x − 6 = −6 + 3x

3x − 3x = −6 + 6

0 = 0

Denklemde x yerine hangi gerçek sayı verilirse verilsin eşitlik sağlanır. Ç = R

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

ARALIK KAVRAMI

Sayı doğrusu üzerinde birbirinden farklı iki noktanın arasındaki tüm gerçek sayılardan oluşan alt kümeye aralık denir.

Aralıklar, uç noktaların verilen kümeye dâhil olup olmamasına göre farklı şekilde adlandırılır. a ve b gerçek sayıları aralıkların uç noktaları olmak üzere aralıklar [a,b], (a,b), [a,b), (a,b] şeklinde gösterilir.

KAPALI ARALIK

Her iki uç noktasının da aralığa dâhil edildiği kümelere kapalı aralık denir.

A = { x | a \(\leq\) x \(\leq\) b ve a, b, x \(\in\) R } kümesi bir kapalı aralık belirtir ve bu aralık [a,b] ile ifade edilir.

Kapalı aralığın sayı doğrusunda gösterimi aşağıdaki gibidir.

AÇIK ARALIK

Her iki uç noktasının da aralığa dâhil edilmediği kümelere açık aralık denir.

A = { x | a \(\lt\) x \(\lt\) b ve a, b, x \(\in\) R } kümesi bir kapalı aralık belirtir ve bu aralık (a,b) ile ifade edilir.

Açık aralığın sayı doğrusunda gösterimi aşağıdaki gibidir.

YARI AÇIK ARALIK

Uç noktalarından yalnız birinin aralığa dâhil edildiği kümelere yarı açık aralık denir.

A = { x | a \(\leq\) x \(\lt\) b ve a, b, x \(\in\) R } ve A = { x | a \(\lt\) x \(\leq\) b ve a, b, x \(\in\) R } kümeleri birer yarı açık aralık belirtir, bu aralıklar sırasıyla [a,b) ve (a,b] ile ifade edilir.

Yarı açık aralığın sayı doğrusunda gösterimi aşağıdaki gibidir.

ALTTAN SINIRSIZ ARALIKLAR

adece üstten sınırlı olan aralıklara alttan sınırsız aralık denir.

A = { x | x \(\leq\) c ve c, x \(\in\) R } kümesinin belirttiği aralık (−∞,c] ile ifade edilir.

A = { x | x \(\lt\) c ve c, x \(\in\) R } kümesinin belirttiği aralık (−∞,c) ile ifade edilir.

Alttan sınırsız aralıkların sayı doğrusunda gösterimi aşağıdaki gibidir.

ÜSTTEN SINIRSIZ ARALIKLAR

Sadece alttan sınırlı olan aralıklara üstten sınırsız aralık denir.

A = { x | d \(\leq\) x ve d, x \(\in\) R } kümesinin belirttiği aralık [d,∞) ile ifade edilir.

A = { x | d \(\lt\) x ve d, x \(\in\) R } kümesinin belirttiği aralık (d,∞) ile ifade edilir.

Üstten sınırsız aralıkların sayı doğrusunda gösterimi aşağıdaki gibidir.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

PERİYOT NEDİR: Tekrarlayan olaylar arasında geçen sabit zaman aralığına periyot denir.

Günlük hayattaki bazı olaylar veya durumlar belli aralıklarla tekrar eder. Bu şekilde devreden (tekrarlayan) olaylara veya durumlara periyodik olaylar veya periyodik durumlar denir. Yılın aylarının 12 ayda bir tekrar etmesi, haftanın günlerinin 7 günde bir tekrar etmesi, askerlerin belirli aralıklarla nöbet tutması bu tür olaylara örnektir.

PERİYODİK OLARAK TEKRAR EDEN PROBLEMLER

Periyodik durum içeren problemleri çözmek için öncelikle olayın periyotunun (devretme aralığının) tespit edilmesi gerekir. Periyot bazen zaman aralığı olabileceği gibi bazen bir sayı da olabilir.

► Bugün günlerden Salı ise 85 gün sonra hangi gün olacağını bulalım.

Haftanın günleri 7 günde bir tekrarladığı için periyodumuz 7’dir. 7’nin katları kadar süre geçince haftanın aynı günü olur. Bu yüzden 85’i 7’ye böleriz ve kalan gün kadar ilerleriz.

85’i 7’ye bölersek kalan 1 olur. Salı gününden 1 gün ilerleriz ve cevabı Çarşamba olarak buluruz.

► Saat 17.30 olduğuna göre 70 saat sonra saatin kaç olacağını bulalım.

24 saatte bir aynı saati gördüğümüz için periyodumuz 24’tür. 70’i 24’e böleriz ve kalan saat kadar ilerleriz.

70’i 24’e bölersek kalan 22 olur. 17.30’a 22 saat eklersek 39.30 olur ancak 1 gün daha geçmiş olacağı için 39.30’dan 24 saat çıkarırız ve cevabı 15.30 olarak buluruz. (22 saat ileri gitmek yerine 2 saat geri de gelebilirdik.)

► Bir asker 4 günde bir nöbet tutmaktadır. İlk nöbetini Çarşamba günü tuttuysa 23. nöbetini hangi gün tutar bulalım.

Asker ilk nöbetini tuttuğu için 22 nöbet daha tutacaktır. 22.4 = 88 gün sonra 23. nöbetini tutacaktır.

88’i 7’ye bölersek kalan 4 olur. Çarşamba gününden 4 gün ilerleriz ve cevabı Pazar olarak buluruz.

► OFFOFFOFF… şeklinde devam eden harf dizisinin 124. harfi nedir bulalım.

Harf dizisi OFF / OFF / OFF / … şeklinde devam ettiği için periyodumuz 3’tür.

124’ü 3’e bölersek kalan 1 (bir) olur. Cevap baştan 1. harf olan O harfidir.

► Bir işçi 4 gün çalışıp 2 gün tatil yapmaktadır. Perşembe günü işe başlayan bu işçinin 9. tatil aralığı hangi günlere denk gelir bulalım.

İşçi 4 gün çalışıp 2 gün tatil yaptığı için 6 günde bir döngü oluşur, periyodumuz 6’dır. 6.9 = 54. gün dokuzuncu döngüsü bitmiş ve 10. döngüsünün ilk gününe denk gelmiş olur. Ancak döngünün son 2 günü tatil olduğu için 52. ve 53. günleri bulmak gerekir.

54’ü 7’ye bölersek kalan 5 olur. Perşembe gününe 5 gün eklersek Salı günü 10. döngüsüne başlamış olur ancak tatil günleri döngünün son 2 günü olduğu için  9. tatil aralığı Pazar ve Pazartesi gününe denk gelir.

► Aşağıdaki tabloya A, B, C, D, E sırası takip edilerek “1 9 2 3 1 9 2 3 … ” yazılmıştır. Buna göre 22. satırın rakam dizilimini bulalım.

Tablo incelenirse 4 satırda bir aynı satırla karşılaşıldığı görülür. 1 – 5 – 9 – 13 – 17 ve 21. satırlar aynı olacaktır (19231).

22. satırda rakamlar 19231 satırından bir sonraki satır şeklinde dizilir ve cevap 92319 olur.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)

En az biri sıfırdan farklı iki veya daha fazla tam sayının pozitif ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni kısaca “EBOB“u denir.
a ve b tam sayılarının en büyük ortak böleni EBOB(a,b) veya (a,b)_ebob şeklinde gösterilir.

ÖRNEK: 18 ve 24 sayılarının en büyük ortak bölenini adım adım bulalım.

► Öncelikle 18 ve 24 sayılarının pozitif bölenlerini yazalım ve ortak olanları işaretleyelim.

18’in pozitif tam sayı bölenleri:
1, 2, 3, 6, 9, 18

24’ün pozitif tam sayı bölenleri:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

► Ortak bölenlerin en büyüğü olan 6 bu iki sayının EBOB’udur.

EBOB (18,24) = 6 veya (18,24)_ebob = 6 şeklinde gösterilir.

ÖRNEK: 18 ve 12 sayılarının EBOB’unu asal çarpanlar algoritması yöntemiyle bulalım.

Bu yöntemde sayılar yan yana yazılarak asal sayılara bölünür. Tercihen en küçük asal sayıdan başlanarak devam edilir. Asal sayı hiç bir sayıyı bölmüyorsa bir büyük asal sayıya geçilir. İki sayı da 1 olana kadar işleme devam edilir. Sayıları ortak bölen asal sayıların çarpımı bu sayıların EBOB’udur.

Verilen algoritmada 2 ve 3 sayıları hem 18’i hem de 12’yi böldükleri için işaretlenmiştir. İşaretli sayıların çarpımı EBOB’u verir.

EBOB (18, 12) = 2.3 = 6

EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK)

En az biri sıfırdan farklı iki veya daha fazla tam sayının pozitif ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı kısaca “EKOK“u denir.
a ve b tam sayılarının en küçük ortak katı EKOK(a,b) veya (a,b)_ekok şeklinde gösterilir.

ÖRNEK: 4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katını adım adım bulalım.

► Öncelikle 4 ve 6 sayılarının pozitif katlarını yazalım ve ortak olanları işaretleyelim.

4’ün pozitif tam katları:
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, …

6’nın pozitif tam katları:
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, …

► Ortak katların en küçüğü olan 12 bu iki sayının EKOK’udur.

EKOK (4,6) = 12 veya (4,6)_ekok = 12 şeklinde gösterilir.

ÖRNEK: 18 ve 12 sayılarının EKOK’unu asal çarpanlar algoritması yöntemiyle bulalım.

Bu yöntemde sayılar yan yana yazılarak asal sayılara bölünür. Tercihen en küçük asal sayıdan başlanarak devam edilir. Asal sayı hiç bir sayıyı bölmüyorsa bir büyük asal sayıya geçilir. İki sayı da 1 olana kadar işleme devam edilir. Sayıları bölen tüm asal sayıların çarpımı bu sayıların EKOK’udur.

Verilen algoritmada sayıları bölen asal sayılar 2, 2, 3,3 olarak görülmektedir. Bu sayıların çarpımı EKOK’u verir.

EKOK (18, 12) = 2.2.3.3 = 36

EBOB ve EKOK’UN ÖZELLİKLERİ

İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların EBOB’u ile EKOK’unun çarpımına eşittir.
a ve b pozitif tam sayıları için, a . b = EBOB (a,b) . EKOK (a,b)

ÖRNEK: 6 ve 8 sayılarını inceleyelim:

6 ve 8 sayılarının EBOB’u 2, EKOK’u 24’tür.

Burada 6 . 8 = 2 . 24 eşitliğinin sağlandığı görülür.

Biri diğerinin tam katı olan iki pozitif tam sayının EBOB’u küçük sayıya, EKOK’u büyük sayıya eşittir.
a sayısı b’nin tam katı ise, EBOB (a,b) = b ve EKOK (a,b) = a

ÖRNEK: 6 ve 12 sayılarını inceleyelim:

6 ve 12 sayılarının EBOB’u 6, EKOK’u 12’dir.

Burada EBOB’un küçük sayıya, EKOK’un büyük sayıya eşit olduğu görülür.

Aralarında asal iki pozitif tam sayının EBOB’u 1’e, EKOK’u ise bu sayıların çarpımına eşittir.
a ve b aralarında asal ise, EBOB (a,b) = 1 ve EKOK (a,b) = a.b

ÖRNEK: 9 ve 16 sayılarını inceleyelim:

9 ve 16 sayıları aralarında asaldır, bu sayıların EBOB’u 1, EKOK’u ise 144’tür.

Burada EBOB’un 1’e, EKOK’un ise bu iki sayının çarpımına eşit olduğu görülür.

Asal çarpanlarına ayrılmış olan pozitif tam sayıların EBOB ve EKOK’u şu şekilde bulunur:
EBOB = Ortak olan asal çarpanlardan üssü küçük olanların çarpımı
EKOK = Ortak olan asal çarpanlardan üssü büyük olanlar ile ortak olmayan asal çarpanların çarpımı

ÖRNEK: A = 2. 3 . 5³ ve B = 2² . 3 . 5² . 7 sayılarını inceleyelim:

Ortak olan asal çarpanlardan üssü küçük olanlar (aşağıda kalın yazılmıştır) EBOB’a, diğerleri EKOK’a yazılır ve çarpılır.

A = 2¹ . 3¹ . 5³
B = 2² . 3¹ . 5² . 7

EBOB (A,B) = 2¹ . 3¹ . 5²
EKOK (A,B) = 2² . 3¹ . 5³ . 7

EBOB – EKOK SORULARI

► 20, 30 ve 50 sayılarının EBOB ve EKOK’larını bulalım.

EBOB (20, 30, 50) = 2.5 = 10

EKOK (20, 30, 50) = 2.2.3.5.5 = 300

► EBOB (23, 69) + EKOK (23, 69) işleminin sonucunu bulalım.

69 sayısı 23’ün tam katı olduğu için bu sayıların EBOB’u 23, EKOK’u 69’dur.

Sonuç 23 + 69 = 92 olarak bulunur.

► 20 ile A sayısının EBOB’u 10, EKOK’u 60 ise A sayısını bulalım.

İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB’u ile EKOK’unun çarpımına eşittir.

Bu yüzden 20.A = 10.60 eşitliğinden A = 30 olarak bulunur.

► 24 ile 25 sayılarının EBOB ve EKOK’unu bulalım.

Ardışık sayılar aralarında asaldır ve aralarında asal sayıların EBOB’u 1, EKOK’u sayıların çarpımıdır.

Bu yüzden EBOB (24,25) = 1 ve EKOK (24,25) = 600 olarak bulunur.

► K = 2³ . 3² . 5 , L = 2² . 3² . 7 ve M = 2⁴ . 3 ise EBOB (K, L, M) ve EKOK (K, L, M) değerlerini bulalım.

Ortak olan asal çarpanlardan üssü küçük olanlar EBOB’a, üssü büyük olanlar ile ortak olmayanlar EKOK’a yazılır ve çarpılır.

K = 2³ . 3² . 5
L  = 2² . 3² . 7
M = 2⁴ . 3¹

EBOB (K, L, M) = 2² . 3

EKOK (K, L, M) = 2⁴ . 3² . 5 . 7

EBOB – EKOK PROBLEMLERİ

“EBOB ve EKOK problemleri nasıl çözülür?” sorusunun cevabı “EBOB – EKOK problemleri nasıl ayırt edilir?” sorusunun cevabında gizlidir. Öncelikle soruda verilenler ile istenilene nasıl ulaşılabileceği düşünülürse soruda EBOB mu EKOK mu kullanılacak ortaya çıkmış olur. Eğer istenilene ulaşırken verilen sayıların katları kullanılacak ise EKOK, bölenleri kullanılacak ise EBOB çözüme yardımcı olacaktır.

EBOB – EKOK sorularını ayırt etmede her soruda geçerli bir kural yoktur ancak genel olarak şu şekilde ayırt edilebilir:

• PARÇA verilip BÜTÜN soruluyorsa EKOK kullanılır.
• BÜTÜN verilip PARÇA soruluyorsa EBOB kullanılır.

EBOB SORULARI GENELDE ŞÖYLEDİR:

1) Bidonlarda, varillerde, şişelerde, çuvallarda, kaplarda bulunan malzemeler verilip daha küçük eşit başka kaplara aktarılıyorsa,

2) Tarlanın, bahçenin, arsanın ölçüleri verilip etrafına eşit aralıklarla ağaç veya direk dikiliyorsa,

3) Gruplar verilip bunlar için kaç uçak, otobüs, araba veya oda gerekir diye soruluyorsa,

4) Dikdörtgenler prizması şeklindeki odanın, kutunun, deponun ölçüleri verilip içine kaç küp sığar diye soruluyorsa,

5) Kumaşlar, bezler, demir çubukların uzunlukları verilip eşit parçalara ayrılıyorsa,

6) Dikdörtgen şeklindeki kartonun ölçüleri verilip küçük kare kartonlara parçalanıyorsa EBOB kullanılır.

EKOK SORULARI GENELDE ŞÖYLEDİR:

1) Cevizler, fındıklar, şekerler, bilyeler üçer-beşer vs. sayılıyorsa veya bunlar sayıldıktan sonra artan oluyorsa,

2) Gemiler, arabalar, yarışçılar beraber yola çıkıp bir yerde karşılaşıyorsa,

3) Sınıfta öğrenciler ikişer-üçer vs. sıralara oturuyorlarsa veya bunlardan ayakta kalanlar oluyorsa,

4) Ziller, saatler birlikte ne zaman çalar diye soruluyorsa,

5) Doktorlar, hemşireler, işçiler birlikte ne zaman nöbet tutar diye soruluyorsa,

6) Dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlaların, kutuların ölçüleri verilip küp yapılıyorsa EKOK kullanılır.

ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER

► 80 cm ve 120 cm uzunluğunda iki demir çubuk, hiç artmadan eşit uzunlukta parçalara ayrılacaktır. Bir parçanın uzunluğu en fazla kaç cm olur?

Bütün verilip eş parçalara ayrılacağı için EBOB kullanılır.

EBOB (80, 120) = 40 cm olarak cevap bulunur.

► 40 L zeytin yağı ve 70 L ayçiçek yağı hiç artmadan eşit hacimli şişelere doldurulacaktır. Bu iş için en az kaç şişe gereklidir?

Bütün verilip eş parçalara ayrılacağı için EBOB kullanılır. Az şişe kullanmak için şişenin hacminin büyük olması gerekir.

EBOB (40, 70) = 10 L (şişenin hacmi)

40 : 10 = 4 şişe zeytin yağı, 70 : 10 = 7 şişe ayçiçek yağı olur. Toplam 11 şişe gereklidir.

► Yunus bilyelerini dörder, beşer ve altışar saydığında her defasında 1 bilyesi artıyor. Buna göre, Yunus’un en az kaç tane bilyesi vardır?

Eğer 1 bilyesi eksik olsaydı bilye sayısı hem 4’ün, hem 5’in, hem de 6’nın katı olacaktı.

EKOK (4, 5, 6) = 60 bilye 4, 5 ve 6’ya bölünür.

Ancak 1 bilyesi eksik olsaydı diye düşündüğümüz için en az 61 bilyesi vardır.

► Doktor Ayşe 6 günde bir, hemşire Zeynep 8 günde bir nöbet tutmaktadır. İkisi birlikte Cuma günü nöbet tuttuktan sonraki 2. birlikte nöbetleri hangi gün olur?

EKOK (6, 8) = 24 gün

Cuma’dan sonraki → ilk nöbet 24 gün sonra → 2. nöbet 48 gün sonra

Haftanın günleri 7 günde tekrarlar. 49 gün sonra Cuma olacağı için 48 gün sonrası Perşembe olur.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!