BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ: ✓ Toplama İşleminin Özellikleri ✓ Değişme Özelliği, Birleşme Özelliği ✓ Ters Eleman, Etkisiz Eleman
TOPLAMA İŞLEMİNİN DEĞİŞME ÖZELLİĞİ
Tam sayılarla toplama işlemi yaparken toplanan sayıların yerleri değiştirildiğinde toplam yani sonuç değişmez. Tam sayılarda toplama işleminin bu özelliğine değişme özelliği denir.
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemi inceleyecek olursak toplanan sayıların yerlerinin değişmesinin sonucu etkilemediğini görürüz.
3 + 5 = 8 5 + 3 = 8
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemde olduğu gibi toplanan sayıların yerinin değişmesi sonucu değiştirmez.
7 + (−3) = 4 (−3) + 7 = 4
TOPLAMA İŞLEMİNİN BİRLEŞME ÖZELLİĞİ
Üç veya daha fazla tam sayı ile toplama işlemi yaparken öncelikle hangi sayı çiftinin toplandığının işlem sonucuna bir etkisi yoktur. Tam sayılarda toplama işleminin bu özelliğine birleşme özelliği denir.
ÖRNEK: 1+2+3 işlemini yapalım. Bu işlemi yaparken önce hangi iki sayıyı topladığımız sonucu etkilemez.
( 1 + 2 ) + 3 | 1 + ( 2 + 3 )
3 + 3 = 6 | 1 + 5 = 6
Değişme ve birleşme özelliği işlem yaparken pratik yapmamıza yardımcı olabilir.
ÖRNEK: 25 + 89 + 75 işleminin sonucunu bulalım.
Bu işlemde soldan sağa doğru işlem yapmak yerine önce 25 ile 75’i toplamamız bize kolaylık sağlar.
Bu işlemde soldan sağa doğru işlem yapmak yerine önce −87 ile 88’i toplamamız bize kolaylık sağlar.
−87 + (−34) + 88 = 1 + (−34) = −33
TOPLAMA İŞLEMİNİN ETKİSİZ ELEMANI (BİRİM ELEMAN)
İşleme girdiğinde sonucu değiştirmeyen sayıya etkisiz eleman denir. Toplama işleminde bir sayıyı 0 (sıfır) ile topladığımızda sonuç toplanan sayı olur. Bu yüzden toplama işleminin etkisiz (birim) elemanı sıfırdır.
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemleri incelersek bir sayı sıfır ile toplanırsa cevap sayının kendisi olduğunu görürüz.
5 + 0 = 5 −3 + 0 = −3 0 + 7 = 7 0 + (−98) = −98
Bir sayının etkisiz eleman olabilmesi için, yukarıdaki örnekte olduğu gibi, hem sağdan hem de soldan etki etmemesi gerekir. Bu yüzden çıkarma işleminin etkisiz elemanı yoktur.
TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE TERS ELEMAN
Bir tam sayı ile toplamı sıfıra eşit olan sayıya o tam sayının toplama işlemine göre tersi denir. Yani toplamları 0 olan iki sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir.
ÖRNEK: 5 + ( −5 ) = 0 olduğu için
5’in toplama işlemine göre tersi −5’tir. −5’in toplama işlemine göre tersi +5’tir.
ÖRNEK: Aşağıdaki sayıların toplamaya işlemine göre terslerini bulalım.
0’ın toplamaya göre tersi → 0’dır. 98’in toplamaya göre tersi → −98’dir. −32’nin toplamaya göre tersi → +32’dir.
“Yetmişli yıllarda üniversitede öğrenciyken derslerimizde ve laboratuvarlarımızda grup çalışmaları yapar ve sık sık raporlar hazırlardık. Bu raporları özenli hazırlamamız beklenirdi. Grup arkadaşlarımız bazen toplanarak bazen de ayrı ayrı çalışır, yaptıklarımızı birleştirir, raporlarınızı oluştururduk. O zamanlar rapor formatındaki önemli sorunlarımızdan biri hepimizin kullandığı dosya kağıtlarının boylarının farklı olmasıydı. Standart bir boyut yoktu. Her paketten farklı boyda kağıt çıkardı. Aynı gibi görünenler bile birkaç milimetre değişirdi. O yıllarda daha kaliteli gördüğüm bir kağıdın boyunu ölçmüş adres defterime kaydetmiştim(1). Kağıt almaya gittiğimde oradan istediğim bir cetvelle kırtasiyecinin şaşkın bakışları arasında ölçerdim.
Orta-Amerika’nın diğer Kolomb-öncesi halkları gibi, Mayalar da on tabanıyla değil yirmi tabanıyla, yani yirminin kuvvetleriyle sayıyorlardı. Bu sistemin taban değeri 5’ti. Klasik-öncesi Mayalar’da (ya da selefleri olan Olmekler’de) sıfır kavramının mevcut olduğu bilinmektedir.
Yazıtlar, yüz milyonlu sayılarla hesaplar yaptıklarını ve belirttikleri tarihlerin çok eski zamanlara uzandığını ortaya koymaktadır.
KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİNİN ADI NEREDEN GELMEKTEDİR?
Kartezyen (İngilizce : Cartesian) Fransız matematikçi Descates’in adına Latince +ian (+cil / +çıl ) ekinin getirilmesiyle oluşmuş bir kelimedir. Koordinat ise (İngilizce : co-ordinate) Latince com- (birlikte) takısı ile “to ordinate” (sıralamak, dizmek) eyleminin birleşimiyle oluşmuştur.
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ En Büyük Ortak Bölen
✓ En Küçük Ortak Kat
✓ Ebob – Ekok (Obeb-Okek)
6. sınıfta bir doğal sayının bölenleri ve katları nasıl bulunur ve ortak bölenler ve katlar konularını öğrenmiştik. Şimdi ise iki veya daha fazla sayının en küçük ortak katını bulmayı, en büyük ortak bölenini bulmayı, kısaca ebob ekok nasıl bulunur öğreneceğiz.
EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK)
İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı, kısaca EKOK‘u denir.
a ve b doğal sayılarının en küçük ortak katı EKOK(a,b) veya (a,b)ekok şeklinde gösterilir.
Şimdi EKOK nedir daha iyi anlayabilmek için bir örnek verelim.
ÖRNEK: 6 ve 8 sayılarının en küçük ortak katını adım adım bulalım.
Ortak katlar: 24, 48, …. EKOK (6,8) = 24 veya (6,8)ekok = 24 şeklinde gösteririz.
► EKOK‘un adı üstünde: En Küçük Ortak Kat
Yani sayıların katlarını bulacağız, ortak olanlarını bulacağız, bunlardan en küçük olanı ekok’tur.
Şimdi EKOK kısa yoldan nasıl hesaplanır öğrenelim.
EKOK Nasıl Bulunur?
EKOK BULMA: İki sayı yan yana yazılarak bölen listesi yapılır. En küçük asal sayıdan başlayarak devam edilir. İki sayı da bölünmüyorsa bir büyük asal sayıya geçilir. İki sayı da 1 olana kadar işleme devam edilir.
Aşağıdaki örneği incelersek 15 ve 20’yi önce en küçük asal sayı olan 2’ye böleriz. 15 bölünmez ancak 20 bölünür. Daha sonra tekrar 2’ye böleriz. 15 bölünmese de 10 bölünür. Daha sonra işleme bu şekilde devam ederiz. İki sayı da 1 olunca işlemimiz biter. Çizginin sağında yazan sayıların çarpımı bu iki sayının en küçük ortak katı yani ekokudur.
EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)
İki ya da daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni, kısaca EBOB‘u denir.
a ve b doğal sayılarının en büyük ortak böleni EBOB(a,b) veya (a,b)ebob şeklinde gösterilir.
Şimdi EBOB nedir daha iyi anlayabilmek için bir örnek verelim.
ÖRNEK: 18 ve 24 sayılarının en büyük ortak bölenini adım adım bulalım.
► Öncelikle 18 ve 24 sayılarının bölenlerini yazalım:
Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6 EBOB (18,24) = 6 veya (18,24)ebob = 6 şeklinde gösteririz.
► EBOB‘un adı üstünde: En Büyük Ortak Bölen
Yani sayıların bölenlerini bulacağız, ortak olanlarını bulacağız, bunlardan en büyük olanı ebob’tur.
EBOB kısa yoldan nasıl hesaplanır birazdan öğreneceğiz.
EBOB Nasıl Bulunur?
EBOB BULMA: İki sayıyı yan yana yazarak bölen listesi yaparız. En küçük asal sayıdan başlayarak devam ederiz. İki sayı da bölünmüyorsa bir büyük asal sayıya geçilir. İki sayı da 1 olana kadar işleme devam edilir. Ancak burada önemli olan her iki sayıyı da bölen sayıları işaretlememiz gerektiğidir.
Aşağıdaki örneği incelersek 24 ve 32’yi önce en küçük asal sayı olan 2’ye böleriz. İkisini de böldüğü için 2’yi işaretleriz. Sonra benzer şekilde devam ederiz. Her iki sayı da 1 olunca işlemimiz biter ve işaretli sayıların çarpımı bu sayıların en büyük ortak böleni yani ebobudur.
EBOB-EKOK İLE İLGİLİ NOTLAR
İki sayının çarpımı, EBOB’ları ile EKOK’larının çarpımına eşittir.
ÖRNEK: 6 ve 8 sayılarını inceleyelim:
EBOB (6,8) = 2 EKOK (6,8) = 24
Bu iki sayının çarpımı : 6 . 8 = 48 EBOB (6,8) . EKOK (6,8) : 2 . 24 = 48
Biri diğerinin katı olan sayıların EBOB’ları küçük sayıya, EKOK’ları büyük sayıya eşittir.
ÖRNEK: 6 ve 12 sayılarını inceleyelim:
EBOB (6,12) = 6 EKOK (6,12) = 12
EBOB sayılardan büyük olamaz, EKOK sayılardan küçük olamaz.
EKOK ≥ SAYILAR ≥ EBOB
EBOB – EKOK PROBLEMLERİ
EBOB ve EKOK özellikle problemlerde çok karıştırılır. Hangi soruda EBOB, hangi soruda EKOK bulacağımızı karıştırmamalıyız. Peki nasıl ayırt edebiliriz? Bir soru ebob sorusu mu ekok sorusu mu nasıl anlarız?
Cevabı çok basit: Düşünerek
Soruda size verilenler ile istenilen şeye nasıl ulaşabileceğinizi biraz düşünürseniz ebob-ekok problemlerini ayırt etmeniz çok kolay olur. Eğer istenilen şeye verilen sayıların katlarından ulaşacak isek ekok, verilen sayıların bölenlerinden ulaşacak isek ebob kullanılır.
EBOB Problemleri
İki veya daha fazla çokluğun ortak bölenlerinin en büyüğüdür. Doğal olarak sorularda bütünü parçalamamızı istiyorsa ebob kullanma ihtimalimiz yüksek.
EBOB SORULARI GENELDE ŞÖYLEDİR:
Bidonlarda, varillerde, şişelerde, çuvallarda, kaplarda bulunan malzemeler daha küçük başka kaplara aktarılıyorsa,
Tarlanın etrafına eşit aralıklarla ağaç veya direk dikiliyorsa,
İnsanlardan oluşan gruplar için kaç uçak, otobüs, araba veya oda gerekir diye soruluyorsa,
Dikdörtgenler prizması şeklindeki odanın, kutunun, deponun içine kaç küp sığar diye soruluyorsa,
Kumaşlar, bezler, demir çubuklar parçalara ayrılacaksa,
Dikdörtgen şeklindeki kartondan küçük kare kartonlar elde ediliyorsa ebob kullanılır.
ÖRNEK: 80 cm ve 120 cm uzunluğunda iki demir çubuk, boyları birbirine eşit parçalara ayrılacaktır. Bir parçanın uzunluğu en fazla kaç cm olur?
EBOB (80, 120) = 2.2.2.5 = 40 cm
EKOK Problemleri
İki veya daha fazla çokluğu ortak katlarının en küçüğüdür. Doğal olarak sorularda parçalardan bütüne gitmemiz istiyorsa ekok kullanma ihtimalimiz yüksek.
EKOK SORULARI GENELDE ŞÖYLEDİR:
Cevizler, fındıklar, şekerler, bilyeler üçer-beşer-vb sayılıyorsa veya bunlar sayıldıktan sonra artan oluyorsa,
Gemiler, arabalar, yarışçılar beraber yola çıkıp bir yerde karşılaşıyorsa,
Sınıfta öğrenciler ikişer-üçer-vb sıralara oturuyorlarsa veya bunlardan ayakta kalanlar oluyorsa,
Ziller, saatler birlikte ne zaman bir daha çalar diye soruluyorsa,
Dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlalardan küp yapılıyorsa ekok kullanılır.
ÖRNEK: Tarık bilyelerini dörder, beşer ve altışar saydığında her defasında 1 bilyesi artıyor. Buna göre, Tarık’ın en az kaç tane bilyesi vardır?
2000 Dünya Matematik Yılı anısına Londra metrosundaki matematik afişlerinden
Matematik Şifreleri Çözer…
Günümüzde kullanılan gizli şifrelerin çoğu (kredi kartı numaraları vb.) çok büyük sayıların “çarpanlarına ayrılmasının” zorluğuna itimat ederler. Yukarıdaki örnekteki gibi… Para çekme makinasını her kullandığınızda bilgileriniz bankanın ana bilgisayarı tarafından kontrol edilir. Güvenliğinizin korunması için bilgileriniz matematiksel olarak karıştırılır. “Sayı Teorisi” (Matematiğin bir kolu) sadece sırların korunması (internetten alışverişlerde kredi kartı numaralarının saklanması vb.) için değil, aynı zamanda gizli şifrelerin çözülmesi için de önemlidir. Mesela II. Dünya savaşında resmi görülen “Enigma” adlı makina kullanılmıştı.
2000 Dünya Matematik Yılında Londra Matematik afişlerinden
MATEMATİK YAŞAMSALDIR
DNA yaşamın can damarıdır. İnsan geni projesi (The Human Genome Project) muazzam miktarda DNA bilgisi içermektedir. Yeni matematiksel teknikler bu bilginin analizi için
kullanılmaktadır. Bu analiz, virüslerin yol açtığı hastalıkların tedavisi için yeni ilaçların geliştirilmesinde hayati önem taşımaktadır
2000 Dünya Matematik Yılı anısına Londra metrosu matematik afişlerinden
Yukarıda, dairelerden oluşmuş ağ tanıdık geliyor mu? Tren istasyonlarını birbirine bağlayan demiryolu ağını tanıyabildiniz mi? Bazen birşeyleri birleştirmek onların nerde olduklarından daha önemlidir. Mesela bir tren istasyonunun yerini değiştiremezsiniz. Bundan dolayı ona en yakın olan istasyona en kısa yolu yapmalısınızdır. Bu tür ağların oluşturulmasında (büyük bilgisayar şebekeleri, metro ağı, cep telefonu baz istasyonları) matematiğe ihtiyaç vardır. Matematik daha etkili, hızlı ve ekonomik ağların oluşturulmasına ve geliştirilmesine yardım eder.
2000 Dünya Matematik Yılı anısına Londra metrosundaki matematik afiş serisinin mayıs ayı afişi
Matematik Isıtır…
Güneşin sırları çözülüyor…
Güneşin derinliklerinde bulunan manyetik alanlar güneşin yüzeyinde kaynamalar meydana getirir. Kaynayan yüzeyde dev patlamalar olur ve uzaya bir çok madde saçılır.
Bu Güneş fırtınaları çevrenin bozulmasına yol açar, haberleşme ve yön bulma sistemleri ile elektrik şebekelerini etkiler. Matematik, Güneş fırtınalarının nasıl olduğunu anlamamıza yardımcı olur.
