2000 Dünya Matematik Yılı anısına Londra metrosundaki matematik afiş serisinin nisan ayı afişi
Matematik serindir…
Buzdağları Yıkım Teorisi (The Catastrophe Theory) ile parçalanıp şekil alırlar.
Yüzen bir buzdağının %80 i okyanus yüzeyinin altındadır.
Bu parça erirken buzdağının da dengesi değişir.
Bazen bir yana bazen öbür yana devrilir ve bu sürer gider.
Yıkım Teorisi işte bu şekil değişimlerini açıklamada yardımcı olur.
2000 Dünya Matematik Yılı anısında Londra metrosuna asılan afişlerden mart sayısı
Matematik Tahmin Eder…
1963 yılında, meteorolog E. N. Lorenz basit bir hava modelindeki düzensiz davranışı keşfetti: “En küçük bir etki, çok büyük sonuçlar doğurabiliyordu. ”
Bu, hava tahminleri, iklim değişiklikleri ve borsadaki iniş çıkışları inceleyen modern matematiğe muazzam bir etki yaptı.
Yukarıdaki şekiller Lorenz denklemlerindeki karmaşık hareketleri betimler. Geometrik yapıların canlandırılması modern matematiğin bir çok alanında kullanılır.
2000 Dünya Matematik Yılı anısına Londra metrosundaki matematik afiş serisinin şubat ayı afişi
Matematik karıştırır…
Kasırgalar her yıl bir çok insanın yaşamına ve binlercesinin de evsiz kalmasına sebep olmaktadır. Kasırgalarının hareketlerinin anlaşılması hayatlar kurtarabilir !
Su buharı kasırganın merkezine, kremanın kahveye karıştığı gibi karışmaktadır.
Her ikisi de aynı matematiksel işlemlerle ifade edilir.
2000’de Dünya Matematik Yılı anısına Londra metrosundaki afiş serisinden bir afiş.
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89… Artıştaki düzeni fark ettiniz mi?
DOĞANIN MATEMATİĞİ
Yukarıdaki sayı dizisi 12. yüzyılda yaşayan Leonardo Fibonacci tarafından bulundu. Fibonacci bunu tavşan popülasyonunun büyümesinde model olarak kullanmıştı.
O günden bu yana Fibonacci dizileri, doğadaki hayret verici sıralanışlardaki olağanüstülüğü açıklamak için anahtar rolü oynuyor. Mesela; Ayçiçeğindeki çekirdeklerin spiral düzeni, çam kozalaklarının kabuklarındaki diziliş gibi…
Dizideki ardışık elemanlar kesir olarak yazılırsa; 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, … matematikte özel bir sayı olan, sanat ve mimaride kullanılan “Altın Oran” sayısına yaklaşılır.
MATEMATİĞİN DOĞASI
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Asal Sayılar
✓ Asal Çarpanlarına Ayırma
✓ Çarpan Ağacı,Asal Çarpanlar Algoritması
Bir doğal sayının çarpanları, bölenleri ve katları nasıl bulunur önceki konumuzda öğrendik. Şimdi ise asal sayılar nedir, bir sayı asal çarpanlarına nasıl ayrılır, çarpan ağacı ve bölen listesi nasıl yapılır öğreneceğiz.
1 ve kendisinden başka hiç bir sayma sayısına tam bölünemeyen 1’den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Diğer bir ifade ile çarpanları sadece 1 ve kendisi olan 1’den büyük doğal sayılardır. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 … sayıları birer asal sayıdır.
ÖRNEK: 2, 5, 4, 15 sayılarından hangileri asaldır bulalım.
2 sayısı sadece 1 ve 2’ye kalansız bölünür. Bu yüzden asal sayıdır.
5 sayısı sadece 1 ve 5’e kalansız bölünür. Bu yüzden asal sayıdır.
4 sayısı 1’e, 2’ye ve 4’e kalansız bölünür. Bu yüzden asal sayı değildir.
15 sayısı 1’e, 3’e, 5’e ve 15’e kalansız bölünür. Bu yüzden asal sayı değildir.
► 1 asal sayı değildir.
► 2 en küçük asal sayıdır.
► 2’den başka çift asal sayı yoktur. (Çünkü hepsi 2’ye de bölünür.)
► 1’den 100’e kadar olan asal sayılar
10 x 10’luk bir 100’lük tabloda 1’den 100’e kadar olan asal sayıları bulabiliriz. Bunun için yapmamız gereken ilk satırdaki asal sayıların kendileri dışındaki katlarına çarpı koymak. Geriye kalan sayılar asal sayılardır. Aşağıdaki Eratosten Kalburu‘nu inceleyiniz.
Bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için iki yöntem kullanabiliriz. Bunlar çarpan ağacı ve bölen listesidir.
Çarpan ağacı nedir, nasıl yapılır görelim.
Bir sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazarız (en küçük asal sayıdan başlayabiliriz). Daha sonra bulduğumuz sayıları asal sayı olana kadar bu işleme devam ederiz. Oluşan dalların uçlarındaki sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.
NOT: Çarpan ağacında dalların uçlarındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir.
ÖRNEK: 36 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.
36 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36’dır. Bunu bir sayının çarpanları konumuzda öğrenmiştik. Bu sayılardan asal sayı olanları asal çarpanlarımızdır.
36 sayısının asal çarpanları: 2 ve 3’tür. Şimdi bunu çarpan ağacı ile bulalım:
ÖRNEK: 60 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım.
60 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60’tır. Bu sayılardan asal sayı olanları asal çarpanlarımızdır.
60 sayısının asal çarpanları: 2, 3 ve 5’tir. Şimdi bunu çarpan ağacı ile bulalım:
SORU: Aşağıdaki çarpan ağaçlarında verilmeyen A, B ve C sayılarını bulunuz.
ÇÖZÜM: Birinci çarpan ağacı örneğini birlikte yapalım, kalan çarpan ağacı örnekleri sizin olsun.
Çarpan ağacında her sayı altındaki sayıların çarpımına eşittir. Alttan başlayarak
A = 2.2 = 4
B = 2.4 = 8
C = 5.8 = 40 bulunur.
Asal Çarpanlar Algoritması nedir, nasıl yapılır görelim.
Sayımızın yanına dikey bir çizgi çekeriz ve en küçük asal sayıdan başlayarak ve tam bölünmediğinde bir sonraki asal sayıya geçerek bölme işlemi yaparız. 1’i elde edince işlemimiz sona erer. Çizginin sağında kalan sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.
ÖRNEK: 36 sayısını asal çarpanlar algoritması ile asal çarpanlarına ayıralım.
NOT: Bölen listesinde çizginin sağındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir.
SORU: Aşağıdaki bölen listelerinde verilmeyen A, B ve C sayılarını bulunuz.
ÇÖZÜM: Birinci bölen listesi örneğini birlikte yapalım, kalan bölen listesi örnekleri sizin olsun.
Bölen listesinde soldaki sayıyı sağındaki sayıya böleriz, çıkan sonucu altına yazarız. Alttan başlayarak
A : 3 = 5 olacağı için A = 15
B : 2 = 15 olacağı için B = 30
C : 2 = 30 olacağı için A = 60 bulunur.
ALIŞTIRMA SORULARI
1) Aşağıdaki sayıların asal çarpanlarını bulunuz.
2) 23, 12, 9, 11, 27, 33, 41 sayılarından hangileri asal sayıdır bulunuz.
BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:
✓ En çok dokuz basamaklı doğal sayıları okur ve yazar.
✓ En çok dokuz basamaklı doğal sayıların bölüklerini, basamaklarını ve rakamların basamak değerlerini belirtir.
| ÖNCEKİ KONU | SONRAKİ KONU |
| Bölünebilme Kuralları | Ortak Bölenler ve Katlar |
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Bir Doğal Sayının Çarpanlarını Bulma
✓ Bir Doğal Sayının Bölenlerini Bulma
✓ Bir Doğal Sayının Katlarını Bulma
Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu doğal sayılara o sayının çarpanı denir. Bu çarpanlar aynı zamanda o sayıyı kalansız böldüğü için çarpanlara aynı zamanda bölenidir de diyebiliriz.
ÖRNEK: 24 sayısının çarpanlarını (kalansız bölenlerini) bulalım.
24’ü iki sayının çarpımı şeklinde yazalım. Aşağıdaki gibi sonuçlar elde ederiz.
24 = 1 x 24
24 = 2 x 12
24 = 3 x 8
24 = 4 x 6
Buna göre yukarıda yazdığımız sayılar 24’ün çarpanlarıdır.
24’ün Çarpanları = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Bu çarpanlar aynı zamanda 24’ü kalansız böler.
24’ün Kalansız Bölenleri = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Bir doğal sayının kalansız böldüğü sayıların tümüne o sayının katları denir.
ÖRNEK: 6 sayısının 50’den küçük katlarını bulalım.
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48
ÖRNEK: 15 sayısının 50 ile 100 arasındaki katlarını yazalım.
15 x 4 = 60
15 x 5 = 75
15 x 6 = 90
ÖRNEK: 15 sayınının çarpanlarını (kalansız bölenlerini) bulalım.
15 = 1 x 15
15 = 3 x 5
NOT: Bir sayının çarpanları (kalansız bölenleri), o sayının katlarının da çarpanlarıdır yani katlarını da kalansız böler.
ÖRNEK: Yukarıdaki örneğe bakacak olursak 15’in çarpanları olan 1, 3, 5, 15 sayıları aynı zamanda 15’in herhangi bir katının da çarpanlarıdır, yani kalansız böler. Örnek olarak 15’in katı olan 75’i ele alalım:
75’in çarpanları arasında 15’in çarpanları da vardır. Çünkü 75 sayısı 15’in katıdır.
75’in çarpanları 1, 3, 5, 15, 25, 75
ALIŞTIRMA SORULARI
1) Aşağıdaki sayıların çarpanlarını (kalansız bölenlerini) bulunuz.
2) Aşağıdaki sayıların 100’den küçük katlarını bulunuz.
BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:
✓ Doğal sayıların çarpanlarını ve katlarını belirler.
| ÖNCEKİ KONU | SONRAKİ KONU |
| Dağılma Özelliği ve Ortak Çarpan Parantezine Alma | Bölünebilme Kuralları |
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Kalansız Bölünebilme Kuralları
✓ 2,3,4,5,6,9,10 ile Bölünebilme
✓ Bölüm Sonucunda Kalanı Bulma
Bir doğal sayı, bir sayma sayısına bölündüğünde kalan 0 (sıfır) oluyorsa bu işleme kalansız bölme işlemi denir ve “bu doğal sayı, o sayma sayısına tam olarak bölünüyor” veya “bu doğal sayı, o sayma sayısına kalansız bölünebiliyor” denir.
Birler basamağındaki rakam 0,2,4,6,8 olan sayılar 2 ile kalansız bölünebilir. İki ile kalansız bölünebilen sayılara çift sayılar denir. Diğer bir ifade ile birler basamağı 0,2,4,6,8 olan sayılar çift sayılardır.
ÖRNEK: 120, 32, 2018 sayıları çift sayılardır ve 2 ile kalansız bölünebilirler.
SORU: 541A sayısı 2 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?
2 ile kalansız bölünüyorsa çift sayıdır ve A = 0, 2, 4, 6, 8 olur. Cevap 0+2+4+6+8=20’dir.
İki ile kalansız bölünemeyen (1 kalanını veren) sayılara tek sayılar denir. Diğer bir ifade ile birler basamağı 1,3,5,7,9 olan sayılar tek sayılardır.
ÖRNEK: 121, 33, 2017 sayıları tek sayılardır ve 2 ile bölündüğünde 1 kalanını verirler.
SORU: 276B sayısı 2’ye tam bölünemiyorsa B yerine gelebilecek rakamların çarpımı kaçtır?
2’ye tam bölünemiyorsa B tek sayıdır ve B = 1, 3, 5, 7, 9 olur. Cevap 1x3x5x7x9=945’tir.
Bir doğal sayının basamaklarındaki rakamların sayı değerleri toplamı 3 ile kalansız (tam) bölünüyorsa bu sayı 3 ile kalansız (tam) bölünebilir.
ÖRNEK: 2352 sayısı 3 ile tam bölünebilir.
Çünkü bu sayının rakamları toplamı:
2+3+5+2=12’dir. 12 sayısı 3’ün katı olduğu için 2352 sayısı 3’e kalansız bölünebilir.
ÖRNEK: 2017 sayısı 3 ile tam bölünemez. Çünkü bu sayının rakamları toplamı:
2+0+1+7=10’dur. 10 sayısı 3’ün tam bir katı olmadığı için 2017 sayısı 3’e tam bölünemez, kalanlı bölünebilir.
NOT: Rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalanı, sayının 3 ile bölümünden kalanıyla aynıdır.
ÖRNEK: 2017 sayısının 3 ile bölümünden kalanı bulalım.
2+0+1+7=10’dur. 10’un 3 ile bölümünden kalan 1 olduğu için 2017’nin 3 ile bölümünden kalan 1’dir.
SORU: 276A sayısı 3 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?
3 ile kalansız bölünüyorsa rakamları toplamı 3’ün katı olmalıdır.
2+7+6+A
15+A sayısı 3’ün katı olmalı.
A yerine 0,3,6,9 yazarsak bu sayının rakamları toplamı 3’ün katı olur.
A yerine yazabileceğimiz rakamların toplamı = 0+3+6+9=18’dir.
Bir sayı hem 2 hem de 3 ile kalansız bölünebiliyorsa bu sayı 6 ile kalansız bölünebilir. Yani rakamları toplamı 3’ün katı olan çift sayılar 6’ya tam bölünebilir.
ÖRNEK: 510 sayısı 6 ile kalansız bölünebilir çünkü çift sayı olduğu için 2’ye, rakamları toplamı (5+1+0=6) 3’ün katı olduğu için 3’e tam bölünür.
ÖRNEK: 285 sayısı 6 ile kalansız bölünemez. (Çünkü 3’e tam bölünebilse bile 2’ye tam bölünemiyor.)
ÖRNEK: 724 sayısı 6 ile kalansız bölünemez. (Çünkü 2’ye tam bölünebilse bile 3’e tam bölünemiyor.)
SORU: 31A sayısı 6 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamlar nelerdir?
6 ile kalansız bölünüyorsa hem 2’ye hem 3’e tam bölünmelidir. Bu yüzden çift sayı olmalıdır. (2’ye tam bölünebilmesi için)
A yerine 0 yazsak rakamları toplamı 3+1+0=4 olur. (4 sayısı 3’ün katı değil)
A yerine2 yazsak rakamları toplamı 3+1+2=6 olur. (6 sayısı 3’ün katı)
A yerine 4 yazsak rakamları toplamı 3+1+4=8 olur. (8 sayısı 3’ün katı değil)
A yerine 6 yazsak rakamları toplamı 3+1+6=10 olur. (10 sayısı 3’ün katı değil)
A yerine 8 yazsak rakamları toplamı 3+1+8=12 olur. (12 sayısı 3’ün katı)
Bu yüzden A yerine 2 ve 8 yazabiliriz.
Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam 0 veya 5 ise bu sayı 5’e kalansız bölünebilir.
ÖRNEK: 2530 sayısı 5’e tam bölünebilir.
Çünkü bu sayının birler basamağı 0’dır.
ÖRNEK: 2014 sayısı 5’e tam bölünemez.
Çünkü bu sayının birler basamağı 4’dır.
NOT: Bir sayının 5 ile bölümünden kalanı, birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalanı ile aynıdır.
ÖRNEK: 2023 sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulalım.
2023 sayısı 5’e tam bölünemez. Kalan 3’tür.
ÖRNEK: 569 sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulalım.
569 sayısı 5’e tam bölünemez. 9’un 5’e bölümünden kalan 4 olduğu için 569’un 5’e bölümünden kalan 4’tür.
Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam 0 ise bu sayı 10’a kalansız bölünebilir.
ÖRNEK: 2530 sayısı 10’a tam bölünebilir.
Çünkü bu sayının birler basamağı 0’dır.
ÖRNEK: 2014 sayısı 10’a tam bölünemez.
Çünkü bu sayının birler basamağı 4’dır.
NOT: Bir sayının 10 ile bölümünden kalanı bu sayının birler basamağındaki rakam ile aynıdır.
ÖRNEK: 2023 sayısının 10 ile bölümünden kalan 3’tür.
Bir doğal sayının basamaklarındaki rakamların sayı değerleri toplamı 9 ile kalansız (tam) bölünüyorsa bu sayı 9 ile kalansız (tam) bölünebilir.
ÖRNEK: 5436 sayısı 9 ile tam bölünebilir.
Çünkü bu sayının rakamları toplamı:
5+4+3+6=18’dir. 18 sayısı 9’un katı olduğu için 5436 sayısı 9’a kalansız bölünebilir.
ÖRNEK: 2014 sayısı 9 ile tam bölünemez.
Çünkü bu sayının rakamları toplamı:
2+0+1+4=7’dir. 7 sayısı 9’un tam bir katı olmadığı için 2014 sayısı 9’a tam bölünemez, kalanlı bölünebilir.
NOT: Rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalanı, sayının 9 ile bölümünden kalanıyla aynıdır.
ÖRNEK: 5451 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım.
5+4+5+1=15’tir. 15’in 9 ile bölümünden kalan 6 olduğu için 5451’ün 9 ile bölümünden kalan 6’dır.
SORU: 735A sayısı 9 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM: 9 ile kalansız bölünüyorsa rakamları toplamı 9’un katı olmalıdır.
7+3+5+A
15+A sayısı 9’un katı olmalı.
A yerine 3 yazarsak bu sayının rakamları toplamı 18 olur ve 9 ile kalansız bölünebilir.
Son iki basamağı 00 veya 4’ün katı olan sayılar 4 ile kalansız bölünebilir.
ÖRNEK: 120, 312, 2000 sayıları 4’e tam bölünebilirler.
ÖRNEK: 2345, 142, 215 sayıları 4’e tam bölünemez.
SORU: 871A sayısı 4 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM: 4 ile kalansız bölünüyorsa son iki basamağı:
8712 ve 8716 olabilir. A yerine yazılabilecek rakamların toplamı: 2+6=8’dir.
NOT: Bir sayının 4 ile bölümünden kalanı, son iki basamağındaki rakamların oluşturduğu sayının 4 ile bölümünden kalanı ile aynıdır.
ÖRNEK: 2023 sayısının 4 ile bölümünden kalanı bulalım.
23 sayısının 4’e bölümünden kalan 3 olduğu için 2023 sayısının 4 ile bölümünden kalan 3’tür.
ALIŞTIRMA SORULARI
1) Aşağıdaki sayıların 2,4,5 ve 10’dan hangilerine kalansız bölündüğünü bulunuz.
2) Aşağıdaki sayıların 3,6 ve 9’dan hangilerine kalansız bölündüğünü bulunuz.
BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:
✓ 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10’a kalansız bölünebilme kurallarını açıklar ve kullanır.
| ÖNCEKİ KONU | SONRAKİ KONU |
| Çarpanlar ve Katlar | Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar |
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Bölme İşleminde Sonucu Tahmin Etme
✓ Yuvarlama Yöntemi
Doğal sayılarla bölme işleminin sonucunu tahmin etmek için yuvarlama yöntemini kullanabiliriz.
Yuvarlama metodunda,eğer üç basamaklı bir sayıyı iki basamaklı bir sayıya bölüyorsak, böleceğimiz sayıyının ilk iki basamağını bölen sayının yakın bir katına yuvarlarız. Bölünen sayının birler basamağını ise sıfır kabul ederiz. Şimdi yukarıdaki resimdeki işlemin sonucunu nasıl tahmin ederiz görelim:
ÖRNEK: 655 : 8 işleminin sonucunu tahmin edelim.
655 sayısının ilk iki basamağı olan 65’e en yakın 8’in katı olan sayı 64’tür.
640 (Birler basamağını sıfır kabul ederiz.)
640 : 8 = 80 olarak tahmin ederiz.
ÖRNEK: 492 : 12 işleminin sonucunu tahmin edelim.
492 sayısının ilk iki basamağı olan 49’a en yakın 12’nin katı olan sayı 48’tür.
480 (Birler basamağını sıfır kabul ederiz.)
480 : 12 = 40 olarak tahmin ederiz.
NOT: Yuvarlama işlemini yukarı doğru yaparsak bulduğumuz sonuç gerçek sonuçtan çok çıkar. Yuvarlama işlemini aşağı doğru yaparsak bulunan sonuç gerçek değerden az çıkar.
ALIŞTIRMA SORULARI
1) Aşağıdaki işlemlerin sonucunu tahmin ediniz.
BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:
✓ Doğal sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinin sonuçlarını tahmin eder.
| ÖNCEKİ KONU | SONRAKİ KONU |
| Çarpma İşleminin Sonucunu Tahmin Etme | Zihinden Çarpma ve Bölme |
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Çarpma İşleminde Sonucu Tahmin Etme
✓ Yuvarlama Yöntemi
Doğal sayılarla çarpma işleminin sonucunu tahmin etmek için yuvarlama yöntemini kullanabiliriz.
Yuvarlama metodunda, çarpacağımız sayılar arasında iki basamaklı sayı varsa en yakın onluğa, üç basamaklı sayı varsa en yakın yüzlüğe yuvarlarız. Şimdi yuvarlama nasıl yapılır görelim:
► Yuvarlama yapmak istediğimiz basamaktan bir küçük basamağa bakarız.
► Eğer buradaki rakam 5 veya 5’ten büyükse yuvarlama yapacağımız basamağı bir arttırırız, daha küçük basamakları sıfırlarız.
► Eğer buradaki rakam 5’ten küçükse yuvarlama yapacağımız basamakta değişiklik yapmadan daha küçük olan basamakları sıfırlarız.
ÖRNEK: 392 sayısını en yakın yüzlüğe yuvarlayalım.
Sayının yüzler basamağını işaretleyelim ve bir küçük basamağa bakalım. Altı çizili basamak 5’ten büyük olduğu için yüzler basamağını bir arttırırız ve sağındaki basamakları sıfırlarız.
392 → 400
ÖRNEK: 82 sayısını en yakın onluğa yuvarlayalım.
Sayının onlar basamağını işaretleyelim ve bir küçük basamağa bakalım. Altı çizili basamak 5’ten küçük olduğu için onlar basamağını değiştirmeden sağındaki basamağı sıfırlarız.
83 → 80
Şimdi yuvarlama yöntemini kullanarak bir çarpma işleminin cevabını tahmin edelim.
ÖRNEK: 483 x 91 işleminin sonucunu tahmin edelim.
İlk sayıyı en yakın yüzlüğe, ikinci sayıyı en yakın onluğa yuvarlayalım:
483 → 500
91 → 90
500 x 90 = 45000 şeklinde tahminde bulunabiliriz. İşlemin gerçek sonucu 483 x 91 = 43953
Çarptığımız iki sayıdan sadece birini de yuvarlayarak tahmin yapabiliriz.
ÖRNEK: 12 x 523 işleminin sonucunu tahmin edelim.
12 x 523 işleminde 12’yi 10’a yuvarlayarak cevabı 5230 olarak tahmin edebiliriz.
ALIŞTIRMA SORULARI
1) Aşağıdaki işlemlerin sonucunu tahmin ediniz.
BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:
✓ Doğal sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinin sonuçlarını tahmin eder.
| ÖNCEKİ KONU | SONRAKİ KONU |
| Doğal Sayılarda Bölme | Bölme İşleminin Sonucunu Tahmin Etme |
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Doğal Sayılarla Bölme İşlemi
✓ Kısa Yoldan Bölme İşlemleri
✓ 5, 10, 100, 1000 ile Pratik Bölme
✓ Bölünen Sayıyı Bulma
Bir çokluğun eşit gruplara ayrılması için yapılan işleme bölme işlemi diyebiliriz. Bölme işlemini ” ÷ ” veya ” : ” veya ” / ” sembolleriyle gösterebiliriz.
Bölme işleminde Bölünen sayı Bölen sayıya bölünerek Bölüm ve Kalan bulunur.
Bölme işleminin sağlamasında ise Bölünen sayıyı bulmak için Bölen ile Bölüm çarpılır ve Kalan eklenir.
Bölünen = Bölen x Bölüm + Kalan
Kalanı 0 (sıfır) olan bölme işlemine kalansız bölme işlemi denir.
ÖRNEK: 50 tane misketi 5 arkadaşa eşit olarak paylaştırırsak her birine 10’ar tane düşer ( 50 : 5 = 10 ) ve hiç misket artmaz. Bu bölme işlemi kalansız bölme işlemidir.
SORU: 672 : 8 işleminin sonucunu bulunuz.
ÇÖZÜM:
Kalanı 0 (sıfır)’dan farklı olan bölme işlemine kalanlı bölme işlemi denir.
ÖRNEK: 52 tane misketi 5 arkadaşa eşit olarak paylaştırırsak her birine 10’ar tane düşer ve 2 misket artar. Bu bölme işlemi kalanlı bölme işlemidir.
SORU: 8407 : 3 işleminin sonucunu bulunuz.
ÇÖZÜM:
► Bölünen Sayı = Bölen x Bölüm + Kalan
ÖRNEK: 13’ü 4’e bölersek bölüm 3, kalan 1 olur. 13 = 4 x 3 + 1
► Bir bölme işleminde bölen sayı her zaman kalandan büyüktür.
ÖRNEK: A sayısının B’ye bölümünden kalan C olsun. Bu durumda C sayısı B’den küçük olmak zorundadır.
► Sıfır hariç her doğal sayının kendisine bölümü 1’dir.
ÖRNEK: 32 : 32 = 1
► Bir doğal sayının 1’e bölümü kendisine eşittir.
ÖRNEK: 54 : 1 = 54
► Bir doğal sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
ÖRNEK: 24 : 0 = tanımsız
► Sıfır’ın bir sayma sayısına bölümü sıfırdır.
ÖRNEK: 0 : 15 = 0
Doğal sayıları 10, 100, 1000 ile pratik bölmek için sayının sonundan, böldüğümüz sayının sonundaki sıfır sayısı kadar sıfır silinir.
► 10’a bölerken sayının sonundan bir 0 (sıfır) silinir.
ÖRNEK: 4530 : 10 = 453
► 100’e bölerken sayının sonundan iki 0 (sıfır) silinir.
ÖRNEK: 61200 : 100 = 612
► 1000’e bölerken sayının sonundan üç 0 (sıfır) silinir.
ÖRNEK: 659000 : 1000 = 659
Doğal sayıları 5 ile kısa yoldan bölmek için sayıyı iki ile çarpar sonra 10’a böleriz.
ÖRNEK: 25 : 5 işlemini yapalım.
50 : 10 = 5 (Sayının iki katını 10’a böldük)
ÖRNEK: 120 : 5 işlemini yapalım.
240 : 10 = 24 (Sayının iki katını 10’a böldük)
ALIŞTIRMA SORULARI
1) Aşağıdaki kalansız bölme işlemlerini yapınız.
2) Aşağıdaki bölme işlemlerinde verilmeyen sayıları bulunuz.
BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:
✓ En çok dört basamaklı bir doğal sayıyı, en çok iki basamaklı bir doğal sayıya böler.
| ÖNCEKİ KONU | SONRAKİ KONU |
| Doğal Sayılarla Çarpma | Çarpma İşleminin Sonucunu Tahmin Etme |