Bu paragraftaki;
0′ ların sayısı … tanedir,
1′ lerin sayısı … tanedir,
2′ lerin sayısı … tanedir,
3′ lerin sayısı … tanedir,
4′ lerin sayısı … tanedir,
5′ lerin sayısı … tanedir,
Kataloglar Paradoksu
Baskı makinasının bulunuşundan sonra kitap sayısı çoğaldı doğal olarak. İlk kez ne zaman kataloglara gereksinildiğini bilmiyorum, ama birgün gereksinildi. Kitaplar çoğalınca, kataloglar da çoğaldı. Kataloglar çoğalınca katalogların da katalogları yapılmaya baslandı. Bazı kataloglar kendi adlarını dizelgelerine (listelerine) almıyorlardı, bazı kataloglarsa alıyorlardı (katalog da bir kitap değil midir!)
Fraktallar
Fraktal parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Lâtince fractuuss kelimesinden gelmiştir. İlk olarak 1975’de Polonya asıllı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından ortaya atıldığı varsayılır.
Kendi kendini tekrar eden ama sonsuza kadar küçülen şekilleri, kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününü inceler.
Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza kadar sürebilir; tam tersi de her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, gene cismin bütününe benzemesi olayıdır.
FRAKTAL NEDİR?
Fraktaller, matematiksel bir fonksiyonun sonucunun aynı fonksiyona tekrar girdi olarak verilmesi ile oluşturulur. Matematikte bu tip ilerlemeye iterasyon adı verilir.
1915 lerde Fransız matematikçi Julia, kendi ismiyle anılacak olan bu akışı bulduğunda, henüz bu yaklaşımla ilgili büyük rakamlı hesaplamalar yapılamıyordu.
f(x) = x2 + 2 … x = 1 ise, sonuç = 3
f(x) = x2 + 2 … x = 3 ise, sonuç = 11
f(x) = x2 + 2 … x = 121 ise, sonuç = 123
f(x) = x2 + 2 … x = 123 ise, sonuç = 15131
…
Fraktallerin tam olarak anlaşılması için bilgisayarın icadı gerekecektir.
İlk bulunmasından yaklaşık elli yıl sonra matematikçi Mandelbrot tarafından yapılan çalışmalar Julia’nın çalışmalarına hayat vermiştir.
DOĞADA FRAKTAL ÖRNEKLERİ
Doğada görülebilen fraktallara örnek olarak bazı bitkilerin yapısı verilebilir. Fraktala en çok verilen örnek eğrelti otudur. Eğrelti otunun her yaprağının üzerinde yine küçük küçük yapraklar vardır. Ayrıca bulutlarda, dağlarda, ağaçlarda, yıldırımda, kalp ritminde, akciğerdeki bronşlarda ve daha bir çok yerde fraktal görmek mümkündür.
Fraktallar ile ilgili daha fazla bilgi sahibi olmak için Fraktallar Belgeselini izleyebilirsiniz.
Fraktal Örnekleri ve Fraktal Resimleri
Asal Sayılar ve Şifreleme (Kriptoloji)
Kriptoloji, şifre bilimidir. Çeşitli iletilerin, yazıların belli bir sisteme göre şifrelenmesi, bu mesajların güvenlikli bir ortamda alıcıya iletilmesi ve iletilmiş mesajın deşifresiyle uğraşır.
Asal sayılar özellikle internet üzerinden yapılan işlemlerin güvenli bir şekilde yürümesine olanak tanıyan şifreleme tekniklerinin geliştirilmesi için kullanılıyor. Her ne kadar günümüzde bankacılıkta kullanılan şifreleme teknikleri için UCLA`lı matematikçilerin bulduğu kadar çok basamaklı büyük sayılara ihtiyaç duyulmasa da, askerî bilgiler gibi önemli şifrelemeler gerektiren verilerin korunmasında kullanılacak asal sayıların olabildiğince fazla basamaklı olması gerekiyor.
RSA Şifreleme Algoritması
RSA algoritması, Amerika’ da 1983 yılında MIT’ten patent almıştır. Bu patent 21 Eylül 2000 de son bulmuştur. Ancak patenti daha önce bir uygulamaya ait olduğu için bir başka ülkede patent alınamaz. Bir genel anahtarlı şifreleme tekniği olan RSA, çok büyük tamsayıları oluşturma ve bu sayıları işleminin zorluğu üzerine düşünülmüştür. Anahtar oluşturma işlemi için asal sayılar kullanılarak daha güvenli bir yapı oluşturulmuştur. Anahtar oluşturma algoritması şu şekildedir:
Goldbach Hipotezi
Sayılar teorisindeki en eski Matematik’te çözümsüz problemlerden biridir.
Sanı: Goldbach’ın orijinal sanısı (üçül varsayım) Euler’e 7 Haziran 1742’de yazdığı mektupta şöyle ifade ediliyor:
…En azından 2’den büyük her sayı iki asal sayının toplamıdır…
Goldbach burada 1 sayısını da asal kabul etmektedir. (Bu konvansiyon artık terkedilmiştir.)
Riemann Hipotezi
Riemann hipotezi (Riemann zeta hipotezi olarak da bilinmektedir), matematik alanında ilk kez 1859 yılında Bernhard Riemann tarafından ifade edilmiş fakat günümüze kadar çözülememiş problemlerden biridir.
Bazı pozitif tamsayıların kendilerinden küçük ve 1’den büyük tamsayıların çarpımı (örn. 2, 3, 5, 7, …) cinsinden yazılamamak gibi bir özelliği vardır. Bu tür sayılara Asal sayılar denir. Asal sayılar, hem matematik hem de uygulama alanlarında çok önemli rol oynar. Asal sayıların tüm doğal sayılar içinde dağılımı bariz bir örüntüyü takip etmemektedir ancak Alman matematikçi Riemann, asal sayıların sıklığının;
s ≠ 1 olmak koşuluyla tüm s karmaşık sayıları için
İkiz Asal Sayılar
Aralarındaki fark 2 olan asal sayılara ikiz asal sayılar denir. (örneğin 3 ve 5, 5 ve 7, 11 ve 13 .. ikiz asallardır.) (2, 3) çifti hariç iki asal sayının arasındaki fark da zaten en az 2 olabilir.
İkiz asalların sonsuz tane olmasına ilişkin soru , sayılar kuramının yıllardır çözülememiş en büyük problemlerinden birisidir ve “ikiz asallar sanısı” ( varsayımı, kestirimi) olarak adlandırılır.
Asal Sayılar Hakkında Hipotezler
Öklid (Euklides)’ten beri asal sayılar sonsuz olduğu bilinmektedir, fakat asal sayılar hakkında pek çok başka soru hala daha cevapsızdır. Bunlardan en ünlü ikisi aralarındaki fark iki olan asal sayılar (örneğin 11 ve 13, veya 29 ve 31) hakkındaki ikiz asallar konjektürü ve asal sayıların doğal sayılar içersindeki dağılımı hakkındaki Riemann Hipotezidir. Sayılar teorisi’nin en önemli uğraşı asal sayılar hakkındaki bu tür sorulardır.
Asal sayılarla ilgili Goldbach hipotezi halen kanıtlanamamıştır: Her çift sayı iki asal sayının toplamı mıdır? Örneğin:
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5 …
Euplides (Kum Yığını) Paradoksu
Euplides, hiçbir zaman bir “kum yığını” oluşturulamayacağını iddia etmiştir. Çünkü bir kum tanesi, “yığın” değildir. Yanına bir tane daha koyarsak yine yığın oluşmaz. “Kum yığını” olmayan birşeyin yanına (veya üzerine) kum tanesi koymakla yığın elde edemeyeceğimize göre Hiçbir zaman “kum yığını” oluşturamayız.
Müfettiş Paradoksu
Bir işyerini, önümüzdeki on gün içinde vergi müfettişleri denetlemeye gelecektir. Müfettişler, mantık oyunlarını sevdikleri için işyeri yetkilisine telefon açarlar ve ”Hangi gün geleceğimizi, o günün sabahında tahmin edebilirseniz, denetimden kurtulacaksınız” derler.