Bölünebilme kurallarına geçmeden önce bölme işlemini ve bölme işlemindeki sayılar arasındaki ilişkiyi hatırlatmakta fayda var.

BÖLME İŞLEMİ

Bir bölme işleminde Bölünen = Bölen . Bölüm + Kalan eşitliği vardır.
(A, B, C, K birer doğal sayı ve B \(\neq\) 0 olmak üzere A sayısının B sayısına bölünmesiyle elde edilen bölüm C ve kalan K ise A = B . C + K eşitliği elde edilir.)

Örneğin yukarıdaki bölme işleminde 13 = 6 . 2 + 1 eşitliğinin sağlandığı görülmektedir.

Bölme işleminde kalan bölenden küçük olmak zorundadır.
( 0 ≤ K < B )

Örneğin yukarıdaki bölme işleminde kalan (1) bölenden (6) küçüktür.

Bölme işleminde bölüm kalandan büyük ise bölen ile bölüm yer değiştirebilir.
( K < C ise B ile C yer değiştirebilir.)

Örneğin yukarıdaki bölme işleminde kalan (1) bölümden (2) küçük olduğu için bölen (6) ile bölüm (2) yer değiştirebilir.

Bölme işleminde kalan “0” ise bu bölme işlemine kalansız bölme işlemi denir.
( K = 0 ise A sayısı B ile kalansız bölünür.)

Örneğin yukarıdaki bölme işleminde kalan (1) olduğu için bu bölme işlemi kalanlı bir bölme işlemidir.

2 ile BÖLÜNEBİLME KURALI

Birler basamağında 0, 2, 4, 6, 8 olan sayılar 2 ile kalansız (tam) bölünebilir. İki ile kalansız bölünebilen sayılara çift sayılar denir.

ÖRNEK: 126, 32, 2020 sayıları çift sayılardır ve 2 ile kalansız bölünebilirler.

ÖRNEK: 541A sayısı 2 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?

2 ile kalansız bölünüyorsa çift sayıdır ve A = 0, 2, 4, 6, 8 olur. Cevap 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 20’dir.

NOT: İki ile kalansız bölünemeyen sayılara tek sayılar denir. Diğer bir ifade ile birler basamağı 1, 3, 5, 7, 9 olan sayılar tek sayılardır. Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1’dir.

ÖRNEK: 127, 33, 2021 sayıları tek sayılardır ve 2 ile bölündüğünde 1 kalanını verirler.

ÖRNEK: 276B sayısı 2’ye tam bölünemiyorsa B yerine gelebilecek rakamların çarpımı kaçtır?

2’ye tam bölünemiyorsa B tek sayıdır ve B = 1, 3, 5, 7, 9 olur. Cevap 1.3.5.7.9 = 945’tir.

3 ile BÖLÜNEBİLME KURALI

Rakamları toplamı 3’ün katı olan sayılar 3 ile kalansız (tam) bölünebilir.

ÖRNEK: 2352 sayısı 3 ile tam bölünebilir, çünkü bu sayının rakamları toplamı: 2 + 3 + 5 + 2 = 12’dir.

ÖRNEK: 2020 sayısı 3 ile tam bölünemez, çünkü bu sayının rakamları toplamı: 2 + 0 + 2 + 0 = 4’tür.

NOT: Bir sayının 3 ile bölümünden kalanı, sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalanına eşittir.

ÖRNEK: 2021 sayısının 3 ile bölümünden kalanı bulalım.

2 + 0 + 2 + 1 = 5’tir. 5’in 3 ile bölümünden kalan 2 olduğu için 2021’in 3 ile bölümünden kalan 2’dir.

ÖRNEK: 276A sayısı 3 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?

3 ile kalansız bölünüyorsa 2 + 7 + 6 + A = 15 + A sayısı 3’ün katı olmalıdır.

A yerine 0, 3, 6, 9 yazarsak bu sayının rakamları toplamı 3’ün katı olur.

A yerine yazabileceğimiz rakamların toplamı = 0 + 3 + 6 + 9 = 18’dir.

4 ile BÖLÜNEBİLME KURALI

Son iki basamağının oluşturduğu sayı 00 veya 4’ün katı olan sayılar 4 ile kalansız (tam) bölünebilir.

ÖRNEK: 120, 312, 2000 sayıları 4’e tam bölünebilirler. 2345, 142, 215 sayıları 4’e tam bölünemez.

ÖRNEK: 871A sayısı 4 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?

4 ile kalansız bölünüyorsa son iki basamağı: 12 ve 16 olabilir. A yerine yazılabilecek rakamların toplamı: 2 + 6 = 8’dir.

NOT: Bir sayının 4 ile bölümünden kalanı, son iki basamağındaki rakamların oluşturduğu sayının 4 ile bölümünden kalanına eşittir.

ÖRNEK: 2023 sayısının 4 ile bölümünden kalanı bulalım.

23 sayısının 4’e bölümünden kalan 3 olduğu için 2023 sayısının 4 ile bölümünden kalan 3’tür.

5 ile BÖLÜNEBİLME KURALI

Birler basamağında 0 veya 5 olan sayılar 5 ile kalansız (tam) bölünebilir.

ÖRNEK: 2530 ve 5315 sayıları 5’e tam bölünebilir. 2019 ve 657 sayıları 5’e tam bölünemez.

NOT: Bir sayının 5 ile bölümünden kalanı, birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalanına eşittir.

ÖRNEK: 2023 sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulalım.

2023 sayısı 5’e tam bölünemez, kalan 3’tür.

ÖRNEK: 569 sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulalım.

569 sayısı 5’e tam bölünemez. 9’un 5’e bölümünden kalan 4 olduğu için 569’un 5’e bölümünden kalan 4’tür.

8 ile BÖLÜNEBİLME KURALI

Son üç basamağının oluşturduğu sayı 000 veya 8’in katı olan sayılar 8 ile kalansız (tam) bölünebilir.

ÖRNEK: 51 240, 97 096, 786 000 sayıları 8’e tam bölünebilirler. 21 425, 80 402, 12 193 sayıları 8’e tam bölünemez.

ÖRNEK: 95 1A2 sayısı 8 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?

8 ile kalansız bölünüyorsa son üç basamağı: 112, 152 ve 192 olabilir. A yerine yazılabilecek rakamların toplamı: 1 + 5 + 9 = 15’tir.

NOT: Bir sayının 8 ile bölümünden kalanı, son üç basamağındaki rakamların oluşturduğu sayının 8 ile bölümünden kalanına eşittir.

ÖRNEK: 65 538 sayısının 8 ile bölümünden kalanı bulalım.

538 sayısının 8’e bölümünden kalan 2 olduğu için 65 538 sayısının 8 ile bölümünden kalan 2’dir.

9 ile BÖLÜNEBİLME KURALI

Rakamları toplamı 9’un katı olan sayılar 9 ile kalansız (tam) bölünebilir.

ÖRNEK: 5436 sayısı 9 ile tam bölünebilir, çünkü bu sayının rakamları toplamı: 5 + 4 + 3 + 6 = 18’dir.

ÖRNEK: 2021 sayısı 9 ile tam bölünemez, çünkü bu sayının rakamları toplamı: 2 + 0 + 2 + 1 = 5’tir.

NOT: Bir sayının 9 ile bölümünden kalanı, sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalanına eşittir.

ÖRNEK: 3471 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım.

3 + 4 + 7 + 1 = 15’tir. 15’in 9 ile bölümünden kalan 6 olduğu için 3471’in 9 ile bölümünden kalan 6’dır.

ÖRNEK: 735A sayısı 9 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?

9 ile kalansız bölünüyorsa 7 + 3 + 5 + A = 15 + A sayısı 9’un katı olmalıdır.

A yerine 3 yazarsak bu sayının rakamları toplamı 18 olur ve 9 ile kalansız bölünebilir.

10 ile BÖLÜNEBİLME KURALI

Birler basamağında 0 olan sayılar 10 ile kalansız (tam) bölünebilir.

ÖRNEK: 5720 ve 37 590 sayıları 10’a tam bölünebilir. 2019 ve 8756 sayıları 10’a tam bölünemez.

NOT: Bir sayının 10 ile bölümünden kalanı birler basamağındaki rakama eşittir.

ÖRNEK: 2023 sayısının 10 ile bölümünden kalanı bulalım.

2023 sayısının birler basamağı 3 olduğu için 10 ile bölümünden kalan 3’tür.

ÖRNEK: 25 37A sayısının 10 ile bölümünden kalan 7 ise 3 ile bölümünden kalanı bulalım.

10 ile bölümünden kalan 7 ise bu sayının birler basamağı 7’dir.

25 377 sayısının 3 ile bölümünden kalanını bulmak için rakamlarını toplarız.

2 + 5 + 3 + 7 + 7 = 24 olduğu için 3’e tam bölünür, kalan 0 olur.

11 ile BÖLÜNEBİLME KURALI

abcdef gibi bir sayının 11 ile bölümünden kalanı bulmak için sayının birler basamağından başlayarak “+” ve “−” işaretleri sırayla yazılır ve aşağıdaki işlemler yapılır.

a b c d e f → (b + d + f) − (a + c + e) işleminin sonucu bulunur.
− + − + − +

Eğer sonuç 0 veya 11’in katı çıkarsa (…, −22, −11, 0, 11, 22, …) bu sayı 11’e kalansız (tam) bölünebilir.

ÖRNEK: 49 676 ve 708 785 sayılarının 11’e tam bölünüp bölünmediğini inceleyelim.

4 9 6 7 6 → (4 + 6 + 6) − (9 + 7) = 0
+ − + − +
Sonuç 0 olduğu için bu sayı 11’e tam bölünür.

7 0 8 7 8 5 → (0 + 7 + 5) − (7 + 8 + 8) = −11
− + − + − +
Sonuç −11 olduğu için bu sayı 11’e tam bölünür.

NOT: Bir sayının 11 ile bölümünden kalanı, “+” ve “−” işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalanına eşittir. (Sonuç negatif çıkarsa negatiflikten kurtulana kadar 11 eklenir.)

ÖRNEK: 50 129 ve 928 476 sayılarının 11’e bölümünden kalanlarını bulalım.

5 0 1 2 9 → (5 + 1 + 9) − (0 + 2) = 13
+ − + − +
Sonuç 13 olduğu için bu sayı 11’e tam bölünmez. 13’ün 11’e bölümünden kalan 2 olduğu için bu sayının da 11’e bölümünden kalan 2’dir.

9 2 8 4 7 6 → (2 + 4 + 6) − (9 + 8 + 7) = −12
− + − + − +
Sonuç −12 olduğu için bu sayı 11’e tam bölünmez. Pozitif yapana kadar 11 ekleriz. −12 + 11 = −1 , −1 + 11 = 10 olduğuna göre bu sayının 11’e bölümünden kalan 10’dur.

DİĞER BÖLÜNEBİLME KURALLARI

Aralarında asal iki sayıdan her birine bölünebilen bir sayı, bu sayıların çarpımına da bölünür.

•  2 ve 3  ile bölünebilen bir sayı,  6  ile bölünebilir.
•  3 ve 4  ile bölünebilen bir sayı, 12 ile bölünebilir.
•  3 ve 5  ile bölünebilen bir sayı, 15 ile bölünebilir.
•  2 ve 9  ile bölünebilen bir sayı, 18 ile bölünebilir.
•  3 ve 8  ile bölünebilen bir sayı, 24 ile bölünebilir.
• 3 ve 10 ile bölünebilen bir sayı, 30 ile bölünebilir.
•  4 ve 9  ile bölünebilen bir sayı, 36 ile bölünebilir.
• 4 ve 11 ile bölünebilen bir sayı, 44 ile bölünebilir.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

İnsanlar tarih boyunca sayılara ihtiyaç duymuş ve kullanmıştır. İnsanların hayvanları sayma ihtiyacından dolayı sayıların ilk defa ortaya çıktığı ve kullanıldığı düşünülmektedir. Zamanla farklı ihtiyaçlar farklı sayı kümeleri ile giderilmiştir. Bu konuda farklı sayı kümelerini ve sayı kümelerinin birbiriyle ilişkisini göreceğiz.

RAKAM VE SAYI

Sayıları yazmak için kullanılan sembollere rakam denir. Bir çokluğu belirtmen için bir veya birden fazla rakamla yazılan ifadeye sayı denir.

Kullandığımız 10’luk sayı sisteminde rakamlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 olmak üzere 10 adettir.

1923, 100, 5 ve 81 birer sayıdır.

DOĞAL SAYILAR KÜMESİ

N = { 0, 1, 2, 3, 4, … } kümesine doğal sayılar kümesi denir ve ” N “ harfi ile isimlendirilir.

ÖRNEK: En küçük doğal sayı ile iki basamaklı en büyük doğal sayının toplamı kaçtır?

En küçük doğal sayı 0’dır.

En büyük iki basamaklı doğal sayı 99’dur.

0 + 99 = 99 cevabı bulunur.

TAM SAYILAR KÜMESİ

Z = { …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … } kümesine tam sayılar kümesi denir ve ” Z “ harfi ile isimlendirilir.

• 0’dan küçük tam sayılara negatif tam sayılar denir ve ” Z⁻ “ ile gösterilir. Z⁻ = { −1, −2, −3, … }
• 0’dan büyük tam sayılara pozitif tam sayılar denir ve ” Z⁺ “ ile gösterilir. Z⁺ = { 1, 2, 3, …}
• Z = Z⁻ \(\cup\) {0} \(\cup\) Z⁺

ÖRNEK: En küçük iki basamaklı tam sayı ile en küçük pozitif tam sayının toplamı kaçtır?

En küçük iki basamaklı tam sayı −99’dur.

En küçük pozitif tam sayı 1’dir.

−99 + 1 = −98 cevabı bulunur.,

Her doğal sayı aynı zamanda tam sayıdır.

RASYONEL SAYILAR KÜMESİ

a ve b aralarında asal tam sayılar ve b sıfırdan farklı olmak üzere \(\frac{a}{b}\) şeklinde yazılabilen sayıların kümesine rasyonel sayılar kümesi denir ve ” Q “ harfi ile isimlendirilir.

• Q = { \(\frac{a}{b}\) | a, b \(\in\) Z , b \(\neq\) 0 ve EBOB(a,b) = 1 }
• 0’dan küçük rasyonel sayılara negatif rasyonel sayılar denir ve ” Q⁻ “ ile gösterilir.
• 0’dan büyük rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar denir ve ” Q⁺ “ ile gösterilir.
• Q = Q⁻ \(\cup\) {0} \(\cup\) Q⁺

ÖRNEK: Aşağıdakilerden hangilerinin rasyonel sayı olduğunu belirleyelim.

► \(7\;=\frac71\) şeklinde yazılabildiği için doğal sayılar rasyonel sayıdır.

► \(-5\;=-\frac51\) şeklinde yazılabildiği için tam sayılar rasyonel sayıdır.

► \(0\;=\frac01\) şeklinde yazılabildiği için “0” rasyonel sayıdır.

► \(-1\frac35=-\frac85\) şeklinde yazılabildiği için kesirler rasyonel sayıdır.

► \(0,2=\frac2{10}\) şeklinde yazılabildiği için ondalık sayılar rasyonel sayıdır.

► \(1,\overline3=1,333…\;=\frac{12}9\) şeklinde yazılabildiği için devirli sayılar rasyonel sayıdır.

► \(\frac90\) ifadesinde paydada sıfır olduğu için rasyonel sayı değildir, tanımsızdır.

Her doğal sayı, tam sayı aynı zamanda rasyonel sayıdır.

İRRASYONEL SAYILAR KÜMESİ

a ve b aralarında asal tam sayılar ve b sıfırdan farklı olmak üzere \(\frac{a}{b}\) şeklinde yazılamayan sayıların kümesine irrasyonel sayılar kümesi denir ve ” Q’ “ harfi ile isimlendirilir.

• Kök dışına tam olarak çıkamayan sayılar irrasyonel sayıdır.
• Ondalık açılımı sınırsız ve devirsiz olan sayılar irrasyonel sayıdır.

ÖRNEK: Aşağıdakilerden hangilerinin irrasyonel sayı olduğunu belirleyelim.

► \(\sqrt{20}\) kök dışına tam çıkamadığı için irrasyonel sayıdır.

► \(\sqrt{20}\) = 4,4721359549… şeklinde sınırsız ve devirsiz olduğu için de irrasyonel sayıdır.

► \(π\) sayısının ondalık açılımı 3,141592653… şeklinde sınırsız ve devirsiz olduğu için \(π\) sayısı irrasyonel bir sayıdır.

► \(e\) sayısının ondalık açılımı 2,718281828259… şeklinde sınırsız ve devirsiz olduğu için \(e\) sayısı irrasyonel bir sayıdır.

► \(\frac20\) ifadesinde paydada sıfır olduğu için irrasyonel sayı değildir, tanımsızdır.

ÖRNEK: \(\sqrt{2}\) sayısının sayı doğrusundaki yerini belirleyelim.

\(\sqrt{2}\) = 1,41421356237… olduğu için sayı doğrusunda 1,4’e çok yakındır. \(\sqrt{2}\)‘nin sayı doğrusundaki yerini tam olarak belirleyebilmek için Pisagor Teoremi’ni kullanabiliriz.

Dik kenar uzunlukları 1 br olan ikizkenar dik üçgenin hipotenüs uzunluğu \(\sqrt{2}\) br’dir. Sayı doğrusunda bir dik kenarı [0,1] aralığı olan ve dik köşesi 1 üzerinde olan ikizkenar dik üçgen çizeriz ve bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu pergel ile sayı doğrusunda işaretleriz. İşaretlediğimiz bu nokta \(\sqrt{2}\)‘nin konumudur.

Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar kümesi ayrık kümelerdir. Q \(\cap\) Q’ = \(\varnothing\)

GERÇEK SAYILAR KÜMESİ

Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine gerçek (reel) sayılar kümesi denir ve ” R “ harfi ile isimlendirilir.

• Gerçek sayılar rasyonel ve irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. R = Q \(\cup\) Q’
• 0’dan küçük gerçek sayılara negatif gerçek sayılar denir ve ” R⁻ “ ile gösterilir.
• 0’dan büyük gerçek sayılara pozitif gerçek sayılar denir ve ” R⁺ “ ile gösterilir.
• R = R⁻ \(\cup\) {0} \(\cup\) R⁺

Gerçek sayıların geometrik temsili sayı doğrusudur. Tüm gerçek sayılar sayı doğrusunda yer alır ve gerçek sayılar sayı doğrusunu tamamen doldurur.

SAYI KÜMELERİ ARASINDAKİ İLİŞKİ

Sayı kümeleri arasında N \(\subset\) Z \(\subset\) Q \(\subset\) R ilişkisi ve Q \(\cup\) Q’ = R ilişkisi vardır.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

SIRALI İKİLİ

a ve b gibi iki eleman arasına virgül konularak (a, b) şeklinde yazılmasına sıralı ikili denir. (a, b) sıralı ikilisinde a’ya birinci bileşen, b’ye ikinci bileşen denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki kişilerin konumlarını ilk bileşen sütun olacak şekilde sıralı ikili olarak gösterelim.

Sıralı ikililer Ece (3, 1) – Ali (1, 2) – Nil (2, 3) – Can (4, 4) şeklinde olur.

Sıralı ikililerde bileşenlerin sırası önemlidir. (a, b) \(\neq\) (b, a)

Sıralı İkililerin Eşitliği

İki sıralı ikilinin birinci bileşenleri birbirlerine, ikinci bileşenleri de birbirlerine eşit ise bu sıralı ikiler eşittir.

(a, b) ve (c, d) sıralı ikilileri birbirine eşit ise bu durum (a, b) = (c, d) şeklinde gösterilir. Bu durumda a = c ve b = d olur.

ÖRNEK: (2x + 1 , 9) = (11, 3y) olduğuna göre x + y kaçtır bulalım.

Eşit sıralı ikililerde aynı sıradaki bileşenler birbirine eşittir.

2x + 1 = 11 olur ve buradan x = 5 bulunur.

9 = 3y olur ve buradan y = 3 bulunur.

x + y = 5 + 3 = 8 olarak sonuç bulunur.

KARTEZYEN ÇARPIM KÜMESİ

Birinci bileşeni bir A kümesinden, ikinci bileşeni ise bir B kümesinden alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine A kartezyen çarpım B kümesi denir ve AxB şeklinde gösterilir.

AxB kümesinin ortak özellik yöntemi ile AxB = { (a, b) | a \(\in\) A ve b \(\in\) B} şeklinde ifade edilir.

ÖRNEK: A = {a, b, c} ve B = {1, 2} kümeleri verilsin. AxB ve BxA kümelerini yazalım.

► AxB kümesini yazmak için A’daki elemanların her birini B’dekilerle tek tek eşleştirip yazalım.

AxB = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} olur.

► BxA kümesini yazmak için B’deki elemanların her birini A’dakilerle tek tek eşleştirip yazalım.

BxA = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} olur.

KARTEZYEN ÇARPIM KÜMESİNİN GRAFİĞİ

Kartezyen çarpım grafiği çizilirken kartezyen çarpım kümesinin elemanları birinci bileşenleri x ekseninde, ikinci bileşenleri y ekseninde olacak şekilde işaretlenir.

ÖRNEK: A = {2, 3} ve B = {1, 2, 3} kümeleri verilsin. AxB kümesini bulalım ve grafiğini çizelim.

AxB = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

x ekseni A, y ekseni B olacak şekilde grafik çizilir.

ÖRNEK: A = {0, 1, 2} ve B = {−1, 0, 2} kümeleri verilsin. BxA kümesini bulalım ve grafiğini çizelim.

BxA = {(−1, 0), (−1, 1), (−1, 2), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}

x ekseni B, y ekseni A olacak şekilde grafik çizilir.

KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELLİKLERİ

1) AxB \(\neq\) BxA

Kartezyen çarpımda değişme özelliği yoktur.

2) Ax\(\varnothing\) = \(\varnothing\)xA = \(\varnothing\)

Bir kümenin boş küme ile kartezyen çarpımı boş kümedir.

3) s(AxB) = s(A) . s(B)

A ile B’nin kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayıları çarpımına eşittir.

4) Ax(B \(\cap\) C) = (AxB) \(\cap\) (AxC)

Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği vardır.

5) Ax(B \(\cup\) C) = (AxB) \(\cup\) (AxC)

Kartezyen çarpımın birleşim üzerine dağılma özelliği vardır.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

KÜMELERDE KESİŞİM VE BİRLEŞİM İŞLEMİ

A ve B gibi iki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B’nin kesişim kümesi denir ve A  \(\cap\) B biçiminde gösterilir.

A ve B kümelerinin kesişimi ortak özellik yöntemi ile A \(\cap\) B = { x | x  \(\in\) A ve x \(\in\) B } şeklinde ifade edilir.

A ve B kümelerinin kesişim kümesi, Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir.

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim kümelerini bulalım.

► A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 3, 4, 5, 6, 7 }

A \(\cap\) B = { 3, 4 }

► K = { a, b, c } ve L = { k, l, m, n, p }

K \(\cap\) L = { }

► P = { 1, 2, 3, 4 }, R = { 4, 5, 6 } ve S = { 2, 4, 6, 8 }

P \(\cap\) R \(\cap\) S = { 4 }

A ve B gibi iki kümenin bütün elemanlarından oluşan kümeye A ile B’nin birleşim kümesi denir ve A  \(\cup\) B biçiminde gösterilir.

A ve B kümelerinin birleşimi ortak özellik yöntemi ile A \(\cup\) B = { x | x  \(\in\) A veya x \(\in\) B } şeklinde ifade edilir.

A ve B kümelerinin birleşim kümesi, Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir.

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin birleşim kümelerini bulalım.

► A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 3, 4, 5, 6, 7 }

A \(\cup\) B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

► K = { a, b, c } ve L = { k, l, m }

K \(\cup\) L = { a, b, c, k, l, m }

► P = { 1, 2, 3, 4 }, R = { 4, 5, 6 } ve S = { 2, 4, 6, 8 }

P \(\cup\) R \(\cup\) S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 }

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim ve birleşim kümelerini bulalım.

P \(\cap\) R = { E, İ }

P \(\cup\) R = { C, L, E, İ, N, S, B }

NOT: İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişimlerinin eleman sayısı çıkarılarak bulunur.

s(A \(\cup\) B) = s(A) + s(B) − s(A \(\cap\) B)

s(P \(\cup\) R) = s(P) + s(R) − s(P \(\cap\) R)

s(P \(\cup\) R) = 4 + 5 − 2 = 7

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim ve birleşim kümelerini bulalım.

S \(\cap\) M = M = { 7, 51 }

S \(\cup\) M = S = { 7, 51, 12, 30 }

NOT: Biri diğerinin alt kümesi olan iki kümenin kesişimi kapsanan kümeye, birleşimi kapsayan kümeye eşittir.

A \(\subset\) B ise s(A \(\cap\) B) = s(A) ve s(A \(\cup\) B) = s(B) olur.

s(M \(\cap\) S) = s(M) = 2

s(M \(\cup\) S) = s(S) = 4

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim ve birleşim kümelerini bulalım.

K \(\cap\) L = { }

K \(\cup\) L = { 3, 5, 7, 0, 4, 8 }

NOT: Kesişimleri boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir. Ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamına eşittir.

A ve B ayrık kümeler ise s(A \(\cup\) B) = s(A) + s(B) olur.

s(K \(\cup\) L) = s(K) + s(L)

s(K \(\cup\) L) = 3 + 3 = 6

Kesişim ve Birleşim İşlemlerinin Özellikleri

1) TEK KUVVET ÖZELLİĞİ

Kesişim işleminin tek kuvvet özelliği vardır.

A \(\cap\) A = A

Birleşim işleminin tek kuvvet özelliği vardır.

A \(\cup\) A = A

2) DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

Kesişim işleminin değişme özelliği vardır.

A \(\cap\) B = B \(\cap\) A

Birleşim işleminin değişme özelliği vardır.

A \(\cup\) B = B \(\cup\) A

3) BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Kesişim işleminin birleşme özelliği vardır.

A \(\cap\) ( B \(\cap\) C ) = ( A \(\cap\) B ) \(\cap\) C

Birleşim işleminin birleşme özelliği vardır.

A \(\cup\) ( B \(\cup\) C ) = ( A \(\cup\) B ) \(\cup\) C

4) YUTAN VE BİRİM ELEMAN

Kesişim işleminin yutan elemanı boş kümedir.

A \(\cap\) \(\varnothing\) = \(\varnothing\)

Birleşim işleminin etkisiz elemanı boş kümedir.

A \(\cup\) \(\varnothing\) = A

5) DAĞILMA ÖZELLİĞİ

Kesişim işleminin birleşim üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

A \(\cap\) ( B \(\cup\) C ) = ( A \(\cap\) B ) \(\cup\) ( A \(\cap\) C )

( B \(\cup\) C ) \(\cap\) A = ( B \(\cap\) A ) \(\cup\) ( C \(\cap\) A )

Birleşim işleminin kesişim üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

A \(\cup\) ( B \(\cap\) C ) = ( A \(\cup\) B ) \(\cap\) ( A \(\cup\) C )

( B \(\cap\) C ) \(\cup\) A = ( B \(\cup\) A ) \(\cap\) ( C \(\cup\) A )

KÜMELERDE FARK İŞLEMİ

A ve B herhangi iki küme olmak üzere A kümesinde olup B kümesinde olmayan tüm elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin B kümesinden farkı denir. A − B ya da A \ B ile gösterilir.

A kümesinin B kümesinden farkı ve B kümesinin A kümesinden farkı ortak özellik yöntemi ile
A \ B = { x | x \(\in\) A ve x \(\notin\) B } ve B \ A = { x | x \(\in\) B ve x \(\notin\) A } şeklinde ifade edilir.

A ve B kümelerinin birbirlerinden farkı, Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir.

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin birbirinden farklarını bulalım.

► A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 3, 4, 5 }

A \ B = { 1, 2 }

B \ A = { 5 }

► K = { a, b, c } ve L = { ğ, ş }

K \ L = K = { a, b, c }

L \ K = L = { ğ, ş }

NOT: Ayrık iki kümede bir kümenin diğerinden farkı kendisine eşittir. A \ B = A ve B \ A = B

Fark İşleminin Özellikleri

1) A \(\neq\) B ise A \ B \(\neq\) B \ A olur.

Fark işleminde değişme özelliği yoktur.

2) A \ A = \(\varnothing\)

Bir kümenin kendisinden farkı boş kümedir.

3) A \ \(\varnothing\) = A

Bir kümenin boş kümeden farkı kendisidir.

4) A \ E = \(\varnothing\)

Bir kümenin evrensel kümeden farkı boş kümedir.

BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ

E evrensel küme olmak üzere A kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir ve A’ ile gösterilir.

A’nın tümleyen kümesi A’ ortak özellik yöntemi ile A’ = { x | x  \(\notin\) A ve x \(\in\) E } şeklinde ifade edilir.

ÖRNEK: Aşağıda Evrensel küme içerisinde verilen A kümesini inceleyelim.

► A’ = { 0, 4 }

► ( A’ )’ = { 1, 2, 3 } = A

► A \(\cap\) A’ = \(\varnothing\)

► A \(\cup\) A’ = { 0, 1, 2, 3, 4 } = E

► s(A) \(\cup\) s(A’) = 3 + 2 = 5 = s(E)

► E \ A = { 0, 4 } = A’

► E’ = \(\varnothing\)

Şimdi bu örnekten yola çıkarak tümleyenin özelliklerini yazalım.

Tümleme ile İlgili Özellikler

1) ( A’ )’ = A

Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisidir.

2) A \(\cap\) A’ = \(\varnothing\)

Bir kümenin tümleyeni ile kesişimi boş kümedir.

3) A \(\cup\) A’ = E

Bir kümenin tümleyeni ile birleşimi evrensel kümedir.

4) s(A) \(\cup\) s(A’) = s(E)

Bir kümenin eleman sayısı ile tümleyeninin eleman sayısının toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir.

5) E \ A = A’

Evrensel kümenin bir kümeden farkı o kümenin tümleyenidir.

6) E’ = \(\varnothing\)

Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir.

7) \(\varnothing\)‘ = E

Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir.

NOT: Aşağıda önemli eşitlikler verilmiştir. Bu eşitliklerin doğruluğunu Venn şeması çizerek kolayca görebilirsiniz.

A \ B = A \(\cap\) B’ ve B \ A = B \(\cap\) A’

DE MORGAN KURALLARI

Sembolik mantıkta olduğu gibi kümelerde de De Morgan kuralları bulunur.
(A \(\cup\) B)’ = A’ \(\cap\) B’
(A \(\cap\) B)’ = A’ \(\cup\) B’
şeklinde verilen kurallara De Morgan Kuralları denir.

KÜMELER İLE SEMBOLİK MANTIK ARASINDAKİ İLİŞKİ

Kümeler ile sembolik mantık arasındaki ilişkilerin bazıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!

KÜME KAVRAMI

Küme Nedir?

İyi tanımlanmış birbirinden farklı nesneler topluluğuna küme denir. Kümeler A, B, C gibi büyük harflerle isimlendirilir.

Tanımdaki iyi tanımlanmış, herkes tarafından aynı şekilde bilinen, belirli olan nesneler demektir. Örneğin “iyi insanlar” küme belirtmez çünkü iyi insanlar herkes için aynı değildir. Daha fazla örnek aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Eleman ve Eleman Sayısı

Kümeyi oluşturan her nesneye o kümenin elemanı denir. Elemanıdır sembolü ∈ ile gösterilir. Elemanı değildir sembolü ∉ ile gösterilir. Bir A kümesinin eleman sayısı sembolle s(A) şeklinde gösterilir.

ÖRNEK: A kümesi haftanın P harfi ile başlayan günleri olsun.

Pazar A kümesinin elemanıdır. → Pazar ∈ A

Salı A kümesinin elemanı değildir. → Salı ∉ A

A kümesinin eleman sayısı 3′ tür.  → s(A) = 3

KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

Liste Yöntemi

Kümeye ait elemanların küme parantezi yani “{ }” şekli içerisine aralarına virgül konularak yazılmasına liste yöntemi denir. Kümenin her bir elemanı yalnızca bir kez yazılır ve elemanların yerinin değiştirmesi yeni bir küme oluşturmaz.

ÖRNEK: Rakamlar kümesini liste yöntemiyle yazalım.

Rakamlar kümesini R harfiyle isimlendirecek olursak R = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 }

ÖRNEK: MATEMATİK kelimesinin harflerini liste yöntemiyle yazalım.

Bu kümeyi M harfiyle isimlendirecek olursak M = { M, A, T, E, İ, K }

ÖRNEK: H = { #, AA, 2, 34 } kümesinin elemanlarını belirleyelim.

H kümesi 4 elemanlıdır. Bunlar #, AA, 2 ve 34’tür.

Ortak Özellik Yöntemi

Kümeye ait elemanların tek tek yazılmak yerine ortak özelliklerinin yazılmasına ortak özellik yöntemi denir. Ortak özellik yöntemiyle kümelerin gösterimi şu şekildedir: { x | x’lerin ortak özelliği }
Öyle ki anlamına gelen “ | ” sembolü yerine “ : ” sembolü de kullanılabilir.

ÖRNEK: Aşağıda liste yöntemiyle verilen kümeleri ortak özellik yöntemiyle yazalım.

► A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

► B = { a, b, c, ç }

► C = { 10, 11, 12, 13 }

Kümeler ortak özellik yöntemiyle farklı şekillerde de yazılabilir. Önemli olan yazılan kümenin tam olarak (ne eksik ne fazla) kümenin elemanlarını belirtmesidir.

► A = { x | x, bir rakam }

► B = { x : x, Alfabemizin ilk dört harfinden biri }

► C = { x : 9 < x < 14 , x bir doğal sayı }

Venn Şeması

Kümeye ait elemanların kapalı bir eğri içerisinde ve her elemanın başına bir nokta konularak gösterilmesine Venn şeması yöntemi denir.

ÖRNEK: A = { a, b, c } kümesini Venn şemasıyla gösterelim.

KÜMELER

Boş Küme

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } ya da \(\varnothing\) sembolleri ile gösterilir.

ÖRNEK: Ç harfiyle başlayan aylar kümesine A kümesi dersek A kümesi boş küme olur.

Bu durum A = { } ya da A = \(\varnothing\) şeklinde gösterilir ve s(A) = 0 olur.

NOT: { \(\varnothing\) } ve { 0 } kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip kümelerdir.

Evrensel Küme

Üzerinde işlem yapılan tüm kümelere ait elemanları içinde bulunduracak şekilde seçilen kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme E harfi ile gösterilir.

ÖRNEK: A = { 1, 2, 3 } ve B = { 5, 12 } kümeleri için evrensel kümeler yazalım.

► E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12 }

► E = { x | x, bir doğal sayı }

► E = { x | 0 < x < 20 , x bir tam sayı }

Sonlu ve Sonsuz Küme

Eleman sayısı bir doğal sayı ile ifade edilebilen kümelere sonlu küme, edilemeyen kümelere sonsuz küme denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerden hangilerinin sonlu hangilerinin sonsuz küme olduğunu belirleyelim.

► A = { a, b, c, ç } → A kümesi sonlu kümedir.

► B = { x | 12 < x , x bir tam sayı } → B kümesi sonsuz kümedir.

► C = { x | 1 < x < 33 , x bir doğal sayı } → C kümesi sonlu kümedir.

► D = { x | 1 < x < 33 , x bir rasyonel sayı } → D kümesi sonsuz kümedir.

ALT KÜME

A kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir ve A \(\subset\) B ya da A \(\subseteq\) B ile gösterilir. Bu durumda B kümesi A kümesini kapsar. Bu ifade ise B \(\supset\) A ya da B \(\supseteq\) A ile gösterilir.

ÖRNEK: A = { 1, 2, 3 } ve B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümelerini Venn şemasıyla gösterelim.

Venn şemasında da görüldüğü gibi A kümesinin her bir elamanı B kümesinin içinde yer almaktadır. Bu durum “A kümesi B kümesinin alt kümesidir (A \(\subset\) B) ” veya “B kümesi A kümesini kapsar, (B \(\supset\) A) ” şeklinde ifade edilir.

A kümesinin B kümesinden farklı en az bir tane elemanı varsa A kümesi B kümesinin alt kümesi değildir ve A \(\not\subset\) B ile gösterilir.

ÖRNEK: K = { a, b, c, ç } ve L = { a, d, e, f, c } kümeleri birbirinin alt kümesi değildir. K \(\not\subset\) L ve aynı zamanda L \(\not\subset\) K olur.

Alt Kümenin Özellikleri

► Boş küme her kümenin alt kümesidir. \(\varnothing \subset\) A
► Her küme evrensel kümenin alt kümesidir. A \(\subset\) E
► Her küme kendisinin alt kümesidir. A \(\subset\) A
► A, B ve C kümeleri için A \(\subset\) B ve B \(\subset\) C ise A \(\subset\) C’dir.

Alt Küme Sayısı

Eleman sayısı n olan bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ dir.

ÖRNEK: A = { 1, 2, 3 } kümesinin tüm alt kümelerini yazalım ve alt küme sayısını bulalım.

0 elemanlı alt kümeleri 1 tanedir. → { }

1 elemanlı alt kümeleri 3 tanedir. → {1} , {2} ve {3}

2 elemanlı alt kümeleri 3 tanedir. → {1,2} , {1,3} ve {2,3}

3 elemanlı alt kümeleri 1 tanedir. → {1,2,3}

A kümesinin toplam 8 alt kümesi vardır. Bu sayı kısaca 2³ = 8 şeklinde bulunabilir.

Öz Alt Küme Sayısı

Bir kümenin kendisi hariç alt kümelerine öz alt kümeleri denir. n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı 2ⁿ − 1 dir.

ÖRNEK: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin öz alt küme sayısı 2⁶ − 1 = 63 şeklinde bulunur.

EŞİT KÜME

Elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir. A ve B kümelerinin eşitliği A = B ile gösterilir.

ÖRNEK: K = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 } ve L = { x | x , bir rakam } kümeleri eşit kümelerdir ve bu durum K = L şeklinde gösterilir.

NOT: Eşit olmayan A ve B kümeleri A \(\neq\) B şeklinde gösterilir.

matematikciler.com olarak ziyaretçilerimize ücretsiz ve nitelikli içerikler sunmak için yoğun çaba sarfediyoruz. Bu emeğin korunması adına bu konu anlatımının izinsiz yayınlanması yasaktır!