BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Doğal Sayıların Ortak Bölenleri
✓ Doğal Sayıların Ortak Katları

Bir doğal sayının bölenleri ve katları nasıl bulunur daha önce öğrendik. Şimdi ise iki veya daha fazla sayının ortak katlarını bulmayı, ortak bölenlerini bulmayı öğreneceğiz.

DOĞAL SAYILARIN ORTAK KATLARI

İki ya da daha fazla doğal sayının katları arasından ortak olanlarına, bu sayıların ortak katları denir.

ÖRNEK: 6 ve 4 sayılarının ortak katlarını bulalım.

► Öncelikle 6 ve 4 sayılarının katlarını ayrı ayrı yazalım:

6’nın katları : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …

4’ün katları : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …

► Şimdi bu katlardan ortak olanlarını işaretleyelim.

6’nın katları : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …

4’ün katları : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …

4 ve 6’nın ortak katları: 12, 24, 36, 48, ….

İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katları, bu sayıların ilk (en küçük) ortak katının katlarından oluşur. Örneğin yukarıdaki örnekte 4 ve 6’nın ortak katları (12, 24, 36, 48, …), bu sayıların en küçük ortak katı olan 12’nin katlarıdır.

DOĞAL SAYILARIN ORTAK BÖLENLERİ

İki ya da daha fazla doğal sayıyı aynı anda bölen sayılara, bu sayıların ortak böleni denir.

ÖRNEK: 36 ve 24 sayılarının ortak bölenlerini bulalım.

► Öncelikle 36 ve 24 sayılarının bölenlerini ayrı ayrı yazalım:

36’nın bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

24’ün bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

► Şimdi bu bölenlerden ortak olanlarını işaretleyelim.

36’nın bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

24’ün bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

36 ve 24’ün ortak bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12’dir.

İki ya da daha fazla doğal sayının ortak bölenleri, bu sayıların en büyük ortak böleninin bölenlerinden oluşur. Örneğin yukarıdaki örnekte 32 ve 24’ün ortak bölenleri (1, 2, 3, 4, 6, 12), bu sayıların en büyük ortak böleni olan 12’nin bölenleridir.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Oran Nedir?
✓ Birimli Oran ve Birimsiz Oran

ORAN NEDİR?

Aynı veya farklı birimle ölçülen iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir.

ÖRNEK: Aşağıda çeşitli oran örnekleri verilmiştir, inceleyelim.

3 sayısının 5 sayısına oranı: \(\frac35\)

12 elmanın 2 elmaya oranı: \(\frac{12}2\)

9 kız bulunan 15 kişilik sınıfta kızların erkeklere oranı: \(\frac96\)

NOT: a sayısının b sayısına oranı \(\frac ab\) şeklinde gösterilebildiği gibi \(a:b\) şeklinde veya \(a/b\) şeklinde de gösterilebilir.

Birimli Oran

Farklı birimlere sahip iki miktarın karşılaştırılması ile elde edilen orana birimli oran denir.

ÖRNEK: Bir araba 200 km’lik yolu 4 saatte gidiyor. Gittiği yolun zamana oranını bulalım.

\(\frac{Yol}{Zaman}=\frac{200\;km}{4\;saat}=50\;km/sa\) olur. Yol ve zaman farklı birimlerde olduğu için sadeleşmez ve oranın yanına yazılır. Bu yüzden bu oran birimli orandır.

ÖRNEK: Bir otobüs 2 saatte 180 km yol gitmiştir. Bu otobüsün ortalama hızını (yolun zamana oranını) km/sa ve m/sn cinsinden bulalım.

\(Hız=\frac{Yol}{Zaman}=\frac{180\;km}{2\;sa}=90\;km/sa\) bulunur.

180 km = 180 000 m ve 2 saat = 7200 saniye olduğu için:

\(Hız=\frac{Yol}{Zaman}=\frac{180\;000\;m}{7200\;sn}=25\;m/sn\) olur.

Birimsiz Oran

Aynı birimlere sahip iki miktarın karşılaştırılması ile elde edilen orana birimsiz oran denir.

ÖRNEK: Bir sınıfta 15 kız ve 20 erkek vardır. Sınıftaki erkeklerin sayısının kızların sayısına oranını bulalım.

\(\frac{Erkek\;sayısı}{Kız\;sayısı}=\frac{20\;kişi}{15\;kişi}=\frac43\) Burada oranlananlar aynı birimden olduğu için bu oran birimsizdir.

Oranı Verilen İki Çokluktan Biri Verildiğinde Diğerini Bulma

Birbirine oranı verilen iki çokluktan biri verildiğinde diğerini bulurken oran uygun bir sayıyla genişletilerek verilmeyen çokluk bulunur. Bunu örneklerle açıklayalım.

ÖRNEK: Bir sınıfta kızların sayısının erkeklerin sayısına oranı \(\frac35\)‘tir. Bu sınıfta 12 kız varsa kaç erkek vardır?

Burada oranı uygun bir sayıyla genişleterek kızların sayısını verilen sayıya eşitleriz ve erkeklerin sayısını 20 buluruz.

\(\frac{Kızların\;sayısı}{Erkeklerin\;sayısı}=\frac35=\frac{3.4}{5.4}=\frac{12}{20}\) olarak bulunur.

ÖRNEK: Bir torbada sadece mavi ve kırmızı renk bilyeler vardır. Torbadaki kırmızı renkli bilyelerin sayısının mavi renkli bilyelere oranı \(\frac23\)‘tür. Bu torbada toplam 25 bilye olduğuna göre bunlardan kaç tanesi mavidir?

\(\frac{Kırmızı\;bilyeler}{Mavi\;bilyeler}=\frac23\) verilmiş.

Kırmızılarla mavileri toplarsak toplam bilye sayısını bulacağımız için oranda da aynı işlemi yaparız.

\(\frac{Mavi\;bilyeler}{Tüm\;bilyeler}=\frac35\) olur.

Daha sonra bu oranı genişleterek toplam bilye sayısını 25 yapıp mavi bilye sayısını 15 buluruz.

\(\frac{Mavi\;bilyeler}{Tüm\;bilyeler}=\frac35=\frac{3.5}{5.5}=\frac{15}{25}\) olarak bulunur.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Verileri Daire Grafiğinde Gösterme
✓ Verileri Çizgi Grafiği ile Gösterme
✓ Daire ve Çizgi Grafiğini Yorumlama

DAİRE GRAFİĞİ

Verilerin bir dairenin dilimleri şeklinde gösterilerek oluşturulan grafiğe daire grafiği denir.

Aşağıdaki daire grafiği örneklerini inceleyelim.

Daire Grafiği Oluşturma

► Daire grafiği hazırlarken toplam veriler 360° olacak şekilde her bir veri oranlanır.

► Bu oranlar her bir verinin gösterileceği daire diliminin merkez açısı olur.

► Daire dilimlerinin içine veya yakınındaki bir yere değişkenlerin adları yazılır.

ÖRNEK: Bir 24 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin en sevdikleri derslere yönelik bir anket yapılıyor. Anket sonucuna göre 6 kişi Matematik, 4 kişi Türkçe, 3 kişi İngilizce, 4 kişi Beden Eğitimi, 2 Kişi Müzik, 2 Kişi Fen Bilimleri, 3 kişi Sosyal Bilgiler dersinin en sevdiği ders olduğunu söylüyor. Bu verileri daire grafiği ile gösterelim.

Toplam verilere göre her bir verinin dairede kaç derecelik merkez açıya sahip olacağını bulalım.

24 kişi 360 derece ise 1 kişi 360 : 24 = 15°

Buna göre:

Müzik ve Fen Bilimlerinin bulunduğu daire diliminin merkez açısı 30°,

İngilizce ve Sosyal Bilgilerin bulunduğu daire diliminin merkez açısı 45°,

Türkçe ve Beden Eğitiminin bulunduğu daire diliminin merkez açısı 60°,

Matematiğin bulunduğu daire diliminin merkez açısı 90° olacaktır.

Bir daire çizeriz ve açı ölçer yardımıyla daireyi yukarıdaki açılara göre daire dilimlerine ayırırız ve daire grafiğini çizmiş oluruz.

NOT: Verilerin grafikleri Microsoft Excel ve benzeri uygulamalarla kolaylıkla çizilebilir. Örneğin yukarıdaki grafik bu programla oluşturulmuştur.

ÖRNEK: Yandaki grafik bir lisenin üniversiteye yerleştirdiği öğrencilerinin kazandıkları fakültelere aittir.

Buna göre aşağıdaki soruları cevaplandıralım:

► Tıp fakültesine ait daire diliminin merkez açısı kaç derecedir?

360°’nin %20’si tıp fakültesine ait olduğu için 360°’nin %20’si 72°’dir.

► Hukuk fakültesine yerleşen öğrenci sayısı 9 kişi ise eğitim fakültesine yerleşen kaç kişi sayısı kaçtır?

Orantı kurarız ve çapraz çarpım yaparız:

Öğrencilerin %15’i      9 kişi ise
Öğrencilerin %25’i      x kişidir.
———————————————–

15x = 25 . 9
15x = 225
x = 15 kişi

ÇİZGİ GRAFİĞİ

Verilerin yatay ve dikey eksendeki değerleri işaretlenerek bulunan noktaların birleştirilmesiyle oluşturulan grafiklere çizgi grafikleri denir. Çizgi grafikleri özellikle bir değişkenin zamana bağlı değişimini göstermek için uygundur.

Aşağıdaki çizgi grafiği örneklerini inceleyelim.

Çizgi Grafiği Oluşturma

► Verilerin ölçütlerinden biri yatay eksene, diğeri dikey eksene yerleştirilir.

► Yatay eksene genellikle zamanla ilgili olan ölçüt yazılır.

► Veriler yatay eksenle dikey eksene bakılarak işaretlenir ve daha sonra bu noktalar birleştirilir.

ÖRNEK: Bir ildeki bir haftada günlerin en yüksek hava sıcaklıkları Pazartesiden itibaren sırasıyla 12 °C, 14 °C, 13 °C, 10 °C, 9 °C, 11 °C, ve 15 °C’dir. Bu verileri çizgi grafiği ile gösterelim.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Merkez Açı ve Gördüğü Yayın Ölçüsü
✓ Çemberin ve Çember Parçasının Uzunluğunu Bulma
✓ Dairenin ve Daire Diliminin Alanını Bulma

ÇEMBERDE MERKEZ AÇI VE ÇEMBER YAYI

Çemberde, köşesi çemberin merkezinde olan açılara merkez açılar denir.

Şekilde AOB açısının köşesi çemberin merkezinde olduğundan bu açı merkez açıdır ve bu açı \(\widehat{AOB}\) şeklinde gösterilir.

Çember üzerindeki iki nokta arasında kalan parçaya yay adı verilir.

Şekilde çemberin üzerindeki A ve B noktaları arasında kalan yaya AB yayı denir ve \(\overset\frown{\mathrm{AB}}\) şeklinde gösterilir.

Açıların olduğu gibi yayların da ölçüsü vardır ve dereceyle ölçülür. Çemberin tamamı 360°’dir. Yarım çember yayının ölçüsü 180° , çeyrek çember yayının ölçüsü ise 90°’dir.

Çemberde Merkez Açının Gördüğü Yayın Ölçüsü

Bir çemberde merkez açının ölçüsü ile gördüğü yayın ölçüsü birbirine eşittir.

Yukarıdaki çemberde AOB açısının ölçüsünü \(m\widehat{\left(AOB\right)}\) olarak gösteririz ve AB yayının ölçüsünü \(m\overset\frown{\left(\mathrm{AB}\right)}\) olarak gösteririz. Buna göre bu eşitliği: \(m\widehat{\left(AOB\right)}=m\overset\frown{\left(\mathrm{AB}\right)}\) şeklinde gösterebiliriz.

ÖRNEK: Yandaki şekilde AOB merkez açısının ölçüsü 70° ve AB yayının ölçüsü 10x ise x kaç derecedir?

Merkez açı ve gördüğü yayın ölçüsü birbirine eşittir.

Bu yüzden 10x = 70° denkleminden x = 7° bulunur.

ÖRNEK: Bir çemberde bir merkez açının ölçüsü 2x + 30°’dir ve bu merkez açının gördüğü yayın ölçüsü 5x − 60° ise x kaçtır?

Merkez açı ve gördüğü yayın ölçüsü birbirine eşittir.

Bu yüzden 5x − 60° = 2x + 30° denkleminden 3x = 90° olur ve x = 30° bulunur.

Çemberin ve Çember Parçasının Uzunluğu

Çemberin yarıçapı r ise çevresinin uzunluğunun 2.π.r formülünden hesaplandığını biliyoruz. Aynı zamanda çemberin tamamının 360° olduğunu da biliyoruz. Bu bilgileri kullanarak çemberin uzunluğunu ve çember parçasının uzunluğunu bulabiliriz.

ÖRNEK: Yarıçapının uzunluğu 10 cm olan bir çemberin uzunluğunu bulalım. (π = 3 alınız.)

Çemberin çevre uzunluğu = 2.π.r = 2.3.10 = 60 cm’dir.

Şimdi ise çember parçalarının uzunluklarını bulalım. Bunun için çemberin tamamının uzunluğunu buluruz ve parçaya göre oranlarız.

ÖRNEK: Yarıçapının uzunluğu 12 cm olan çeyrek çemberin uzunluğunu bulalım. (π = 3 alınız.)

Çemberin çevre uzunluğu = 2.π.r = 2.3.12 = 72 cm’dir.

Soruda bize çeyrek çemberi sorduğu için 4’e böleriz ve 18 cm buluruz.

Çemberde Yay Uzunluğu Formülü

Çember yayının uzunluğu = \(2.\mathrm\pi.\mathrm r.\frac{\mathrm\alpha}{360}\)

ÖRNEK: Yandaki şekilde verilen O merkezli çemberin yarıçapının uzunluğu 16 cm ve YOL açısının ölçüsü 60° olduğuna göre YL yayının uzunluğu kaç cm’dir? (π = 3 alınız.)

\(\overset\frown{\left|YL\right|}=2.\mathrm\pi.\mathrm r.\frac{\mathrm\alpha}{360}=2.3.16.\frac{60}{360}=16\) cm olarak bulunur.

DAİRENİN VE DAİRE DİLİMİNİN ALANI

Dairenin yarıçapı r ise alanı π.r² formülü ile hesaplanır. Daire diliminin alanı ise merkez açısının 360° ile oranıyla dairenin alanının çarpımıyla bulunabilir.

ÖRNEK: Yarıçapının uzunluğu 10 cm olan bir dairenin alanını bulalım. (π = 3 alınız.)

Dairenin alanı = π.r² = 3.10² = 3.100 = 300 cm²‘dir.

Şimdi ise daire diliminin alanını bulalım. Bunun için dairenin tamamının alanını buluruz ve parçaya göre oranlarız.

ÖRNEK: Yarıçapının uzunluğu 12 cm olan yarım dairenin alanını bulalım. (π = 3 alınız.)

Dairenin alanı = π.r² = 3.12² = 3.144 = 432 cm²‘dir.

Soruda bize yarım dairenin alanını sorduğu için 2’ye böleriz ve 216 cm² buluruz.

Daire Diliminin Alan Formülü

Daire diliminin alanı = \(\mathrm\pi.\mathrm r^2.\frac{\mathrm\alpha}{360}\)

ÖRNEK: Yandaki şekilde verilen O merkezli dairenin yarıçapının uzunluğu 9 cm ve BOL açısının ölçüsü 80° olduğuna göre verilen daire diliminin alanı kaç cm²‘dir? (π = 3 alınız.)

\(\mathrm\pi.\mathrm r^2.\frac{\mathrm\alpha}{360}=3.9^2.\frac{80}{360}=54\) cm² olarak bulunur.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Yüzdeler ve Yüzde Hesaplamaları
✓ Yüzde Problemleri

YÜZDELER

Paydası 100 olan kesirleri % sembolü ile gösterebiliriz.

ÖRNEK: Aşağıdaki kesirleri % sembolü ile ifade edelim.

► \(\frac5{100}=\%5\)

► \(0,12=\frac{12}{100}=\%12\)

►\(\frac{250}{100}=\%250\)

Paydası 100 olmayan kesirleri % sembolü ile gösterebilmek için genişletme ve sadeleştirme işlemleriyle paydasını 100 yaparız.

ÖRNEK: Aşağıdaki kesirleri % sembolü ile ifade edelim.

► \(\frac12=\frac{50}{100}=\%50\)

► \(\frac{90}{300}=\frac{30}{100}=\%30\)

► \(0,2=\frac2{10}=\frac{20}{100}=\%20\)

Bir Çokluğun Belirtilen Yüzdesini Bulma

Verilen bir çokluğun belirtilen yüzdesini hesaplamak için çarpma işlemi yaparız.

ÖRNEK: Aşağıda verilen çoklukların belirtilen yüzde kadarını hesaplayalım.

► 300 sayısının %30’u : \(300\cdot\frac{30}{100}=\frac{9000}{100}=90\)

► 12 elmanın %50’si : \(12\cdot\frac{50}{100}=\frac{600}{100}=6\)

► 2000 TL paranın %18’i : \(2000\cdot\frac{18}{100}=\frac{36000}{100}=360\)

► 40 sayısının %150’si : \(40\cdot\frac{150}{100}=\frac{6000}{100}=60\)

Belirli Bir Yüzdesi Verilen Çokluğu Bulma

Belirli bir yüzdesi verilen bir çokluğun tamamını bulmak için çokluğu verilen yüzdeye böleriz.

ÖRNEK:  Aşağıda belirli bir yüzdesi verilen çoklukları bulalım.

► %20’si 7 olan sayı: \(7:\frac{20}{100}=7\cdot\frac{100}{20}=35\)

► %5’i 100 TL olan para: \(100:\frac5{100}=100\cdot\frac{100}5=2000\)

► %250’si 55 lira olan sayı: \(55:\frac{250}{100}=55\cdot\frac{100}{250}=22\)

Bir Çokluğu Başka Bir Çokluğun Yüzdesi Olarak Yazma

Bir sayının, başka bir sayının yüzde kaçı olduğunu bulmak için sayıları birbirine böler 100 ile çarparız.

ÖRNEK: Aşağıdaki işlemleri yapalım.

► 20 sayısı 40 sayısının % kaçıdır?

\(\frac{20}{40}\cdot100=\frac{2000}{40}=50\) bulunur.

20 sayısı 40 sayısının %50’sidir.

► 3 sayısı 600 sayısının % kaçıdır?

\(\frac3{600}\cdot100=\frac{300}{600}=\frac12=0,5\) bulunur.

3 sayısı 600’ün %0,5’idir.

Yüzde ile Arttırma ve Azaltma

Bir sayıyı belirli bir yüzde ile arttırmak veya azalmak için çokluğun belirtilen yüzdesi bulunur ve çokluğa eklenir veya çıkartılır.

ÖRNEK: Aşağıdaki işlemleri yapalım.

► 40 sayısının %20 fazlası kaçtır?

40 sayısının %20’si: \(40\cdot\frac{20}{100}=8\)

40 + 8 = 48

► 200 sayısının %30 eksiği kaçtır?

200’ün %30’u: \(200\cdot\frac{30}{100}=60\)

200 − 60 = 140

YÜZDE PROBLEMLERİ

Yüzde problemlerini çözümlü örneklerle inceleyelim.

ÖRNEK: 70 TL olan bir gömlek %20 indirim sonrası kaç TL’ye satılır?

1. YOL: 70 TL’nin %20’sini bulup çıkartmamız geriyor.

70’in yüzde 20’si 14’dır. 70 − 14 = 56 TL

2. YOL: Gömlek %100 fiyatından %20 indirimle satılacağı için %80 fiyatına satılacaktır. 70’in %80’ini bularak da cevaba ulaşabiliriz.

70’in %80’i 56 TL’dir.

ÖRNEK: 200 TL’lik bir ürüne önce %10 zam, ardından zamlı fiyatı üzerinden %10 indirim yapılıyor. Bu ürünün son fiyatını bulunuz.

200 TL’ye %10 zam yapılırsa 20 TL zam yapılır. Zamlı fiyatı: 220TL

220 TL üzerinden %10 indirim yapılacak. 220’nin %10’u 22TL’dir.

220 − 22 = 198 TL en son fiyatıdır.

ÖRNEK: Yıllık %8 faizle bankaya yatırılan 2000 TL üç yıl sonra kaç TL olur?

2000 TL’nin %8’i 160 TL’dir. Yıllık 160 TL faiz getirisi 3 yılda 480 TL olur.

2000 + 480 = 2480 TL

ÖRNEK: Aylık %1 faizle 5 aylığına bankaya yatırılan para faiziyle birlikte 3150 TL olarak çekiliyor. Başlangıçta bankaya yatırılan parayı bulunuz.

5 ayda %1’den toplam %5 faiz getirisi olur.

Paranın tamamı %100’dü, %5 faiz eklenirse toplam %105 olur. Yani paranın %105’i 3150 TL’dir. Biz paranın %100’ünü bulmalıyız. Yukarıda öğrendiğimiz gibi:

\(3150:\frac{105}{100}=3150\cdot\frac{100}{105}=\frac{315000}{105}=3000\) TL

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Bir Açıya Eş Açı Çizme
✓ Bir Açıya Açıortay Çizme

BİR AÇIYA EŞ BİR AÇI OLUŞTURMA

Ölçüleri birbirine eşit olan açılara eş açılar denir. Verilen bir açıya eş açı çizmeyi göreceğiz.

Açı Ölçer ile Eş Açı Çizme

Eğer açı ölçerimiz varsa verilen bir açıya eş bir açı şu şekilde çizebiliriz:

► Eşini çizeceğimiz açının ölçüsünü açı ölçer yardımıyla buluruz.

► Bir ışın çizeriz. Bu ışın açının bir koludur.

► Işının başlangıç noktasına açı ölçeri koyarız ve açının diğer kolunun geçeceği bir noktayı uygun açıyla işaretleriz.

► Işının başlangıç noktasından başlayan ve işaretlediğimiz noktadan geçen bir ışın çizeriz. Bu da açının diğer kolunu oluşturur.

EBA sitesinden bu çizimin nasıl yapıldığını izleyebilirsiniz.

https://ders.eba.gov.tr/ders/redirectContent.jsp?resourceId=49d91233c8ff13c06a14e4a516da2c03&resourceType=1&resourceLocation=2

Pergel Yardımı ile Eş Açı Çizme

Eğer pergelimiz varsa verilen bir açıya eş bir açı şu şekilde çizebiliriz:

► Bir ışın çizeriz. Bu ışın yeni çizeceğimiz açının bir koludur.

► Eşini çizeceğimiz açının köşesine pergelin iğnesini batırarak bu açının kollarını kesen bir yay çizeriz. Yayın kolları kestiği noktalara K ve L diyelim.

► Pergelin açıklığını bozmadan ilk adımda çizdiğimiz ışının başlangıç noktasına iğnesini batırırız ve ilk çizdiğimiz ışını kesecek bir yay çizeriz. Bu noktaya K’ adını verelim.

► Eşini çizeceğimiz açıda işaretlediğimiz K ve L noktalarından birine pergelin iğnesini, diğerine pergelin kalem ucunu koyarak pergeli KL arası kadar açarız.

► Pergelin açıklığını bozmadan yeni çizdiğimiz ışın üzerindeki K’ noktasına iğnesini batırırız ve daha önceden çizdiğimiz yay ile kesişecek bir yay çizeriz. Bu noktaya da L’ diyelim.

► Son olarak ışının köşesinden başlayan ve L’ noktasından geçen bir ışın çizerek açıyı tamamlarız.

EBA sitesinden bu çizimin nasıl yapıldığını izleyebilirsiniz.

https://ders.eba.gov.tr/ders/redirectContent.jsp?resourceId=3bd777ec9ea5203a79fd6b06652dd7ed&resourceType=1&resourceLocation=2

BİR AÇIYI EŞ İKİ AÇIYA BÖLME – AÇIORTAY ÇİZME

Bir açısal bölgeyi, ölçümleri birbirine eşit olan iki bölgeye ayıran ışına açıortay denir.

Açı Ölçer ile Açıortay Çizme

Eğer açı ölçerimiz varsa verilen bir açıyı iki eş açıya şu şekilde ayırabiliriz:

► Açıortayını çizeceğimiz açının ölçüsünü açı ölçer yardımıyla buluruz.

► Bulduğumuz açının yarısına işaret koyarız.

► Açının köşesinden başlayan ve koyduğumuz işaretten geçen bir ışın modeli çizeriz. Bu ışın açıyı iki eş açıya ayırır ve bu ışına açıortay adı verilir.

Pergel Yardımı ile Açıortay Çizme

Eğer pergelimiz varsa verilen bir açıyı iki eş açıya şu şekilde ayırabiliriz:

► Açıortayını çizeceğimiz açının köşesine pergelimizin iğnesini batırırız.

► Pergelle açının kenarlarını kesen bir yay çizeriz. Yayın kenarları kestiği noktalara K ve L diyelim.

► Pergelin ayaklarını K-L arası uzaklığın yarısından biraz fazla açalım.

► Bu açıklıkla pergelin iğnesini K noktasına batırarak açının iç bölgesine bir yay çizeriz. Aynı açıklıkla iğneyi L noktasına batırarak yine açının iç bölgesinde olacak ve az önce çizdiğimiz yayı kesecek şekilde bir yay çizelim. Bu yayların kesişim noktasına P diyelim.

► Son olarak açının köşesinden başlayan ve P noktasından geçen bir ışın çizerek açıortayı çizeriz.

https://ders.eba.gov.tr/ders/redirectContent.jsp?resourceId=bc2d6311332da98f263909df9c82de23&resourceType=1&resourceLocation=2

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN:

BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Basit Eşitsizlikler
✓ Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler
✓ Eşitsizliklerin çözüm kümesini bulma ve sayı doğrusunda gösterme

Hayatımızda eşitlikler kadar eşitsizlikler de vardır. Hatta eşitsizlik eşitlikten daha fazla karşımıza çıkar diyebiliriz. Peki matematikte nasıl tanımlıyoruz bu eşitsizlik kavramını? Hadi öğrenelim.

EŞİTSİZLİK NEDİR?

> (büyüktür), ≥ (büyüktür veya eşittir), < (küçüktür), ≤ (küçüktür veya eşittir) sembolleri ile yazılan matematiksel ifadelere eşitsizlik denir.

Eşitsizliklerde kullandığımız sembolleri tanıyalım:

  >  Büyüktür sembolü. Bu sembolün solundaki ifade sağındakinden büyüktür. Örnek: 5 > 3

  <  Küçüktür sembolü. Bu sembolün solundaki ifade sağındakinden küçüktür. Örnek: 1 < 7

  ≥  Büyüktür veya eşittir sembolü. Bu sembolün solundaki ifade sağındakinden büyük de olabilir eşit de olabilir. Örnek: x ≥ 3 ifadesinde x sayısı 3 de olabilir 3’ten büyük de olabilir.

  ≤  Küçüktür veya eşittir sembolü. Bu sembolün solundaki ifade sağındakinden küçük de olabilir eşit de olabilir. Örnek: x ≤ 12 ifadesinde x sayısı 12 de olabilir 12’ten küçük de olabilir.

ÖRNEK: Aşağıdaki ifadelere uygun matematiksel ifadeleri yazalım.

2 katının 4 fazlası 10 olan sayı: 2x + 4 = 10

2 katının 4 fazlası 10’dan küçük olan gerçek sayılar: 2x + 4 < 10

2 katının 4 fazlası 10’dan büyük olan gerçek sayılar: 2x + 4 > 10

2 katının 4 fazlası 10’a eşit veya 10’dan küçük olan gerçek sayılar: 2x + 4 ≤ 10

2 katının 4 fazlası 10’a eşit veya 10’dan büyük olan gerçek sayılar: 2x + 4 ≥ 10

Yukarıdaki beş ifadeden ilki eşitliktir. Diğer dördü ise eşitsizliktir.

ÖRNEK: Aşağıdaki ifadelere uygun eşitsizlikleri yazalım.

−2 katının 5 fazlası 10’dan küçük veya 10’a eşit olan gerçek sayılar: −2.x + 5 ≤ 10

3 katının 12 eksiği, 10 katının 5 fazlasından küçük olan gerçek sayılar: 3.x − 12 < 10.x + 5

7 fazlasının 2 katı kendisinden büyük olan gerçek sayılar: 2.(x + 7) > x

Şimdi eşitsizliklerde hangi işlemleri yapabiliriz öğrenelim.

Eşitsizliklerin Özellikleri

Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya her iki taraftan aynı sayı çıkarılırsa eşitsizlik bozulmaz.

ÖRNEK: 13 < 14 ifadesinde eşitsizliğin;

her iki tarafına 10 eklersek: 23 < 24 olur,

her iki tarafından 10 çıkartırsak: 3 < 4 olur.

Gördüğümüz gibi yaptığımız işlemler sonunda elde ettiğimiz eşitsizlik doğru bir eşitsizliktir.

Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayı ile çarpılır veya aynı pozitif sayıya bölünürse eşitsizlik bozulmaz.

ÖRNEK: 20 > 10 ifadesinde eşitsizliğin;

her iki tarafını 10 ile çarparsak: 200 > 100 olur,

her iki tarafını 10’a bölersek: 2 > 1 olur.

Gördüğümüz gibi yaptığımız işlemler sonunda elde ettiğimiz eşitsizlik doğru bir eşitsizliktir.

Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif sayı ile çarpılır veya aynı negatif sayıya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir. Eşitsizliğin yön değiştirmesi demek, küçüktür (<) işaretinin büyüktür (>) olması veya büyüktür (>) işaretinin küçüktür (<) işareti olması demektir. Aynı şekilde ≤ işareti ≥ işareti olur ve ≥ işareti ≤ olur.

ÖRNEK: 16 > 12 ifadesinde eşitsizliğin;

her iki tarafını −10 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirmelidir:  −160 < −120 olur,

her iki tarafını −4’e bölersek eşitsizlik yön değiştirmelidir: −4 < −3 olur.

Gördüğümüz gibi yaptığımız işlemler sonunda elde ettiğimiz eşitsizlik doğru bir eşitsizliktir.

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER

a, b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere,
ax + b > 0
ax + b ≥ 0
ax + b < 0
ax + b ≤ 0 biçiminde yazılabilen cebirsel ifadelere, birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir.

Eşitsizliklerin Çözüm Kümesini Bulma ve Sayı Doğrusunda Gösterme

Eşitsizlikleri çözerken esasında denklemleri çözer gibi çözeriz yani bilinmeyeni eşitsizliğin bir tarafında yalnız bırakırız. Bu durumu oluştururken de yukarıda öğrendiğimiz özellikleri kullanırız. Birinci derece denklemlerin çözüm kümesinde bir sayı bulunurken birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözüm kümesi ise bir sayı değil bir aralıktır.

Eşitsizliğin çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterirken “≤ veya ≥” sembollerinde başlangıç noktasının içi dolu, “< veya >” sembollerinde başlangıç noktası çözüm kümesine dahil olmadığından içi boş olur.

ÖRNEK: Aşağıda bazı eşitsizliklerin sayı doğrusu üzerinde gösterimi verilmiştir.

ÖRNEK: 2x + 3 > 11 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım ve sayı doğrusunda gösterelim.

x’i yalnız bırakmak için önce her iki taraftan 3 çıkartılır.

2x + 3 − 3 > 11 − 3

2x > 8

her iki taraf 2’ye bölünür.

x > 4

Çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterirken sayı doğrusunda 4’ten büyük olan kısım işaretlenir. −4 sayısı çözüm kümesine dahil olmadığı için içi boş bırakılır.

ÖRNEK: 40 − x ≤ 50 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım ve sayı doğrusunda gösterelim.

40 − x − 40 ≤ 50 − 40

− x ≤ 10

eşitsizliğin her iki tarafı −1 ile çarpılır. Negatif sayı ile çarptığımız için aradaki işaretin yön değiştirdiğini unutmayalım.

− x . − 1 ≤ 10 . − 1

x ≥ −10

Çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterirken sayı doğrusunda −10 ve −10’dan büyük olan kısım işaretlenir. −10 sayısı çözüm kümesine dahil olduğu için bu sayı da işaretlenir.

KONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN: