Ali, 1’den 9’a kadar olan rakamlardan iki tanesini seçiyor. ( Aynı rakamı iki defa seçmiş olabilir )
Seçtiği sayıların toplamını Ahmet’e, Çarpımını ise Mehmet’ e ayrı ayrı söylüyor. Daha sonra Ahmet ve Mehmet arasında şöyle bir diyalog geçiyor.
Mehmet: Sayıları bulamadım.
Bilindiği üzere ovalarda akarsular kıvrıla kıvrıla akar. Mendereslerin oluşması ile nehrin uzunluğu iki türlü ölçülmektedir. Biri kaynaktan döküldüğü noktaya olan kuş uçuşu düz uzunluktur. Diğeri ise gerçekten suyun gittiği eğri mesafedir.
Amazon’dan Thames’e birçok nehir için bu oranı hesaplayan Hans-Henrik Stolum ortalama 3,14 değerini bulmuş.
Limit kelimesi Latince Limes ya da Limites ‘den gelmekte olup sınır, uç nokta anlamdadır. Lim sembolü de buradan gelmiştir.
İntegral sembolü neden ∫ şeklindedir? Bu sorunun mantıklı bir cevabı var elbet.
İntegral, Latince toplam kelimesinin (“ſumma”, “summa”) baş harfi s’ye biraz benzer ∫ işareti ile gösterilir.
Bu işaret Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından tanımlanmıştır.
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Zihinden çarpma işlemi
✓ Zihinden bölme işlemi
Zihinden çarpma ve bölme işlemlerine geçmeden önce 10, 100, 1000 ile kısa yoldan çarpmayı ve bölmeyi hatırlayalım.
Daha önce çarpma işlemi konusunda anlattığımız gibi 10, 100 veya 1000 ile çarparken sondaki sıfır sayısı kadar sıfır ekliyorduk sayımıza.
► 10 ile çarparken bir 0 (sıfır) konur. 453 x 10 = 4530
► 100 ile çarparken iki 0 (sıfır) konur. 612 x 100 = 61200
► 1000 ile çarparken üç 0 (sıfır) konur. 659 x 1000 = 659000
Benzer şekilde bölme işlemi konusunda anlattığımız gibi 10, 100 veya 1000’e bölerken sondaki sıfır sayısı kadar sıfır azaltıyorduk sayımızdan.
► 10’a bölerken bir 0 (sıfır) silinir. 4530 : 10 = 453
► 100’e bölerken iki 0 (sıfır) silinir. 61200 : 100 = 612
► 1000’e bölerken üç 0 (sıfır) silinir. 659000 : 1000 = 659
Şimdi zihinden işlem yapmanın pratik yöntemlerine geçebiliriz.
Bir çarpma işleminde, çarpanlardan biri 10 veya katı olan bir sayı ise sıfırlar göz ardı edilerek işlem yapılır ve sıfırlar daha sonra eklenir.
ÖRNEK: 12 x 300 işlemini yapalım.
12 ile 3’ü çarparız, daha sonra sıfırları ekleriz.
12 x 3 = 36
Cevap: 3600
ÖRNEK: 2000 x 40 işlemini yapalım
2 ile 4’ü çarparız, daha sonra sıfırları ekleriz.
2 x 4 = 8
Cevap: 80000
Bir sayı 4 ile çarpılırken 2 defa 2 ile çarpma işlemi yapılabilir. 8 ile çarpılırken 3 defa 2 ile çarpma işlemi yapılabilir.
ÖRNEK: 18 x 4 işlemini yapalım.
18 ile 2’yi çarparız, daha sonra tekrar 2 ile çarparız.
18 x 2 = 36
36 x 2 = 72
Cevap: 72
ÖRNEK: 12 x 8 işlemini yapalım
12 ile 2’yi 3 defa çarparız.
12 x 2 = 24
24 x 2 = 48
48 x 2 = 96
Cevap: 96
Bir sayı 9 ile çarpılırken sayının 10 katı alınır ve sonuçtan sayı çıkartılır. 11 ile çarpılırken sayının 10 katı alınır ve sonuca sayı eklenir.
ÖRNEK: 15 x 9 işlemini yapalım.
15 ile 10 ile çarparız. Cevaptan 15 çıkartırız.
15 x 10 = 150
150 − 15 = 135
Cevap: 135
ÖRNEK: 15 x 11 işlemini yapalım.
15 ile 10 ile çarparız. Cevaba 11 ekleriz.
15 x 10 = 150
150 + 15 = 165
Cevap: 165
Bir bölme işleminde bölünen ve bölen sayıların sonlarında sıfır varsa her iki sayıdan da aynı sayıda sıfır silinerek işlem yapılabilir.
ÖRNEK: 4800 : 400 işlemini yapalım.
İki sayıdan da ikişer tane sıfır sileriz ve işlemi yaparız.
Cevap: 48 : 4 = 12
ÖRNEK: 20000 : 5000 işlemini yapalım.
İki sayıdan da üçer tane sıfır sileriz ve işlemi yaparız.
Cevap: 20 : 5 = 4
Bir sayı 4’e bölünürken 2 defa 2’ye bölme işlemi yapılabilir. 8’e bölünürken 3 defa 2’ye bölme işlemi yapılabilir.
ÖRNEK: 48 : 4 işlemini yapalım.
48’i 2’ye böleriz, daha sonra cevabı tekrar 2’ye böleriz.
48 : 2 = 24
24 : 2 = 12
Cevap: 12
Bir sayı 5’e bölünürken 2 ile çarpıp 10’a bölme işlemi yapılabilir.
ÖRNEK: 135 : 5 işlemini yapalım.
135’i 2 ile çarparız, daha sonra cevabı 10’a böleriz.
135 x 2 = 270
270 : 10 = 27
Cevap: 27
ALIŞTIRMA SORULARI
1) Aşağıdaki çarpma işlemlerini zihinden yapınız.
2) Aşağıdaki bölme işlemlerini zihinden yapınız.
BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:
✓ Doğal sayılarla zihinden çarpma ve bölme işlemlerinde uygun stratejiyi belirler ve kullanır.
| ÖNCEKİ KONU | SONRAKİ KONU |
| Bölme İşleminin Sonucunu Tahmin Etme | Parantezli İşlemler |
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Zihinden toplama işlemi
✓ Zihinden çıkarma işlemi
Bir işlemi zihinden yani kağıt kalem kullanmadan (hesap makinesi de kullanmadan tabi ki) yapmanın birden çok yolu vardır. Zihinden toplama ve çıkarma işlemleri için bazı yöntemleri inceleyelim.
Bu yöntemde onluklarla onlukları, birliklerle birlikleri zihinden toplarız/çıkartırız.
ÖRNEK: 21 + 24 işlemini yapalım.
21 = 20 + 1
24 = 20 + 4
Cevap:
( 20 + 20 ) + ( 1 + 4 )
40 + 5 = 45
ÖRNEK: 38 + 14 işlemini yapalım
38 = 30 + 8
14 = 10 + 4
Cevap:
( 30 + 10 ) + ( 8 + 4 )
40 + 12 = 52
ÖRNEK: 38 − 14 işlemini yapalım
38 = 30 + 8
14 = 10 + 4
Cevap:
( 30 − 10 ) + ( 8 − 4 )
20 + 4 = 24
Zihinden işlem yaparken sayılardan biri 10, 100, 1000 veya bunların katları gibi sonu sıfır ile biten bir sayıya yakınsa bu sayıdan faydalanarak işlem yapmak daha kolaydır.
ÖRNEK: 27 + 19 işlemini yapalım.
Toplamada bir sayıdan azaltıp diğer sayıya ekleyebiliriz.
19 sayısı 20 olsa işlem daha kolay olacağından 27’den 1 çıkartır 19’a ekleriz.
27 + 19 = 26 + 20 = 46
ÖRNEK: 27 − 19 işlemini yapalım.
Çıkarmada her iki sayıya aynı sayıyı ekleyebiliriz veya her iki sayıdan aynı sayıyı çıkarabiliriz.
19 sayısı 20 olsa işlem daha kolay olacağından her iki sayıya 1 ekleriz.
27 − 19 = 28 − 20 = 8
ALIŞTIRMA SORULARI
1) Aşağıdaki işlemleri zihinden yapınız.
BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:
✓ İki basamaklı doğal sayılarla zihinden toplama ve çıkarma işlemlerinde strateji belirler ve kullanır.
| ÖNCEKİ KONU | SONRAKİ KONU |
| Doğal Sayılarla Toplama ve Çıkarma | Toplama İşleminin Sonucunu Tahmin Etme |
BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ:
✓ Parantezli işlemler nasıl yapılır?
✓ İşlem sırası
Parantez, birden fazla işlemin olduğu durumlarda işlemlerden hangisini daha önce yapmamız gerektiğini bildirmek için kullanılır.
Bir işlemde öncelik şu sıraya göre takip edilir:
→ Parantez içindeki işlemler
→ Çarpma veya Bölme İşlemi
→ Toplama veya Çıkarma İşlemi
→ Eğer aynı önceliğe sahip işlemler varsa (Örneğin bir işlemde hem çarpma hem de bölme varsa) işlemler soldan sağa doğru yapılır.
ÖRNEK: 3 + ( 2 x 3 ) işleminin sonucunu bulalım.
Önce parantez içerisindeki işlem yapılır.
3 + 6 = 9 cevabı bulunur.
ÖRNEK: 3 + ( 2 x 3 + 2 ) işleminin sonucunu bulalım.
Önce parantez içerisindeki işlem yapılır.
Ancak parantez içinde hem toplama hem çarpma işlemi var.
Bu yüzden önce çarpmayı yaparız.
3 + ( 2 x 3 + 2 )
3 + ( 6 + 2 )
3 + 8 = 11 cevabı bulunur.
ÖRNEK: 3 + ( 2 x 3 : 2 ) işleminin sonucunu bulalım.
Önce parantez içerisindeki işlem yapılır.
Ancak parantez içinde hem çarpma hem bölme işlemi var.
Bu yüzden önce soldakini yani çarpmayı yaparız.
3 + ( 2 x 3 : 2 )
3 + ( 6 : 2 )
3 + 3 = 6 cevabı bulunur.
Şimdi ise bize verilen bir soruda uygun matematiksel ifade yazma örnekleri verelim.
ÖRNEK: Bir değirmende 30 kg’lık 8 çuval un bulunmaktadır. Değirmen, un miktarını her bir çuval için 10 kg azaltmıştır. Son durumda, 8 çuvaldaki toplam un miktarını bulmak için gerekli olan matematiksel ifadeyi yazalım.
Önce bir çuvaldaki un miktarını bulmak için çıkarma işlemi yapılır.
Burada çıkarma işleminin önce yapılması gerektiği için parantez içine alalım.
Bir çuvaldaki un miktarı:
( 30 – 10 )
8 çuval olduğu için 8 ile çarparız.
8 x ( 30 – 10 )
ALIŞTIRMA SORULARI
1) Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR:
✓ En çok iki işlem türü içeren parantezli ifadelerin sonucunu bulur.
| ÖNCEKİ KONU | SONRAKİ KONU |
| Zihinden Çarpma ve Bölme | Kesirler ve Kesir Çeşitleri |
Aşağıdaki resimde 4 tane adam var. Hepsi boynundan toprağa gömülmüş, dönemiyorlar. Dolayısıyla hepsi sadece önüne bakıyor.
A ile B arasında da kalın bir duvar var, arkası gözükmüyor.
Bir cerrah arka arkaya 3 hastayı ameliyat edecektir. Ancak sadece 2 çift eldiveni vardır. Ameliyatların güvenli olması için cerrah eldivenleri kullanmada nasıl bir yol izlemelidir?
Klinik prosedür şöyledir:
a. Doktorun elinin değdiği herhangi bir eldiven yüzeyi hastalara değmeyecektir.
Pi Sayısının Renkleri – The Colors of Pi
Pi sayısının virgülden sonraki ilk 1000 basamağına bir de bu şekilde bakın.
Pi’nin renkli dünyasına hoşgeldiniz.